معکوس‌ها

در هر یک از دو بخش پیشین مثالی آوردیم؛ این دو مثال، دو ویژگی نامطلوبی را که ضرب تبدیلات خطی دارد، یعنی جابجایی‌ناپذیری و وجود مقسوم‌علیه‌های صفر را آشکار می‌کنند. اکنون به ویژگی‌های دلپذیرتری می‌پردازیم که تبدیلات خطی گاهی اوقات دارند.

ممکن است تبدیل خطی $A$ دارای یکی یا هر دو ویژگی بسیار خاص زیر باشد.

اگر $x_{1} \neq x_{2}$ ، آنگاه $A x_{1} \neq A x_{2}$ .
به ازای هر بردار $y$ (حداقل) یک بردار $x$ متناظر وجود دارد به طوری که $A x = y$ .

هرگاه $A$ دارای هر دو ویژگی باشد، می‌گوییم $A$ وارون‌پذیر است. اگر $A$ وارون‌پذیر باشد، یک تبدیل خطی تعریف می‌کنیم که وارون $A$ نامیده می‌شود و با $A^{- 1}$ نشان داده می‌شود، به شرح زیر. اگر $y_{0}$ هر برداری باشد، می‌توانیم (طبق (ii)) یک $x_{0}$ بیابیم که برای آن $A x_{0} = y_{0}$ باشد. این $x_{0}$ علاوه بر این، به طور یکتا تعیین می‌شود، زیرا $x_{0} \neq x_{1}$ نتیجه می‌دهد (طبق (i)) که $y_{0} = A x_{0} \neq A x_{1}$ . ما $A^{- 1} y_{0}$ را برابر با $x_{0}$ تعریف می‌کنیم. برای اثبات اینکه $A^{- 1}$ خطی است، $A^{- 1} (α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2})$ را محاسبه می‌کنیم. اگر $A x_{1} = y_{1}$ و $A x_{2} = y_{2}$ باشد، آنگاه خطی بودن $A$ به ما می‌گوید که $A (α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2}) = α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2},$ به طوری که $A^{- 1} (α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2}) = α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2} = α_{1} A^{- 1} y_{1} + α_{2} A^{- 1} y_{2} .$

به عنوان یک مثال بدیهی از یک تبدیل وارون‌پذیر، به تبدیل همانی $1$ اشاره می‌کنیم؛ واضح است که $1^{- 1} = 1$ . تبدیل $0$ وارون‌پذیر نیست؛ این تبدیل هر دو شرط (i) و (ii) را تقریباً تا حد ممکن نقض می‌کند.

از تعریف فوراً برمی‌آید که برای هر $A$ وارون‌پذیری داریم $A A^{- 1} = A^{- 1} A = 1$ اکنون نشان خواهیم داد که این معادلات برای مشخص کردن $A^{- 1}$ کفایت می‌کنند.

قضیه ۱. اگر $A$ ، $B$ و $C$ تبدیلات خطی باشند به طوری که $A B = C A = 1$ آنگاه $A$ وارون‌پذیر است و $A^{- 1} = B = C$ .

اثبات. اگر $A x_{1} = A x_{2}$ ، آنگاه $C A x_{1} = C A x_{2}$ ، بنابراین (چون $C A = 1$ ) $x_{1} = x_{2}$ ؛ به عبارت دیگر، شرط اول تعریف وارون‌پذیری برقرار است. شرط دوم نیز برقرار است، زیرا اگر $y$ هر برداری باشد و $x = B y$ ، آنگاه $y = A B y = A x$ . با ضرب $A B = 1$ از چپ، و $C A = 1$ از راست، در $A^{- 1}$ ، می‌بینیم که $A^{- 1} = B = C$ . ◻

برای نشان دادن اینکه هیچ‌یک از $A B = 1$ و $C A = 1$ به تنهایی برای تضمین وارون‌پذیری $A$ کافی نیستند، توجه را به تبدیلات مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری $D$ و $S$ جلب می‌کنیم، که در بخش: تبدیلات خطی ، (۴) و (۵) تعریف شده‌اند. اگرچه $D S = 1$ ، اما هیچ‌یک از $D$ و $S$ وارون‌پذیر نیستند؛ $D$ شرط (i) را نقض می‌کند، و $S$ شرط (ii) را نقض می‌کند.

در فضاهای متناهی‌بعدی وضعیت بسیار ساده‌تر است.

