برابری

از آنجا که $(1, 3) (1, 2) = (1, 2) (2, 3)$ ( $= (1, 2, 3)$ )، می‌بینیم که نمایش یک جایگشت (حتی یک دور) به صورت حاصل‌ضرب ترانهش‌ها لزوماً یکتا نیست. از آنجا که $(1, 3) (1, 4) (1, 2) (3, 4) (3, 2) = (1, 4) (1, 3) (1, 2) (= (1, 2, 3, 4)),$ می‌بینیم که حتی تعداد ترانهش‌های مورد نیاز برای تجزیه یک دور نیز لزوماً یکتا نیست. با این وجود، چیزی یکتا در مورد این تجزیه وجود دارد، و آن اینکه آیا تعداد ترانهش‌های مورد نیاز زوج است یا فرد. ما به بیان دقیق این نتیجه و اثبات آن می‌پردازیم.

برای سادگی در نمادگذاری، فرض کنید $k = 4$ . فرض کنید $f$ چندجمله‌ای (بر حسب چهار متغیر $t_{1}$ ، $t_{2}$ ، $t_{3}$ ، $t_{4}$ ) باشد که به صورت $f (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) = (t_{1} - t_{2}) (t_{1} - t_{3}) (t_{1} - t_{4}) (t_{2} - t_{3}) (t_{2} - t_{4}) (t_{3} - t_{4}) .$ تعریف می‌شود. (در حالت کلی $f$ حاصل‌ضرب تمام تفاضل‌های $t_{i} - t_{j}$ ، با شرط $1 \leq i < j \leq k$ است.) هر جایگشت $π$ در $𝒮_{4}$ ، $f$ را به یک چندجمله‌ای جدید تبدیل می‌کند که با $π f$ نشان داده می‌شود؛ طبق تعریف $(π f) (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) = f (t_{π (1)}, t_{π (2)}, t_{π (3)}, t_{π (4)}) .$ به عبارت دیگر: برای به دست آوردن $π f$ ، هر متغیر در $f$ را با متغیری جایگزین کنید که اندیس آن از اعمال $π$ بر اندیس متغیر داده شده به دست می‌آید. به عنوان مثال، اگر $π = (2, 4)$ باشد، آنگاه $(π f) (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) = (t_{1} - t_{4}) (t_{1} - t_{3}) (t_{1} - t_{2}) (t_{4} - t_{3}) (t_{4} - t_{2}) (t_{3} - t_{2}) .$ اگر $σ = (1, 3, 2, 4)$ باشد، به طوری که $σ π = (1, 3, 2)$ شود، آنگاه هر دو عبارت $(σ (π f)) (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4})$ و $((σ π) f) (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4})$ برابرند با $(t_{3} - t_{1}) (t_{3} - t_{2}) (t_{3} - t_{4}) (t_{1} - t_{2}) (t_{1} - t_{4}) (t_{2} - t_{4}) .$ این محاسبات سه واقعیت مهم را نشان می‌دهند و اثبات آن‌ها را مشخص می‌کنند. (۱) برای هر جایگشت $π$ ، عوامل $π f$ همان عوامل $f$ هستند، مگر احتمالاً در علامت و ترتیب ؛ در نتیجه $π f = f$ یا $π f = - f$ . جایگشت $π$ را زوج می‌نامند اگر $π f = f$ و فرد اگر $π f = - f$ . علامت (یا نشانه ) یک جایگشت $π$ ، که با $sgn π$ نشان داده می‌شود، برابر با $+ 1$ یا $- 1$ است بسته به اینکه $π$ زوج باشد یا فرد، به طوری که همواره داریم $π f = (sgn π) f$ . این واقعیت که $π$ زوج یا فرد است، گاهی با گفتن اینکه زوجیت $π$ به ترتیب زوج یا فرد است، بیان می‌شود. (۲) اگر $π$ یک ترانهش باشد، آنگاه $sgn π = - 1$ ، یا به طور معادل، هر ترانهش فرد است. اثبات، تعمیم بدیهی استدلال زیر درباره مثال خاص $(2, 4)$ است. دقیقاً یکی از عوامل $f$ شامل هر دو $t_{2}$ و $t_{4}$ است، و همان عامل در گذار از $f$ به $π f$ علامت خود را تغییر می‌دهد. اگر یک عامل شامل هیچ‌یک از $t_{2}$ و $t_{4}$ نباشد، ثابت می‌ماند. عواملی که تنها شامل یکی از $t_{2}$ و $t_{4}$ هستند به صورت جفت می‌آیند (مانند جفت $(t_{2} - t_{3})$ و $(t_{3} - t_{4})$ ، یا جفت $(t_{1} - t_{2})$ و $(t_{1} - t_{4})$ ). هر عامل در چنین جفتی به عامل دیگر تبدیل می‌شود، مگر اینکه احتمالاً علامت آن تغییر کند؛ اگر برای یک عامل تغییر کند، برای جفت آن نیز تغییر خواهد کرد. (۳) اگر $σ$ و $τ$ جایگشت باشند آنگاه $(σ τ) f = σ (τ f)$ ؛ در نتیجه $σ τ$ زوج است اگر و تنها اگر $σ$ و $τ$ دارای زوجیت یکسانی باشند. توجه کنید که $sgn (σ τ) = (sgn σ) (sgn τ)$ .

از (۲) و (۳) نتیجه می‌شود که حاصل‌ضرب دسته‌ای از ترانهش‌ها زوج است اگر و تنها اگر تعداد آن‌ها زوج باشد، و در غیر این صورت فرد است. (به طور خاص، با نگاه کردن به اثبات بخش: دورها ، قضیه ۲، توجه کنید که یک $p$ -دور زوج است اگر و تنها اگر $p$ فرد باشد؛ به عبارت دیگر، اگر $σ$ یک $p$ -دور باشد، آنگاه $sgn σ = (- 1)^{p + 1}$ .) نتیجه‌گیری: مهم نیست که یک جایگشت $π$ چگونه به ترانهش‌ها تجزیه شود، تعداد عوامل همواره زوج است (این حالت زمانی است که $π$ زوج باشد)، یا اینکه همواره فرد است (این حالت زمانی است که $π$ فرد باشد).

حاصل‌ضرب دو جایگشت زوج، زوج است؛ معکوس یک جایگشت زوج، زوج است؛ جایگشت همانی زوج است. این حقایق با این بیان خلاصه می‌شوند که مجموعه تمام جایگشت‌های زوج یک زیرگروه از $𝒮_{k}$ است؛ این زیرگروه (که با $𝒜_{k}$ نشان داده می‌شود) گروه متناوب از درجه k نامیده می‌شود.

تمرین‌ها

تمرین ۱. چند جایگشت در $𝒜_{k}$ وجود دارد؟

تمرین ۲. مثال‌هایی از جایگشت‌های زوج با مرتبه زوج و جایگشت‌های زوج با مرتبه فرد ارائه دهید؛ همین کار را برای جایگشت‌های فرد انجام دهید.

تمرین ۳. هر جایگشت در $𝒜_{k}$ ( $k > 2$ ) را می‌توان به صورت حاصل‌ضربی نوشت که هر عامل آن یکی از $3$ -دورهای $(1, 2, 3), (1, 2, 4), \dots, (1, 2, k)$ باشد.