فرم‌های متناوب با درجه بیشینه

اثبات. ابتدا نشان می‌دهیم که اگر $1\le k\le n$ ، آنگاه حداقل یک فرم $k$ -خطی متناوب غیرصفر وجود دارد؛ اثبات با استقرا روی $k$ پیش می‌رود. اگر $k=1$ ، نتیجه مطلوب از وجود تابعی‌های خطی غیربدیهی حاصل می‌شود (به بخش: پایه‌های دوگان ، قضیه ۳ مراجعه کنید). اگر ، فرض می‌کنیم که $v$ یک فرم $k$ -خطی متناوب غیرصفر است؛ با استفاده از $v$ یک فرم $(k+1)$ -خطی متناوب غیرصفر $w$ خواهیم ساخت. از آنجا که $v\ne 0$ ، می‌توانیم بردارهای $x_1^0,\dots ,x_k^0$ را بیابیم به طوری که $v(x_1^0,\dots ,x_k^0)\ne 0$ (بالانویس‌ها در اینجا صرفاً اندیس هستند). از آنجا که ، می‌توانیم برداری مانند $x_{k+1}^0$ بیابیم که به زیرفضای تولید شده توسط $x_1^0,\dots ,x_k^0$ تعلق ندارد، و (به بخش: نابودگرها ، قضیه ۱ مراجعه کنید) سپس می‌توانیم تابعی خطی مانند $u$ بیابیم به طوری که $u(x_1^0)=\cdots =u(x_k^0)=0$ و $u(x_{k+1}^0)\ne 0$ .

فرم $(k+1)$ -خطی وعده داده شده $w$ از تابعی خطی $u$ و فرم $k$ -خطی $v$ با نوشتن عبارت زیر به دست می‌آید \]بنابراین، برای مثال، اگر $k=3$ ، آنگاه

از بحث مقدماتی در بخش: فرم‌های چندخطی نتیجه می‌شود که $w$ واقعاً یک فرم $(k+1)$ -خطی است؛ ما باید ثابت کنیم که آن غیرصفر و متناوب است.

این واقعیت که $w$ عیناً صفر نیست، به راحتی قابل اثبات است. در واقع، از آنجا که $u(x_i)=0$ برای $i=1,\dots ,k$ ، نتیجه می‌شود که اگر هر $x_i$ را با $x_i^0$ در (۱) جایگزین کنیم، $i=1,\dots ,k+1$ ، آنگاه $k$ جمله اول مجموع سمت راست همگی صفر می‌شوند، و در نتیجه،  

حال فرض کنید که $x_1,\dots ,x_k,x_{k+1}$ بردار هستند و $i$ و $j$ اعدادی صحیح هستند به طوری که و $x_i=x_j$ . ما باید ثابت کنیم که، تحت این شرایط، $w(x_1,\dots ,x_k,x_{k+1})=0$ . توجه می‌کنیم که هم $x_i$ و هم $x_j$ در آرگومان $v$ در تمام جملات به جز دو جمله از $k+1$ جمله سمت راست (۱) ظاهر می‌شوند. از آنجا که $v$ متناوب است، جملاتی که در آن‌ها هم $x_i$ و هم $x_j$ این‌گونه ظاهر می‌شوند، همگی صفر می‌شوند.

باقی‌مانده اثبات به طور طبیعی به دو حالت تقسیم می‌شود. اگر $j=k+1$ ، آنگاه تمام آنچه باقی می‌ماند عبارت است از $$(i,k+1)v(x_1,\dots ,x_k)u(x_{k+1})-v(x_1,\dots ,x_k)u(x_{k+1}),$$ و، از آنجا که $x_i=x_{k+1}$ ، این واضح است که برابر با $0$ است. اگر $j\le k$ ، آنگاه هر یک از دو جمله احتمالاً غیرصفری که هنوز باقی مانده‌اند را می‌توان با اعمال جابجایی $(i,j)$ از دیگری به دست آورد. نتیجه می‌شود که آن جملات فقط در علامت تفاوت دارند، و بنابراین مجموع آن‌ها صفر است. این ثابت می‌کند که $w$ متناوب است و بنابراین ثابت می‌کند که بُعد فضای فرم‌های $n$ -خطی متناوب کمتر از $1$ نیست.

این واقعیت که بُعد فضای فرم‌های $n$ -خطی متناوب بیشتر از $1$ نیست، نتیجه مستقیم بخش: فرم‌های متناوب ، قضیه ۴ است. ◻