تکثر

بحث در بخش پیشین یکی از دلایل ما برای تمایل به مطالعه فضاهای برداری مختلط را نشان می‌دهد. بر اساس قضیه اساسی جبر، یک معادله چندجمله‌ای روی میدان اعداد مختلط همواره حداقل یک ریشه دارد؛ از این رو نتیجه می‌شود که یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری مختلط همواره حداقل یک مقدار ویژه دارد. میدان‌های دیگری نیز، علاوه بر میدان اعداد مختلط، وجود دارند که روی آن‌ها هر معادله چندجمله‌ای قابل حل است؛ این میدان‌ها از نظر جبری بسته نامیده می‌شوند. کلی‌ترین نتیجه از این دست که در حال حاضر به دنبال آن هستیم این است که هر تبدیل خطی روی یک فضای برداری با بعد متناهی روی یک میدان از نظر جبری بسته، حداقل یک مقدار ویژه دارد. در ادامه این فصل (در چهار بخش بعدی) فرض خواهیم کرد که میدان اسکالرهای ما از نظر جبری بسته است. کاربردی که از این فرض خواهیم کرد همان است که ذکر شد، یعنی از آن می‌توانیم نتیجه بگیریم که مقادیر ویژه همواره وجود دارند.

دیدگاه جبری نسبت به مقادیر ویژه، تعریف ممکن دیگری از تعدد را پیشنهاد می‌کند. فرض کنید $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری با بعد متناهی باشد، و فرض کنید $\lambda$ یک مقدار ویژه برای $A$ باشد. ممکن است بخواهیم تعدد $\lambda$ را به عنوان ریشه‌ای از معادله مشخصه $A$ در نظر بگیریم. این یک مفهوم مفید است که ما آن را تعدد جبری $\lambda$ می‌نامیم تا آن را از مفهوم پیشین‌مان، یعنی تعدد هندسی ، متمایز کنیم.

این دو مفهوم از تعدد با هم منطبق نیستند، همان‌طور که مثال زیر نشان می‌دهد. اگر $D$ عملگر مشتق‌گیری روی فضای ${𝒫}_n$ شامل تمام چندجمله‌ای‌های با درجه $\le n-1$ باشد، آنگاه یک شرط لازم و کافی برای اینکه یک بردار $x$ در ${𝒫}_n$ یک بردار ویژه برای $D$ باشد این است که $\frac{dx}{dt}\equiv \lambda x(t)$ برای یک عدد مختلط $\lambda$ برقرار باشد. ما از نظریه مقدماتی معادلات دیفرانسیل این واقعیت را وام می‌گیریم که هر جواب این معادله یک ضریب ثابت از $e^{\lambda t}$ است. از آنجا که، مگر اینکه $\lambda =0$ باشد، تنها ضریب صفر از $e^{\lambda t}$ یک چندجمله‌ای است (که اگر بخواهد متعلق به ${𝒫}_n$ باشد باید چنین باشد)، باید داشته باشیم $\lambda =0$ و $x(t)=1$ . به عبارت دیگر، این تبدیل خاص تنها یک مقدار ویژه دارد (که بنابراین باید با تعدد جبری $n$ رخ دهد)، یعنی $\lambda =0$ ؛ اما، و این نگران‌کننده‌تر است، بعد خمینه خطی جواب‌ها دقیقاً یک است. بنابراین اگر باشد، دو تعریف تعدد مقادیر متفاوتی می‌دهند. (در این استدلال از این واقعیت ساده استفاده کردیم که یک معادله چندجمله‌ای از درجه $n$ روی یک میدان از نظر جبری بسته دقیقاً $n$ ریشه دارد، اگر تعددها به درستی شمرده شوند. از این رو نتیجه می‌شود که یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی روی چنین میدانی دقیقاً $n$ مقدار ویژه دارد، با احتساب تعددهای جبری.)

کاملاً آسان است که ببینیم تعدد هندسی $\lambda$ هرگز بزرگتر از تعدد جبری آن نیست. در واقع، اگر $A$ هر تبدیل خطی باشد، اگر ${\lambda }_0$ هر یک از مقادیر ویژه آن باشد، و اگر $ℳ$ زیرفضای جواب‌های $Ax={\lambda }_{0}x$ باشد، آنگاه واضح است که $ℳ$ تحت $A$ ناوردا است. اگر $A_0$ تبدیل خطی $A$ باشد که تنها روی $ℳ$ در نظر گرفته شده است، آنگاه واضح است که $\det (A_0-\lambda )$ یک عامل از $det(A-\lambda )$ است. اگر بعد $ℳ$ ( $=$ تعدد هندسی ${\lambda }_0$ ) برابر با $m$ باشد، آنگاه $\det (A_0-\lambda )=({\lambda }_0-\lambda {)}^m$ ؛ نتیجه مطلوب از تعریف تعدد جبری به دست می‌آید. همچنین نتیجه می‌شود که اگر ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$ مقادیر ویژه متمایز $A$ باشند، با تعددهای هندسی متناظر $m_1,\dots ,m_p$ ، و اگر اتفاق بیفتد که $\sum _{i=1}^p{m}_i=n$ ، آنگاه $m_i$ برابر با تعدد جبری ${\lambda }_i$ برای هر $i=1,\dots ,p$ است.

با استفاده از مقادیر ویژه و تعددهای جبری آن‌ها می‌توانیم دو تابع جالب از تبدیلات خطی را مشخص کنیم؛ یکی از آن‌ها دترمینان است و دیگری چیز جدیدی است. (هشدار: این مشخصه‌ها تنها تحت فرض فعلی ما مبنی بر اینکه میدان اسکالر از نظر جبری بسته است، معتبر هستند.)

فرض کنید $A$ هر تبدیل خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی باشد، و فرض کنید ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$ مقادیر ویژه متمایز آن باشند. بیایید تعدد جبری ${\lambda }_j$ را با $m_j$ نشان دهیم، $j=1,\dots ,p$ ، به طوری که $m_1+\cdots +m_p=n$ . برای هر معادله چندجمله‌ای $${\alpha }_0+{\alpha }_1\lambda +\cdots +{\alpha }_n{\lambda }^n=0,$$ حاصل‌ضرب ریشه‌ها $(-1{)}^n{\alpha }_0/{\alpha }_n$ و مجموع ریشه‌ها $-{\alpha }_{n-1}/{\alpha }_n$ است. از آنجا که ضریب پیشرو ( $={\alpha }_n$ ) در چندجمله‌ای مشخصه $\det (A-\lambda )$ برابر با $(-1{)}^n$ است و از آنجا که جمله ثابت ( $={\alpha }_0$ ) برابر با $det(A-0)=\det A$ است، داریم $$\det A=\prod _{j=1}^p{\lambda }_j^{m_j}.$$ این مشخصه‌سازی دترمینان، انگیزه‌ای برای تعریف $$\mathrm{tr}A=\sum _{j=1}^p{m}_j{\lambda }_j.$$ ایجاد می‌کند. تابعی که بدین ترتیب تعریف می‌شود اثر $A$ نامیده می‌شود. ما در ادامه فرصتی برای استفاده از اثر نخواهیم داشت؛ استخراج خواص اساسی اثر را به خواننده علاقه‌مند واگذار می‌کنیم.

تمرین‌ها