تغییر پایه

اگرچه کاری که تاکنون با تبدیلات خطی انجام داده‌ایم ممکن است پیچیده بوده باشد، اما تا حد زیادی خودکار بود. با معرفی مفهوم جدید تبدیل خطی، ما صرفاً اجازه دادیم برخی از مفاهیم پیشین راه‌هایی را پیشنهاد دهند که از طریق آن‌ها با تبدیلات خطی مرتبط می‌شوند. اکنون مطالعه واقعی تبدیلات خطی را آغاز می‌کنیم. به عنوان اولین کاربرد این نظریه، مسائل ناشی از تغییر پایه را حل خواهیم کرد. این مسائل را می‌توان بدون اشاره به تبدیلات خطی فرمول‌بندی کرد، اما راه‌حل آن‌ها به مؤثرترین شکل بر حسب تبدیلات خطی ارائه می‌شود.

فرض کنید $𝒱$ یک فضای برداری $n$ -بعدی باشد و $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ و $𝒴=\{y_1,\dots ,y_n\}$ دو پایه در $𝒱$ باشند. ممکن است دو پرسش زیر را مطرح کنیم.

هر دو پرسش به راحتی در زبان تبدیلات خطی پاسخ داده می‌شوند. یعنی تبدیل خطی $A$ را در نظر می‌گیریم که با $A{x}_i=y_i$ ، $i=1,\dots ,n$ تعریف می‌شود. به طور صریح‌تر: $$A(\sum _i{\xi }_i{x}_i)=\sum _i{\xi }_i{y}_i.$$ فرض کنید $({\alpha }_{ij})$ ماتریس $A$ در پایه $𝒳$ باشد، یعنی $y_j=A{x}_j=\sum _i{\alpha }_{ij}{x}_i$ . مشاهده می‌کنیم که $A$ وارون‌پذیر است، زیرا $\sum _i{\xi }_i{y}_i=0$ نتیجه می‌دهد که ${\xi }_1={\xi }_2=\cdots ={\xi }_n=0$ .

پاسخ به پرسش اول. از آنجا که داریم  

پاسخ به پرسش دوم.  

به طور تقریبی، تبدیل خطی وارون‌پذیر $A$ (یا به طور دقیق‌تر، ماتریس $({\alpha }_{ij})$ ) را می‌توان به عنوان یک تبدیل مختصات (مانند (1)) در نظر گرفت، یا می‌توان آن را (آن‌طور که معمولاً در (2) در نظر می‌گیریم) به عنوان یک تبدیل برداری در نظر گرفت.

در رساله‌های کلاسیک درباره فضاهای برداری، مرسوم است که بردارها به جای موجودیت‌های انتزاعی، به عنوان $n$ -تایی‌های عددی در نظر گرفته شوند؛ این امر مستلزم معرفی برخی اصطلاحات دست‌وپاگیر است. در اینجا یک واژه‌نامه مختصر از برخی از گیج‌کننده‌ترین اصطلاحات و نمادهایی که در ارتباط با فضاهای دوگان و تبدیلات الحاقی به کار می‌روند، ارائه می‌دهیم.

اگر $𝒱$ یک فضای برداری $n$ -بعدی باشد، یک بردار $x$ با مختصاتش نسبت به یک دستگاه مختصات مطلق و ترجیح‌داده‌شده مشخص می‌شود؛ این مختصات یک مجموعه مرتب از $n$ اسکالر را تشکیل می‌دهند. مرسوم است که این مجموعه از اسکالرها را در یک ستون بنویسیم، $$x=\left[\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ⋮\\ {\xi }_n\end{array}\right].$$ عناصر فضای دوگان به صورت سطر نوشته می‌شوند، . اگر $x$ را به عنوان یک ماتریس (مستطیلی) $n$ -در-یک، و را به عنوان یک ماتریس یک-در-$n$ در نظر بگیریم، آنگاه حاصل‌ضرب ماتریسی یک ماتریس یک-در-یک، یعنی یک اسکالر است. در نمادگذاری ما این اسکالر برابر است با . ترفند در نظر گرفتن بردارها به عنوان ماتریس‌های باریک حتی زمانی که ماتریس‌های کامل تبدیلات خطی را در نظر می‌گیریم نیز کارساز است. بنابراین حاصل‌ضرب ماتریسی $({\alpha }_{ij})$ در ستون $({\xi }_j)$ ستونی است که عنصر $i$ -ام آن ${\eta }_i=\sum _j{\alpha }_{ij}{\xi }_j$ است. به جای نگرانی درباره پایه‌های دوگان و تبدیلات الحاقی، می‌توانیم به طور مشابه حاصل‌ضرب سطر در ماتریس $({\alpha }_{ij})$ را با ترتیب تشکیل دهیم؛ نتیجه سطری است که پیش‌تر با نشان دادیم. عبارت اکنون به صورت خلاصه می‌شود؛ هر دو نقطه نشان‌دهنده ضرب ماتریسی معمولی هستند. بردارهای $x$ در $𝒱$ را همورد و بردارهای در را پادهمورد می‌نامند. از آنجا که مفهوم حاصل‌ضرب (یعنی )، از این دیدگاه، به مختصات $x$ و بستگی دارد، طرح پرسش زیر مرتبط می‌شود: اگر پایه را در $𝒱$ مطابق با تبدیل خطی وارون‌پذیر $A$ تغییر دهیم، برای حفظ حاصل‌ضرب در چه باید بکنیم؟ در نمادگذاری ما: اگر باشد، که در آن $y=Ax$ است، آنگاه چگونه با مرتبط است؟ پاسخ: . برای بیان کل این درهم‌تنیدگی از ایده‌ها، اصطلاحات کلاسیک می‌گویند که بردارهای $x$ به طور هم‌روند و ها به طور پادهم‌روند تغییر می‌کنند.