بُعد فضای خارج‌قسمتی

تمرین ۱. فضاهای خارج‌قسمتی به دست آمده از کاهش فضای $𝒫$ چندجمله‌ای‌ها به پیمانه زیرفضاهای مختلف را در نظر بگیرید. اگر $ℳ={𝒫}_n$ باشد، آیا $𝒫/ℳ$ متناهی‌بعد است؟ اگر $ℳ$ زیرفضای متشکل از تمام چندجمله‌ای‌های زوج باشد چطور؟ اگر $ℳ$ زیرفضای متشکل از تمام چندجمله‌ای‌های بخش‌پذیر بر $x_n$ باشد چطور (که در آن $x_n(t)=t^n$ )؟

تمرین ۲. اگر $𝒮$ و $𝒯$ زیرمجموعه‌های دلخواهی از یک فضای برداری باشند (نه لزوماً هم‌دسته‌های یک زیرفضا)، هیچ چیز مانع ما از تعریف $𝒮+𝒯$ دقیقاً همان‌طور که جمع برای هم‌دسته‌ها تعریف شد نمی‌شود، و به طور مشابه، می‌توانیم $\alpha 𝒮$ را تعریف کنیم (که در آن $\alpha$ یک اسکالر است). اگر رده تمام زیرمجموعه‌های یک فضای برداری به این «عملیات خطی» مجهز شود، کدام یک از اصول موضوعه یک فضای برداری برقرار هستند؟

تمرین ۳. 

1. فرض کنید $ℳ$ یک زیرفضا از فضای برداری $𝒱$ باشد. دو بردار $x$ و $y$ از $𝒱$ به پیمانه $ℳ$ هم‌نهشت هستند، با نماد $x\equiv y(ℳ)$ ، اگر $x-y$ در $ℳ$ باشد. ثابت کنید که هم‌نهشتی به پیمانه $ℳ$ یک رابطه هم‌ارزی است، یعنی اینکه بازتابی است ( $x\equiv x$ )، متقارن است (اگر $x\equiv y$ ، آنگاه $y\equiv x$ )، و ترایا است (اگر $x\equiv y$ و $y\equiv z$ ، آنگاه $x\equiv z$ ).
2. اگر ${\alpha }_1$ و ${\alpha }_2$ اسکالر باشند، و اگر $x_1$ ، $x_2$ ، $y_1$ ، و $y_2$ بردارهایی باشند به طوری که $x_1\equiv y_1(ℳ)$ و $x_2\equiv y_2(ℳ)$ ، آنگاه ${\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2\equiv {\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2(ℳ)$ .
3. هم‌نهشتی به پیمانه $ℳ$ ، $𝒱$ را به رده‌های هم‌ارزی تقسیم می‌کند، یعنی به مجموعه‌هایی به طوری که دو بردار اگر و تنها اگر هم‌نهشت باشند به یک مجموعه تعلق دارند. ثابت کنید که یک زیرمجموعه از $𝒱$ اگر و تنها اگر یک هم‌دسته از $ℳ$ باشد، یک رده هم‌ارزی به پیمانه $ℳ$ است.

تمرین ۴. 

1. فرض کنید $ℳ$ یک زیرفضا از فضای برداری $𝒱$ باشد. متناظر با هر تابعک خطی $y$ روی $𝒱/ℳ$ (یعنی، با هر عنصر $y$ از )، یک تابعک خطی $z$ روی $𝒱$ وجود دارد (یعنی، یک عنصر از )؛ تابعک خطی $z$ توسط $z(x)=y(x+ℳ)$ تعریف می‌شود. ثابت کنید که تناظر $y\to z$ یک یکریختی بین و ${ℳ}^0$ است.
2. فرض کنید $ℳ$ یک زیرفضا از فضای برداری $𝒱$ باشد. متناظر با هر هم‌دسته $y+{ℳ}^0$ از ${ℳ}^0$ در (یعنی، با هر عنصر $\mathscr{H}$ از )، یک تابعک خطی $z$ روی $ℳ$ وجود دارد (یعنی، یک عنصر $z$ از )؛ تابعک خطی $z$ توسط $z(x)=y(x)$ تعریف می‌شود. ثابت کنید که $z$ به طور غیرمبهم توسط هم‌دسته $\mathscr{H}$ تعیین می‌شود (یعنی، به انتخاب خاص $y$ بستگی ندارد)، و اینکه تناظر $\mathscr{H}z$ یک یکریختی بین و است.

تمرین ۵. با فرض یک فضای برداری متناهی‌بعد $𝒱$ ، مجموع مستقیم را تشکیل دهید، و ثابت کنید که تناظر $⟨x,y⟩\to ⟨y,x⟩$ یک یکریختی بین $𝒲$ و است.