حسابان زیرفضاها

برای دیدن کاربردی از این قضیه، فرض کنید $𝒮$ یک مجموعه دلخواه از بردارها (نه لزوماً یک زیرفضا) در یک فضای برداری $𝒱$ باشد. قطعاً زیرفضاهای $ℳ$ وجود دارند که شامل هر عنصری از $𝒮$ هستند (یعنی به طوری که $𝒮\subset ℳ$ )؛ برای مثال، کل فضای $𝒱$ چنین زیرفضایی است. فرض کنید $ℳ$ اشتراک تمام زیرفضاهای شامل $𝒮$ باشد؛ واضح است که خود $ℳ$ یک زیرفضای شامل $𝒮$ است. علاوه بر این، واضح است که $ℳ$ کوچکترین چنین زیرفضایی است؛ اگر $𝒮$ همچنین در زیرفضای $𝒩$ نیز گنجانده شده باشد، $𝒮\subset 𝒩$ ، آنگاه $ℳ\subset 𝒩$ . زیرفضای $ℳ$ که بدین ترتیب تعریف می‌شود، زیرفضای تولیدشده توسط $𝒮$ یا پوشش $𝒮$ نامیده می‌شود. نتیجه زیر ارتباط بین مفهوم تولید کردن و مفاهیم مطالعه شده در بخش‌های ۵ تا ۹ را برقرار می‌کند.

بنابراین می‌بینیم که در اصطلاحات جدیدمان می‌توانیم یک پایه خطی را به عنوان مجموعه‌ای از بردارهای مستقل خطی تعریف کنیم که کل فضا را تولید می‌کند.

نتیجه بعدی ما پیامد ساده‌ای از قضیه ۲ است؛ اثبات آن را می‌توان با خیال راحت به خواننده واگذار کرد.

با الهام از این قضیه، از نماد $\mathscr{H}+𝒦$ برای زیرفضای $ℳ$ که توسط $\mathscr{H}$ و $𝒦$ تولید شده است، استفاده خواهیم کرد. خواهیم گفت که یک زیرفضای $𝒦$ از یک فضای برداری $𝒱$ ، متمم یک زیرفضای $\mathscr{H}$ است اگر $\mathscr{H}\cap 𝒦=𝒪$ و $\mathscr{H}+𝒦=𝒱$ .