محصولات

حاصل‌ضرب $P$ دو تبدیل خطی $A$ و $B$ ، $P=AB$ ، با معادله $Px=A(Bx)$ تعریف می‌شود.

مفهوم ضرب برای تمام مطالب پیش‌رو بنیادین است. پیش از ارائه هرگونه مثال برای توضیح معنای حاصل‌ضرب تبدیل‌ها، بیایید پیامدهای نمادگذاری $P=AB$ را بررسی کنیم. گفتن اینکه $P$ یک تبدیل است، البته به این معناست که با فرض یک بردار $x$ ، $P$ کاری روی آن انجام می‌دهد. کاری که انجام می‌دهد با عمل کردن روی $x$ توسط $B$ ، یعنی یافتن $Bx$ ، و سپس عمل کردن روی نتیجه توسط $A$ مشخص می‌شود. به عبارت دیگر، اگر به نماد یک تبدیل به عنوان دستورالعملی برای انجام یک عمل خاص نگاه کنیم، آنگاه نماد حاصل‌ضرب دو تبدیل باید از راست به چپ خوانده شود. ترتیب تبدیل توسط $AB$ به معنای تبدیل ابتدا توسط $B$ و سپس توسط $A$ است. این ممکن است به نظر برسد که هیاهوی بیش از حدی برای یک نکته کوچک است؛ با این حال، همان‌طور که به زودی خواهیم دید، ضرب تبدیل‌ها به طور کلی جابجایی‌پذیر نیست و ترتیبی که در آن تبدیل می‌کنیم تفاوت زیادی ایجاد می‌کند.

مشهورترین مثال از جابجایی‌ناپذیری در فضای $𝒫$ یافت می‌شود. ما تبدیل‌های مشتق‌گیری و ضرب $D$ و $T$ را در نظر می‌گیریم که با $(Dx)(t)=\frac{dx}{dt}$ و $(Tx)(t)=tx(t)$ تعریف می‌شوند؛ داریم $$(DTx)(t)=\frac{d}{dt}(tx(t))=x(t)+t\frac{dx}{dt}$$ و $$(TDx)(t)=t\frac{dx}{dt}.$$ به عبارت دیگر، نه تنها این گزاره که $DT=TD$ نادرست است (به طوری که $DT-TD=0$ )، بلکه در واقع، $(DT-TD)x=x$ برای هر $x$ برقرار است، به طوری که $DT-TD=1$ .

بر اساس مثال‌های بخش: تبدیل‌های خطی ، خواننده باید بتواند مثال‌های بسیاری از جفت تبدیل‌های جابجایی‌ناپذیر بسازد. کسانی که به تفکر هندسی درباره تبدیل‌های خطی عادت دارند، می‌توانند به عنوان مثال، به راحتی خود را متقاعد کنند که حاصل‌ضرب دو دوران در ${ℝ}^3$ (حول مبدأ) به طور کلی به ترتیبی که انجام می‌شوند بستگی دارد.

بیشتر خواص جبری صوری ضرب عددی (با استثنای قابل توجه جابجایی‌پذیری که قبلاً ذکر شد) در جبر تبدیل‌ها معتبر هستند. بنابراین داریم

اثبات تمام این اتحادهای جبری پیامدهای بی‌واسطه تعاریف جمع و ضرب هستند؛ برای توضیح این اصل، ما (3)، یکی از قوانین توزیع‌پذیری را اثبات می‌کنیم. اثبات شامل محاسبه زیر است: