دوگان مجموع مستقیم

در بیشتر مطالب پیش رو، مفهوم مجموع مستقیم را به گونه‌ای در نظر می‌گیریم که برای زیرفضاهای یک فضای برداری $𝒱$ تعریف شده است؛ این کار از دردسرهای مربوط به قرارداد شناسایی در بخش: مجموع‌های مستقیم جلوگیری می‌کند و اتفاقاً مشخص می‌شود که مفهوم کاربردی‌تری برای کارهای بعدی ما است. ما فعلاً مطالعه خود درباره مجموع‌های مستقیم را با مشاهده رابطه ساده‌ای که فضاهای دوگان، نابودگرها و مجموع‌های مستقیم را به هم متصل می‌کند، به پایان می‌بریم. برای تأکید بر دیدگاه کنونی خود نسبت به مجموع‌گیری مستقیم، به حروف نمادگذاری پیشین خود بازمی‌گردیم.

قضیه ۱. اگر $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضاهایی از یک فضای برداری $𝒱$ باشند، و اگر $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ باشد، آنگاه با $𝒩^{0}$ یکریخت است و با $ℳ^{0}$ یکریخت است، و می‌باشد.

اثبات. برای ساده‌سازی نمادگذاری، در سراسر این اثبات از $x$ ، و $x^{0}$ به ترتیب برای عناصر $ℳ$ ، و $ℳ^{0}$ استفاده خواهیم کرد، و به طور مشابه، حروف $y$ را برای $𝒩$ و $z$ را برای $𝒱$ اختصاص می‌دهیم. (این نمادگذاری به این معنا نیست که رابطه خاصی بین، مثلاً، بردارهای $x$ در $ℳ$ و بردارهای در وجود دارد.)

اگر هم به $ℳ^{0}$ و هم به $𝒩^{0}$ تعلق داشته باشد، یعنی اگر برای تمام $x$ و $y$ برقرار باشد، آنگاه برای تمام $z$ برقرار است؛ این نشان می‌دهد که $ℳ^{0}$ و $𝒩^{0}$ مجزا هستند. اگر، علاوه بر این، هر برداری در باشد، و اگر $z = x + y$ باشد، می‌نویسیم و . به راحتی می‌توان دید که توابع $x^{0}$ و $y^{0}$ که بدین ترتیب تعریف شده‌اند، تابعک‌های خطی روی $𝒱$ (یعنی عناصر ) هستند که به ترتیب به $ℳ^{0}$ و $𝒩^{0}$ تعلق دارند؛ از آنجا که است، نتیجه می‌شود که در واقع مجموع مستقیم $ℳ^{0}$ و $𝒩^{0}$ است.

برای اثبات یکریختی‌های ادعا شده، به ازای هر $x^{0}$ یک در را متناظر می‌کنیم که با تعریف می‌شود. بررسی روتین اینکه تناظر خطی و یک‌به‌یک است، و بنابراین یک یکریختی بین $ℳ^{0}$ و می‌باشد را به خواننده واگذار می‌کنیم؛ نتیجه متناظر برای $𝒩^{0}$ و از تقارن و با جابجایی $x$ و $y$ به دست می‌آید. (توجه داشته باشید که برای فضاهای برداری با بعد متناهی، صرفِ وجود یک یکریختی بین، مثلاً، $ℳ^{0}$ و با یک استدلال بُعدی بدیهی است؛ در واقع، ابعاد هر دو $ℳ^{0}$ و برابر با بُعد $𝒩$ است.) ◻

در مورد کل ارائه ما از نظریه مجموع‌های مستقیم، خاطرنشان می‌کنیم که عدد دو هیچ جنبه جادویی ندارد؛ ما می‌توانستیم مجموع مستقیم هر تعداد متناهی از فضاهای برداری را تعریف کنیم، و می‌توانستیم معادل‌های بدیهی تمام قضایای سه بخش آخر را اثبات کنیم، در حالی که تنها نمادگذاری پیچیده‌تر می‌شد. هشدار می‌دهیم که بعداً از این نکته استفاده خواهیم کرد و با قضایایی که این نکته ایجاب می‌کند طوری رفتار می‌کنیم که گویی آن‌ها را اثبات کرده‌ایم.