قضیه ۲. یک تبدیل خطی $A$ روی یک فضای برداری متناهی‌بعدی $𝒱$ وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر $A x = 0$ نتیجه دهد که $x = 0$ ، یا به طور معادل، اگر و تنها اگر هر $y$ در $𝒱$ را بتوان به فرم $y = A x$ نوشت.

اثبات. اگر $A$ وارون‌پذیر باشد، هر دو شرط برقرار هستند؛ این مقدار بدیهی است. اکنون فرض کنید $A x = 0$ نتیجه دهد که $x = 0$ . آنگاه $u \neq v$ ، یعنی $u - v \neq 0$ ، نتیجه می‌دهد که $A (u - v) \neq 0$ ، یعنی اینکه $A u \neq A v$ ؛ این (i) را اثبات می‌کند. برای اثبات (ii)، فرض کنید ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ یک پایه در $𝒱$ باشد؛ ما ادعا می‌کنیم که ${A x_{1}, \dots, A x_{n}}$ نیز یک پایه است. طبق بخش: بُعد ، قضیه ۲، تنها نیاز داریم استقلال خطی را اثبات کنیم. اما $\sum_{i} α_{i} A x_{i} = 0$ به این معناست که $A (\sum_{i} α_{i} x_{i}) = 0$ ، و طبق فرض، این نتیجه می‌دهد که $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$ ؛ استقلال خطی $x_{i}$ ها اکنون به ما می‌گوید که $α_{1} = \dots = α_{n} = 0$ . البته نتیجه می‌شود که هر بردار $y$ را می‌توان به فرم $y = \sum_{i} α_{i} A x_{i} = A (\sum_{i} α_{i} x_{i}) .$ نوشت.

در ادامه فرض می‌کنیم که هر $y$ یک $A x$ است، و فرض کنید ${y_{1}, \dots, y_{n}}$ هر پایه‌ای در $𝒱$ باشد. متناظر با هر $y_{i}$ می‌توانیم یک $x_{i}$ (که لزوماً یکتا نیست) بیابیم که برای آن $y_{i} = A x_{i}$ باشد؛ ما ادعا می‌کنیم که ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ نیز یک پایه است. زیرا $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$ نتیجه می‌دهد $\sum_{i} α_{i} A x_{i} = \sum_{i} α_{i} y_{i} = 0,$ به طوری که $α_{1} = \dots = α_{n} = 0$ . در نتیجه هر $x$ را می‌توان به فرم $x = \sum_{i} α_{i} x_{i}$ نوشت، و $A x = 0$ نتیجه می‌دهد، همان‌طور که در استدلال اخیر گفته شد، که $x = 0$ . ◻

قضیه ۳. اگر $A$ و $B$ وارون‌پذیر باشند، آنگاه $A B$ وارون‌پذیر است و $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ . اگر $A$ وارون‌پذیر باشد و $α \neq 0$ ، آنگاه $α A$ وارون‌پذیر است و $(α A)^{- 1} = \frac{1}{α} A^{- 1}$ . اگر $A$ وارون‌پذیر باشد، آنگاه $A^{- 1}$ وارون‌پذیر است و $(A^{- 1})^{- 1} = A$ .

اثبات. طبق قضیه ۱، کافی است اثبات کنیم (برای عبارت اول) که حاصل‌ضرب $A B$ در $B^{- 1} A^{- 1}$ ، در هر دو ترتیب، برابر با همانی است؛ این بررسی را به خواننده واگذار می‌کنیم. اثبات هر دو عبارت باقی‌مانده از نظر اصولی با این اثبات عبارت اول یکسان است؛ به عنوان مثال، عبارت آخر از این واقعیت ناشی می‌شود که معادلات $A A^{- 1} = A^{- 1} A = 1$ کاملاً نسبت به $A$ و $A^{- 1}$ متقارن هستند. ◻

بحث خود در مورد وارون‌ها را با توضیح زیر به پایان می‌بریم. در راستای بخش پیشین، می‌توانیم در صورت تمایل، توابع گویای $A$ را، هر جا که ممکن باشد، با استفاده از $A^{- 1}$ تعریف کنیم. ما این کار را مفید نخواهیم یافت، مگر در یک مورد: اگر $A$ وارون‌پذیر باشد، آنگاه می‌دانیم که $A^{n}$ نیز وارون‌پذیر است، $n = 1, 2, \dots$ ؛ ما $A^{- n}$ را به جای $(A^{n})^{- 1}$ می‌نویسیم، به طوری که $A^{- n} = (A^{- 1})^{n}$ .

