ناوردایی

یک رابطه ممکن میان زیرفضاهای $ℳ$ از یک فضای برداری و تبدیلات خطی $A$ روی آن فضا، ناوردایی است. می‌گوییم $ℳ$ تحت $A$ ناوردا است، اگر $x$ در $ℳ$ نتیجه دهد که $Ax$ در $ℳ$ است. (توجه کنید که رابطه استلزام تنها در یک جهت مورد نیاز است؛ ما فرض نمی‌کنیم که هر $y$ در $ℳ$ را می‌توان به فرم $y=Ax$ با $x$ در $ℳ$ نوشت؛ ما حتی فرض نمی‌کنیم که $Ax$ در $ℳ$ مستلزم $x$ در $ℳ$ باشد. به زودی مثال‌هایی خواهیم دید که در آن‌ها شرایطی که فرض نکردیم قطعاً برقرار نیستند.) می‌دانیم که یک زیرفضای یک فضای برداری، خود یک فضای برداری است؛ اگر بدانیم که $ℳ$ تحت $A$ ناوردا است، می‌توانیم این واقعیت را که $A$ خارج از $ℳ$ تعریف شده است نادیده بگیریم و می‌توانیم $A$ را به عنوان یک تبدیل خطی تعریف شده روی فضای برداری $ℳ$ در نظر بگیریم. ناوردایی اغلب برای مجموعه‌هایی از تبدیلات خطی، و همچنین برای یک تبدیل واحد در نظر گرفته می‌شود؛ $ℳ$ تحت یک مجموعه ناوردا است اگر تحت هر عضو از آن مجموعه ناوردا باشد.

در مورد ماتریس یک تبدیل خطی $A$ روی یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ چه می‌توان گفت اگر بدانیم که $ℳ$ تحت $A$ ناوردا است؟ به عبارت دیگر: آیا راه هوشمندانه‌ای برای انتخاب یک پایه $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ در $𝒱$ وجود دارد به طوری که $[A]=[A;𝒳]$ دارای فرم به خصوص ساده‌ای باشد؟ پاسخ در بخش: بعد یک زیرفضا ، قضیه ۲ آمده است؛ ما می‌توانیم $𝒳$ را طوری انتخاب کنیم که $x_1,\dots ,x_m$ در $ℳ$ باشند و $x_{m+1},\dots ,x_n$ نباشند. بیایید $A{x}_j$ را بر حسب $x_1,\dots ,x_n$ بیان کنیم. برای $m+1\le j\le n$ ، چیز زیادی نمی‌توانیم بگوییم: $A{x}_j=\sum _i{\alpha }_{ij}{x}_i$ . اما برای $1\le j\le m$ ، $x_j$ در $ℳ$ است، و بنابراین (چون $ℳ$ تحت $A$ ناوردا است) $A{x}_j$ در $ℳ$ است. در نتیجه، در این حالت $A{x}_j$ یک ترکیب خطی از $x_1,\dots ,x_m$ است؛ ${\alpha }_{ij}$ ها با $m+1\le i\le n$ صفر هستند. از این رو ماتریس $[A]$ از $A$ ، در این دستگاه مختصات، دارای فرم خواهد بود که در آن $[A_1]$ ماتریس ($m$ -سطری) $A$ است که به عنوان یک تبدیل خطی روی فضای $ℳ$ (نسبت به دستگاه مختصات $\{x_1,\dots ,x_m\}$ ) در نظر گرفته شده است، $[A_2]$ و $[B_0]$ آرایه‌هایی از اسکالرها هستند (به ترتیب در اندازه $(n-m)$ در $(n-m)$ و $m$ در $(n-m)$ )، و $[0]$ نشان‌دهنده آرایه مستطیلی ($(n-m)$ در $m$ ) است که فقط از صفرها تشکیل شده است. (مهم است که به این واقعیت ناخوشایند توجه کنیم که $[B_0]$ لزوماً صفر نیست.)