تمرین‌ها

تمرین ۱. فرض کنید $x$ ، $y$ ، $u$ و $v$ بردارهایی در $ℂ^{4}$ باشند؛ فرض کنید $ℳ$ و $𝒩$ به ترتیب زیرفضاهای $ℂ^{4}$ باشند که توسط ${x, y}$ و ${u, v}$ تولید شده‌اند. در کدام یک از موارد زیر این گزاره درست است که $ℂ^{4} = ℳ \oplus 𝒩$ ؟

$x = (1, 1, 0, 0)$ ، $y = (1, 0, 1, 0)$ ، $u = (0, 1, 0, 1)$ ، $v = (0, 0, 1, 1)$ .
$x = (- 1, 1, 1, 0)$ ، $y = (0, 1, - 1, 1)$ ، $u = (1, 0, 0, 0)$ ، $v = (0, 0, 0, 1)$ .
$x = (1, 0, 0, 1)$ ، $y = (0, 1, 1, 0)$ ، $u = (1, 0, 1, 0)$ ، $v = (0, 1, 0, 1)$ .

تمرین ۲. اگر $ℳ$ زیرفضایی متشکل از تمام آن بردارهای $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n}, ξ_{n + 1}, \dots, ξ_{2 n})$ در $ℂ^{2 n}$ باشد که برای آن‌ها $ξ_{1} = \dots = ξ_{n} = 0$ است، و اگر $𝒩$ زیرفضای تمام آن بردارهایی باشد که برای آن‌ها $ξ_{j} = ξ_{n + j}$ ، $j = 1, \dots, n$ است، آنگاه $ℂ^{2 n} = ℳ \oplus 𝒩$ .

تمرین ۳. سه زیرفضای $ℳ$ ، $𝒩_{1}$ و $𝒩_{2}$ از یک فضای برداری $𝒱$ را چنان بسازید که $ℳ \oplus 𝒩_{1} = ℳ \oplus 𝒩_{2} = 𝒱$ باشد اما $𝒩_{1} \neq 𝒩_{2}$ . (توجه داشته باشید که این بدان معناست که قانون حذف برای مجموع‌های مستقیم وجود ندارد.) تصویر هندسی متناظر با این وضعیت چیست؟

تمرین ۴.

اگر $𝒰$ ، $𝒱$ و $𝒲$ فضاهای برداری باشند، رابطه بین $𝒰 \oplus (𝒱 \oplus 𝒲)$ و $(𝒰 \oplus 𝒱) \oplus 𝒲$ چیست (یعنی تشکیل مجموع‌های مستقیم از چه نظر یک عملیات شرکت‌پذیر است)؟
تشکیل مجموع‌های مستقیم از چه نظر جابجایی است؟

تمرین ۵.

سه زیرفضای $ℒ$ ، $ℳ$ و $𝒩$ از یک فضای برداری $𝒱$ را مستقل می‌نامند اگر هر یک از آن‌ها از مجموع دو تای دیگر مجزا باشد. ثابت کنید که یک شرط لازم و کافی برای $𝒱 = ℒ \oplus (ℳ \oplus 𝒩)$ (و همچنین برای $𝒱 = (ℒ \oplus ℳ) \oplus 𝒩$ ) این است که $ℒ$ ، $ℳ$ و $𝒩$ مستقل باشند و $𝒱 = ℒ + ℳ + 𝒩$ باشد. (زیرفضای $ℒ + ℳ + 𝒩$ مجموعه تمام بردارهایی به فرم $x + y + z$ است، که در آن $x$ در $ℒ$ ، $y$ در $ℳ$ و $z$ در $𝒩$ است.)
مثالی از سه زیرفضا از یک فضای برداری $𝒱$ بیاورید، به طوری که مجموع هر سه $𝒱$ باشد، به طوری که هر دو تا از این سه تا مجزا باشند، اما به طوری که این سه تا مستقل نباشند.
فرض کنید $x$ ، $y$ و $z$ عناصری از یک فضای برداری باشند و $ℒ$ ، $ℳ$ و $𝒩$ به ترتیب زیرفضاهای تولید شده توسط $x$ ، $y$ و $z$ باشند. ثابت کنید که بردارهای $x$ ، $y$ و $z$ اگر و تنها اگر مستقل خطی باشند که زیرفضاهای $ℒ$ ، $ℳ$ و $𝒩$ مستقل باشند.
ثابت کنید که سه زیرفضای با بعد متناهی اگر و تنها اگر مستقل هستند که مجموع ابعاد آن‌ها برابر با بُعد مجموعشان باشد.
نتایج (a) تا (d) را از سه زیرفضا به هر تعداد متناهی تعمیم دهید.