فضاهای برداری

تعریف ۱. یک فضای برداری مجموعه‌ای $𝒱$ از عناصری به نام بردارها است که در اصول موضوعه زیر صدق می‌کنند.

(الف) برای هر جفت، $x$ و $y$ ، از بردارهای موجود در $𝒱$ یک بردار $x+y$ متناظر می‌شود که مجموع $x$ و $y$ نامیده می‌شود، به گونه‌ای که

1. جمع تعویض‌پذیر است، $x+y=y+x$ ،
2. جمع شرکت‌پذیر است، $x+(y+z)=(x+y)+z$ ،
3. در $𝒱$ یک بردار منحصربه‌فرد $0$ (که مبدأ نامیده می‌شود) وجود دارد به طوری که برای هر بردار $x$ ، رابطه $x+0=x$ برقرار است، و
4. برای هر بردار $x$ در $𝒱$ یک بردار منحصربه‌فرد $-x$ متناظر می‌شود به طوری که $x+(-x)=0$ است.

(ب) برای هر جفت، $\alpha$ و $x$ ، که در آن $\alpha$ یک اسکالر و $x$ یک بردار در $𝒱$ است، یک بردار $\alpha x$ در $𝒱$ متناظر می‌شود که حاصل‌ضرب $\alpha$ و $x$ نامیده می‌شود، به گونه‌ای که

1. ضرب در اسکالرها شرکت‌پذیر است، $\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$ ، و
2. برای هر بردار $x$ ، رابطه $1x=x$ برقرار است.

(ج) 

1. ضرب در اسکالرها نسبت به جمع برداری توزیع‌پذیر است، $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$ ، و
2. ضرب در بردارها نسبت به جمع اسکالرها توزیع‌پذیر است، $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$ .