تمرین‌ها

تمرین ۱. کدام‌یک از تبدیلات خطی توصیف‌شده در بخش: تبدیلات به عنوان بردارها ، تمرین ۱ وارون‌پذیر هستند؟

تمرین ۲. یک تبدیل خطی $A$ روی $ℂ^{2}$ توسط $A (ξ_{1}, ξ_{2}) = (α ξ_{1} + β ξ_{2}, γ ξ_{1} + δ ξ_{2})$ تعریف می‌شود که در آن $α$ ، $β$ ، $γ$ و $δ$ اسکالرهای ثابتی هستند. اثبات کنید که $A$ وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر $α δ - β γ \neq 0$ .

تمرین ۳. اگر $A$ و $B$ تبدیلات خطی باشند (روی همان فضای برداری)، آنگاه یک شرط لازم و کافی برای اینکه هر دو $A$ و $B$ وارون‌پذیر باشند این است که هر دو $A B$ و $B A$ وارون‌پذیر باشند.

تمرین ۴. اگر $A$ و $B$ تبدیلات خطی روی یک فضای برداری متناهی‌بعدی باشند، و اگر $A B = 1$ ، آنگاه هر دو $A$ و $B$ وارون‌پذیر هستند.

تمرین ۵.

اگر $A$ ، $B$ ، $C$ و $D$ تبدیلات خطی باشند (همگی روی همان فضای برداری)، و اگر هر دو $A + B$ و $A - B$ وارون‌پذیر باشند، آنگاه تبدیلات خطی $X$ و $Y$ وجود دارند به طوری که $A X + B Y = C$ و $B X + A Y = D .$
فرض‌های وارون‌پذیری در (a) تا چه حد ضروری هستند؟

تمرین ۶.

یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری متناهی‌بعدی وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر استقلال خطی را حفظ کند. اینکه بگوییم $A$ استقلال خطی را حفظ می‌کند به این معناست که هرگاه $𝒳$ یک مجموعه مستقل خطی در فضای $𝒱$ باشد که $A$ روی آن عمل می‌کند، آنگاه $A 𝒳$ نیز یک مجموعه مستقل خطی در $𝒱$ است. (نماد $A 𝒳$ البته نشان‌دهنده مجموعه تمام بردارهایی به فرم $A x$ است، که در آن $x$ در $𝒳$ است.)
آیا فرض متناهی‌بعدی بودن برای اعتبار (a) مورد نیاز است؟

تمرین ۷. نشان دهید اگر $A$ یک تبدیل خطی باشد به طوری که $A^{2} - A + 1 = 0$ ، آنگاه $A$ وارون‌پذیر است.

تمرین ۸. اگر $A$ و $B$ تبدیلات خطی باشند (روی همان فضای برداری) و اگر $A B = 1$ ، آنگاه $A$ یک وارون چپ برای $B$ نامیده می‌شود و $B$ یک وارون راست برای $A$ نامیده می‌شود. اثبات کنید که اگر $A$ دقیقاً یک وارون راست داشته باشد، مثلاً $B$ ، آنگاه $A$ وارون‌پذیر است. (راهنمایی: $B A + B - 1$ را در نظر بگیرید.)

تمرین ۹. اگر $A$ یک تبدیل خطی وارون‌پذیر روی یک فضای برداری متناهی‌بعدی $𝒱$ باشد، آنگاه یک چندجمله‌ای $p$ وجود دارد به طوری که $A^{- 1} = p (A)$ . (راهنمایی: یک چندجمله‌ای غیرصفر $q$ با کمترین درجه بیابید به طوری که $q (A) = 0$ و اثبات کنید که جمله ثابت آن نمی‌تواند $0$ باشد.)

تمرین ۱۰. یک تعریف معقول از وارون‌پذیری برای تبدیلات خطی از یک فضای برداری به فضای برداری دیگر ابداع کنید. با استفاده از آن تعریف، تصمیم بگیرید کدام‌یک (در صورت وجود) از تبدیلات خطی توصیف‌شده در بخش: تبدیلات به عنوان بردارها ، تمرین ۳ وارون‌پذیر هستند.