پرانتز در برابر کروشه

اکنون ضروری می‌شود که رابطه بین فضاهای برداری عمومی و فضاهای ضرب داخلی را روشن کنیم. قضیه بخش پیشین نشان می‌دهد که، تا زمانی که در مورد مزدوج مختلط دقت کنیم، $(x,y)$ می‌تواند کاملاً جایگزین $[x,y]$ شود. ممکن است به نظر برسد که مطلوب بود کل موضوع فضاهای برداری عمومی به گونه‌ای بسط داده می‌شد که مفهوم تعامد در یک فضای یکانی نه صرفاً یک قیاس، بلکه یک حالت خاص از برخی روابط عمومی مطالعه‌شده پیشین بین بردارها و تابعی‌ها باشد. برای مثال، یک راه برای اجتناب از ناخوشایندی مزدوج‌گیری (یا بهتر بگوییم، انتقال آن به یک موقعیت کمتر چشمگیر) این بود که فضای دوگان یک فضای برداری مختلط به عنوان مجموعه تابعی‌های خطی مزدوج تعریف می‌شد، یعنی مجموعه توابع با مقادیر عددی $y$ که برای آن‌ها $$y({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2)={\overline{\alpha }}_{1}y(x_1)+{\overline{\alpha }}_{2}y(x_2).$$ برقرار است. از آنجا که وارد کردن این پیچیدگی به نظریه عمومی بی‌فایده (و برخلاف کاربرد رایج) به نظر می‌رسید، ما در عوض راه غیرمستقیمی را که تازه پیمودیم انتخاب کردیم. از آنجا که از این پس فقط با فضاهای ضرب داخلی سروکار خواهیم داشت، از خواننده می‌خواهیم که ذهنی تمام کارهای پیشین را با جایگزین کردن کروشه $[x,y]$ با پرانتز $(x,y)$ در سراسر متن بازنگری کند. بیایید تأثیر این تغییر را بر قضایا و تعاریف دو فصل اول بررسی کنیم.

جایگزینی با ${𝒱}^{\ast }$ صرفاً یک تغییر در نمادگذاری است؛ نماد جدید قرار است به ما یادآوری کند که چیز جدیدی (یعنی یک ضرب داخلی) به افزوده شده است. کمی جالب‌تر، هم‌ریختی (مزدوج) بین $𝒱$ و ${𝒱}^{\ast }$ است؛ به وسیله آن، قضایای بخش: پایه‌های دوگان ، که وجود تابعی‌های خطی با ویژگی‌های مختلف را تأیید می‌کنند، اکنون می‌توانند به عنوان تأیید وجود بردارهای مشخصی در خود $𝒱$ تفسیر شوند. بنابراین، برای مثال، وجود یک پایه دوگان برای هر پایه داده‌شده $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ اکنون دلالت بر وجود یک پایه $𝒴=\{y_1,\dots ,y_n\}$ (از $𝒱$ ) با این ویژگی دارد که $(x_i,y_j)={\delta }_{ij}$ .

هیجان‌انگیزتر از آن، جایگزینی ضمنی نابودگر ${ℳ}^0$ یک زیرفضای $ℳ$ (که ${ℳ}^0$ در یا ${𝒱}^{\ast }$ قرار دارد) با مکمل متعامد ${ℳ}^{⟂}$ (که همراه با $ℳ$ ، در $𝒱$ قرار دارد) است. با این حال، اساسی‌ترین تحول جدید به الحاقی یک تبدیل خطی مربوط می‌شود. بنابراین می‌توانیم قیاس بخش: الحاقی‌ها ، (۱) را بنویسیم، و متناظر با هر تبدیل خطی $A$ روی $𝒱$ می‌توانیم یک تبدیل خطی $A^{\ast }$ را با نوشتن $$(Ax,y)=(x,A^{\ast }y)$$ برای هر $x$ تعریف کنیم. از این تعریف نتیجه می‌شود که $A^{\ast }$ باز هم یک تبدیل خطی تعریف‌شده روی همان فضای برداری $𝒱$ است، اما، به دلیل تقارن هرمیتی $(x,y)$ ، رابطه بین $A$ و $A^{\ast }$ کاملاً مشابه رابطه بین $A$ و نیست. قابل توجه‌ترین تفاوت این است که (در یک فضای یکانی) $(\alpha A{)}^{\ast }=\overline{\alpha }{A}^{\ast }$ (و نه $(\alpha A{)}^{\ast }=\alpha A^{\ast }$ ). مرتبط با این پدیده این واقعیت است که اگر ماتریس $A$ ، نسبت به یک پایه ثابت، $({\alpha }_{ij})$ باشد، آنگاه ماتریس $A^{\ast }$ ، نسبت به پایه دوگان، $({\alpha }_{ji})$ نیست بلکه $({\overline{\alpha }}_{ji})$ است. برای دترمینان‌ها ما $\det A^{\ast }=\det A$ را نداریم بلکه $\det A^{\ast }=\overline{\det A}$ را داریم، و در نتیجه، مقادیر ویژه $A^{\ast }$ با مقادیر ویژه $A$ یکسان نیستند، بلکه مزدوج‌های آن‌ها هستند. با این حال، تفاوت‌ها در اینجا متوقف می‌شوند. تمام نتایج دیگر بخش: الحاقی‌ها در مورد ماهیت پاد-هم‌ریختِ تناظر $A\rightleftarrows A^{\ast }$ معتبر هستند؛ اتحاد $A=A^{\ast \ast }$ کاملاً صحیح است و برای تفسیر آن نیازی به کمک یک هم‌ریختی نیست.

به زودی تبدیلات خطی روی فضاهای ضرب داخلی را بحث خواهیم کرد و خواهیم دید که ویژگی جدید اصلی که مطالعه آن‌ها را از بحث فصل دوم متمایز می‌کند، امکان مقایسه $A$ و $A^{\ast }$ به عنوان تبدیلات خطی روی یک فضای واحد، و بررسی آن دسته از تبدیلات خطی است که رابطه به ویژه ساده‌ای با الحاقی‌های خود دارند.