تبدیل‌های خارج‌قسمتی

فرض کنید $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری $𝒱$ باشد و $ℳ$ یک زیرفضای $𝒱$ باشد که تحت $A$ ناوردا است. در این شرایط، راهی طبیعی برای تعریف یک تبدیل خطی (که با $A/ℳ$ نشان داده می‌شود) روی فضای $𝒱/ℳ$ وجود دارد؛ این «تبدیل خارج‌قسمتی» تقریباً به همان روشی با $A$ مرتبط است که فضای خارج‌قسمتی با $𝒱$ مرتبط است. مناسب خواهد بود (در این بخش) که $𝒱/ℳ$ را با نماد فشرده‌تر ${𝒱}^{-}$ نشان دهیم، و از نمادهای مرتبط برای بردارها و تبدیل‌های خطی که رخ می‌دهند استفاده کنیم. بنابراین، به عنوان مثال، اگر $x$ هر برداری در $𝒱$ باشد، هم‌دسته $x+ℳ$ را با $x^{-}$ نشان خواهیم داد؛ اشیایی مانند $x^{-}$ عناصر معمول ${𝒱}^{-}$ هستند.

برای تعریف تبدیل خارج‌قسمتی $A/ℳ$ (که به طور جایگزین با $A^{-}$ نشان داده می‌شود)، برای هر بردار $x$ در $𝒱$ می‌نویسیم $$A^{-}{x}^{-}=(Ax{)}^{-}$$ . به عبارت دیگر، برای یافتن تصویر توسط $A/ℳ$ از هم‌دسته $x+ℳ$ ، ابتدا تصویر توسط $A$ از بردار $x$ را می‌یابیم، و سپس هم‌دسته $ℳ$ را که توسط آن بردار تبدیل‌شده تعیین می‌شود، تشکیل می‌دهیم. این تعریف باید با یک استدلال عدم ابهام پشتیبانی شود؛ ما باید مطمئن باشیم که اگر دو بردار یک هم‌دسته را تعیین کنند، آنگاه همین امر برای تصاویر آن‌ها توسط $A$ نیز صادق است. واقعیت کلیدی در اینجا ناوردایی $ℳ$ است. در واقع، اگر $x+ℳ=y+ℳ$ باشد، آنگاه $x-y$ در $ℳ$ است، به طوری که (به دلیل ناوردایی) $Ax-Ay$ در $ℳ$ است، و بنابراین $Ax+ℳ=Ay+ℳ$ خواهد بود.

چه اتفاقی می‌افتد اگر $ℳ$ نه تنها تحت $A$ ناوردا باشد، بلکه همراه با یک زیرفضای مناسب $𝒩$ ، $A$ را تجزیه کند؟ اگر این اتفاق بیفتد، آنگاه $A$ مجموع مستقیم، مثلاً $A=B\oplus C$ ، از دو تبدیل خطی است که به ترتیب روی زیرفضاهای $ℳ$ و $𝒩$ از $𝒱$ تعریف شده‌اند؛ سؤال این است که رابطه بین $A^{-}$ و $C$ چیست؟ هر دوی این تبدیل‌ها را می‌توان مکمل $A$ در نظر گرفت؛ تبدیل $B$ توصیف می‌کند که $A$ روی $ℳ$ چه می‌کند، و هر دو $A^{-}$ و $C$ به روش‌های مختلف توصیف می‌کنند که $A$ در جاهای دیگر چه می‌کند.

فرض کنید $T$ تناظری باشد که به هر بردار $x$ در $𝒩$ هم‌دسته $x^{-}$ ( $=x+ℳ$ ) را نسبت می‌دهد. ما از قبل می‌دانیم که $T$ یک یکریختی بین $𝒩$ و $𝒱/ℳ$ است (ر.ک. بخش: بعد یک فضای خارج‌قسمتی ، قضیه ۱)؛ اکنون نشان خواهیم داد که این یکریختی تبدیل $C$ را به تبدیل $A^{-}$ منتقل می‌کند. اگر $Cx=y$ باشد (که البته $x$ در $𝒩$ است)، آنگاه $$A^{-}{x}^{-}=(Ax{)}^{-}=(Cx{)}^{-}=y^{-};$$ نتیجه می‌شود که $$TCx=Ty=A^{-}Tx.$$ این دلالت بر آن دارد که $TC=A^{-}T$ ، همان‌طور که وعده داده شد. به بیان ساده‌تر (ببینید بخش: تشابه ) می‌توانیم بگوییم که $A^{-}$ فضای ${𝒱}^{-}$ را دقیقاً به همان روشی تبدیل می‌کند که $C$ فضای $𝒩$ را تبدیل می‌کند. به عبارت دیگر، تبدیل‌های خطی $A^{-}$ و $C$ به طور انتزاعی یکسان (یکریخت) هستند. این واقعیت در کاربردهای مفهوم فضای خارج‌قسمتی از اهمیت بسیار زیادی برخوردار است.