مثال‌ها

مثال ۱. فرض کنید ${ℂ}^1$ ( $=ℂ$ ) مجموعه همه اعداد مختلط باشد؛ اگر $x+y$ و $\alpha x$ را به عنوان جمع و ضرب عددی مختلط معمولی تفسیر کنیم، ${ℂ}^1$ به یک فضای برداری مختلط تبدیل می‌شود.

مثال ۲. فرض کنید $𝒫$ مجموعه همه چندجمله‌ای‌ها با ضرایب مختلط در متغیر $t$ باشد. برای تبدیل $𝒫$ به یک فضای برداری مختلط، ما جمع برداری و ضرب اسکالر را به عنوان جمع معمولی دو چندجمله‌ای و ضرب یک چندجمله‌ای در یک عدد مختلط تفسیر می‌کنیم؛ مبدأ در $𝒫$ چندجمله‌ای همواره صفر است.

مثال ۳. فرض کنید ${ℂ}^n$ ، $n=1,2,\dots$ ، مجموعه همه $n$ -تایی‌های مرتب از اعداد مختلط باشد. اگر $x=({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ و $y=({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)$ عضوهایی از ${ℂ}^n$ باشند، بنا به تعریف می‌نویسیم: به‌سادگی می‌توان بررسی کرد که تمام بخش‌های اصول موضوع ما یعنی (A) ، (B) و (C) ، در بخش: فضاهای برداری، برقرار هستند، به طوری که ${ℂ}^n$ یک فضای برداری مختلط است؛ به آن $𝐧$ -بعدی فضای مختصات مختلط گفته می‌شود.

مثال ۴. به ازای هر عدد صحیح مثبت $n$ ، فرض کنید ${𝒫}_n$ مجموعه همه چندجمله‌ای‌های (با ضرایب مختلط، مانند مثال (۲)) از درجه $\le n-1$ به همراه چندجمله‌ای همواره صفر باشد. (در بحث‌های معمول درباره درجه، درجه این چندجمله‌ای تعریف نشده است، به طوری که نمی‌توانیم بگوییم درجه آن $\le n-1$ است.) با همان تفسیر از عملگرهای خطی (جمع و ضرب اسکالر) مانند مثال (۲)، ${𝒫}_n$ یک فضای برداری مختلط است.

مثال ۵. یک خویشاوند نزدیک ${ℂ}^n$ ، مجموعه ${ℝ}^n$ از همه $n$ -تایی‌های مرتب از اعداد حقیقی است. با همان تعریف‌های صوری جمع و ضرب اسکالر مانند ${ℂ}^n$ ، با این تفاوت که اکنون فقط اسکالرهای حقیقی $\alpha$ را در نظر می‌گیریم، فضای ${ℝ}^n$ یک فضای برداری حقیقی است؛ به آن $𝐧$ -بعدی فضای مختصات حقیقی گفته می‌شود.

مثال ۶. تمام مثال‌های قبلی را می‌توان تعمیم داد. بنابراین، برای نمونه، یک تعمیم بدیهی از (۱) را می‌توان با این بیان توصیف کرد که هر میدان را می‌توان به عنوان یک فضای برداری روی خودش در نظر گرفت. یک تعمیم مشترک از (۳) و (۵) با یک میدان دلخواه $𝔽$ شروع می‌شود و مجموعه ${𝔽}^n$ از $n$ -تایی‌های مرتب از عناصر $𝔽$ را تشکیل می‌دهد؛ تعریف‌های صوری عملگرهای خطی همانند حالت $𝔽=ℂ$ است.

مثال ۷. یک میدان، بنا به تعریف، حداقل دارای دو عضو است؛ با این حال، یک فضای برداری ممکن است تنها یک عضو داشته باشد. از آنجا که هر فضای برداری شامل یک مبدأ است، اساساً (یعنی به جز در نمادگذاری) تنها یک فضای برداری وجود دارد که فقط دارای یک بردار است. این بدیهی‌ترین فضای برداری با $𝒪$ نشان داده خواهد شد.

مثال ۸. اگر در مجموعه $ℝ$ از همه اعداد حقیقی، جمع به صورت معمول و ضرب یک عدد حقیقی در یک عدد گویا به صورت معمول تعریف شود، آنگاه $ℝ$ به یک فضای برداری گویا تبدیل می‌شود.

مثال ۹. اگر در مجموعه $ℂ$ از همه اعداد مختلط، جمع به صورت معمول و ضرب یک عدد مختلط در یک عدد حقیقی به صورت معمول تعریف شود، آنگاه $ℂ$ به یک فضای برداری حقیقی تبدیل می‌شود. (این مثال را با (۱) مقایسه کنید؛ آن‌ها کاملاً متفاوت هستند.)