بعد

اثبات. اثبات این قضیه اصلاح جزئی روشی است که در بخش: ترکیبات خطی استفاده شده است، و اتفاقاً چیزی فراتر از آنچه قضیه بیان می‌کند را اثبات می‌کند. فرض کنید $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ و $𝒴=\{y_1,\dots ,y_m\}$ دو مجموعه متناهی از بردارها باشند، که هر کدام دارای یکی از دو ویژگی تعریف‌کننده یک پایه هستند؛ یعنی فرض می‌کنیم هر بردار در $𝒱$ ترکیبی خطی از $x$ ها است (اما نه اینکه $x$ ها مستقل خطی باشند)، و فرض می‌کنیم $y$ ها مستقل خطی هستند (اما نه اینکه هر برداری ترکیبی خطی از آن‌ها باشد). ما می‌توانیم قضیه بخش: ترکیبات خطی را، دقیقاً مانند بالا، بر مجموعه $𝒮$ از بردارهای $$y_m,x_1,\dots ,x_n$$ اعمال کنیم. باز هم می‌دانیم که هر بردار ترکیبی خطی از بردارهای $𝒮$ است و اینکه $𝒮$ وابسته خطی است. با استدلال دقیقاً مانند قبل، مجموعه‌ای به نام از بردارهای $$y_m,x_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_n$$ به دست می‌آوریم که باز هم دارای این ویژگی است که هر بردار ترکیبی خطی از بردارهای است. اکنون $y_{m-1}$ را در جلوی بردارهای می‌نویسیم و همان استدلال را اعمال می‌کنیم. با ادامه این روند، می‌بینیم که $x$ ها قبل از $y$ ها تمام نخواهند شد، زیرا در غیر این صورت $y$ های باقی‌مانده باید ترکیبات خطی از آن‌هایی باشند که قبلاً در $𝒮$ گنجانده شده‌اند، در حالی که می‌دانیم $y$ ها مستقل خطی هستند. به عبارت دیگر، پس از اینکه استدلال $m$ بار اعمال شد، مجموعه‌ای با همان ویژگی‌ای که $x$ ها داشتند به دست می‌آوریم، و این مجموعه با مجموعه $x$ ها در این تفاوت دارد که $m$ تا از آن‌ها با $y$ ها جایگزین شده‌اند. این گزاره به ظاهر بی‌گناه همان چیزی است که به دنبال آن هستیم؛ این گزاره نتیجه می‌دهد که $n\ge m$ . در نتیجه اگر هر دو $𝒳$ و $𝒴$ پایه باشند (به طوری که هر دو دارای هر دو ویژگی باشند)، آنگاه $n\ge m$ و $m\ge n$ . ◻