فرم‌های متناوب

اثبات. فرض کنید $w$ یک فرم $k$ -خطی متناوب باشد، و $i$ و $j$ اعداد صحیحی باشند به طوری که . اگر $x_1,\dots ,x_k$ بردار باشند، می‌نویسیم $$w_0(x_i,x_j)=w(x_1,\dots ,x_k);$$ اگر $x$ های غیر از $x_i$ و $x_j$ ثابت نگه داشته شوند (به طور موقت)، آنگاه $w_0$ یک فرم دوخطی متناوب از دو آرگومان خود است. از آنجا که، بر اساس دوخطی بودن، $$w_0(x_i+x_j,x_i+x_j)=w_0(x_i,x_i)+w_0(x_i,x_j)+w_0(x_j,x_i)+w_0(x_j,x_j),$$ و از آنجا که، بر اساس خاصیت متناوب بودن $w_0$ ، سمت چپ و دو جمله کناری سمت راست این معادله همگی صفر می‌شوند، می‌بینیم که $w_0(x_j,x_i)=-w_0(x_i,x_j)$ . این، با این حال، می‌گوید که $$(i,j)w(x_1,\dots ,x_k)=-w(x_1,\dots ,x_k),$$ یا، از آنجا که $x$ ها دلخواه هستند، $(i,j)w=-w$ . از آنجا که هر جایگشت فرد $\pi$ حاصل‌ضرب تعداد فردی از ترانهش‌ها است، مانند $(i,j)$ ، نتیجه می‌شود که $\pi w=-w$ برای هر $\pi$ فرد، و اثبات قضیه کامل است. ◻

اثبات. اگر $x_i=0$ برای برخی $i$ ها، نتیجه بدیهی است. اگر همه $x_i$ ها متفاوت از $0$ باشند، قضیه بخش: ترکیبات خطی را به کار می‌بریم تا یک $x_h$ ، $2\le h\le k$ ، پیدا کنیم که ترکیب خطی از موارد قبلی باشد. اگر، مثلاً، $x_h=\sum _{i=0}^{h-1}{\alpha }_i{x}_i$ ، ما $x_h$ را در $w(x_1,\dots ,x_k)$ با این بسط جایگزین می‌کنیم، و از خطی بودن $w$ در آرگومان $h$ -ام آن استفاده می‌کنیم، و نتیجه مطلوب را با استدلالی از همان نوع می‌گیریم. ◻

اثبات. از آنجا که ( بخش: بُعد ، قضیه ۲) بردارهای $x_1,\dots ,x_n$ یک پایه تشکیل می‌دهند، می‌توانیم، با داشتن یک مجموعه دلخواه از $n$ بردار $y_1,\dots ,y_n$ ، هر $y$ را به عنوان یک ترکیب خطی از $x$ ها بنویسیم. اگر هر $y$ را در $w(y_1,\dots ,y_n)$ با ترکیب خطی متناظر از $x$ ها جایگزین کنیم و نتیجه را با چندخطی بودن بسط دهیم، یک ترکیب خطی طولانی از جملاتی مانند $w(z_1,\dots ,z_n)$ به دست می‌آوریم، که در آن هر $z$ یکی از $x$ ها است. اگر، در چنین جمله‌ای، دو تا از $z$ ها منطبق باشند، آنگاه، از آنجا که $w$ متناوب است، آن جمله باید صفر شود. اگر، از طرف دیگر، همه $z$ ها متمایز باشند، آنگاه $w(z_1,\dots ,z_n)=\pi w(x_1,\dots ,x_n)$ برای برخی جایگشت‌های $\pi$ . از آنجا که (قضیه ۱) $w$ پادمتقارن است، نتیجه می‌شود که $w(z_1,\dots ,z_n)=(\mathrm{sgn}\pi )w(x_1,\dots ,x_n)$ . اگر $w(x_1,\dots ,x_n)=0$ باشد، نتیجه می‌شود که $w(z_1,\dots ,z_n)=0$ ، و در نتیجه $w(y_1,\dots ,y_n)=0$ برای همه $y_1,\dots ,y_n$ ها، که با فرض $w\ne 0$ در تناقض است. ◻

اثبات. فرض کنید $w_1$ و $w_2$ فرم‌های $n$ -خطی متناوب باشند و $\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک پایه باشد. با داشتن هر $n$ بردار $y_1,\dots ,y_n$ ، هر یک از آن‌ها را به عنوان یک ترکیب خطی از $x$ ها بنویسید، و، دقیقاً مانند بالا، هر یک از آن‌ها را، در هر دو $w_1(y_1,\dots ,y_n)$ و $w_2(y_1,\dots ,y_n)$ ، با ترکیب خطی متناظر جایگزین کنید. نتیجه می‌شود که هر یک از $w_1(y_1,\dots ,y_n)$ و $w_2(y_1,\dots ,y_n)$ یک ترکیب خطی (همان ترکیب خطی) از جملاتی مانند $w_1(z_1,\dots ,z_n)$ و $w_2(z_1,\dots ,z_n)$ است، که در آن هر $z$ یکی از $x$ ها است. از آنجا که $w_1(x_1,\dots ,x_n)$ و $w_2(x_1,\dots ,x_n)$ اسکالر هستند، آن‌ها وابسته خطی هستند، به طوری که اسکالرهای ${\alpha }_1$ و ${\alpha }_2$ وجود دارند که هر دو صفر نیستند، به طوری که ${\alpha }_1{w}_1(x_1,\dots ,x_n)+{\alpha }_2{w}_2(x_1,\dots ,x_n)=0$ ؛ از این حقایق می‌توانیم استنتاج کنیم که ${\alpha }_1{w}_1+{\alpha }_2{w}_2=0$ ، همان‌طور که ادعا شد. ◻