برد و فضای پوچ

بی‌درنگ تأیید می‌شود که $Aℳ$ و $𝒩(A)$ زیرفضا هستند. اگر، طبق معمول، با $𝒪$ زیرفضایی را نشان دهیم که تنها شامل بردار $0$ است، توصیف برخی مفاهیم آشنا بر حسب اصطلاحاتی که به تازگی معرفی شدند آسان است؛ ما برخی از نتایج را فهرست می‌کنیم.

1. تبدیل $A$ معکوس‌پذیر است اگر و تنها اگر $ℛ(A)=𝒱$ و $𝒩(A)=𝒪$ باشد.
2. در صورتی که $𝒱$ متناهی‌بعد باشد، $A$ معکوس‌پذیر است اگر و تنها اگر $ℛ(A)=𝒱$ یا $𝒩(A)=𝒪$ باشد.
3. زیرفضای $ℳ$ تحت $A$ ناوردا است اگر و تنها اگر $Aℳ\subset ℳ$ باشد.
4. یک جفت زیرفضای مکمل $ℳ$ و $𝒩$ ، $A$ را کاهش می‌دهند اگر و تنها اگر $Aℳ\subset ℳ$ و $A𝒩\subset 𝒩$ باشد.
5. اگر $E$ فرافکنی روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ باشد، آنگاه $ℛ(E)=ℳ$ و $𝒩(E)=𝒩$ است.

اثبات تمام این گزاره‌ها آسان است؛ ما اثبات مورد (v) را نشان می‌دهیم. از بخش: فرافکنی‌ها ، قضیه ۲، می‌دانیم که $𝒩$ مجموعه تمام جواب‌های معادله $Ex=0$ است؛ این با تعریف ما از $𝒩(E)$ مطابقت دارد. همچنین می‌دانیم که $ℳ$ مجموعه تمام جواب‌های معادله $Ex=x$ است. اگر $x$ در $ℳ$ باشد، آنگاه $x$ در $ℛ(E)$ نیز هست، زیرا $x$ تصویر چیزی تحت $E$ است (یعنی خود $x$ ). برعکس، اگر یک بردار $x$ تصویر چیزی تحت $E$ باشد، مثلاً $x=Ey$ (به طوری که $x$ در $ℛ(E)$ باشد)، آنگاه $Ex=E^{2}x=Ey=x$ ، به طوری که $x$ در $ℳ$ است.

هشدار: این تصادفی است که برای فرافکنی‌ها $ℛ\oplus 𝒩=𝒱$ باشد. به طور کلی حتی لازم نیست که $ℛ=ℛ(A)$ و $𝒩=𝒩(A)$ مجزا باشند. به عنوان مثال، ممکن است اتفاق بیفتد که برای یک بردار مشخص $x$ داشته باشیم $x\ne 0$ ، $Ax\ne 0$ ، و $A^{2}x=0$ ؛ برای چنین برداری، $Ax$ واضحاً هم به برد و هم به فضای پوچ $A$ تعلق دارد.

تمرین‌ها