نامساوی شوارتز

نابرابری شوارتز پیامدهای مهم حسابی، هندسی و تحلیلی دارد.

1. در هر فضای ضرب داخلی، فاصله $\delta (x,y)$ بین دو بردار $x$ و $y$ را به صورت $$\delta (x,y)=\Vert x-y\Vert =\sqrt{(x-y,x-y)}.$$ تعریف می‌کنیم. برای آنکه $\delta$ شایسته نامیدن به عنوان فاصله باشد، باید سه ویژگی زیر را داشته باشد:
   1. $\delta (x,y)=\delta (y,x)$ ،
   2. $\delta (x,y)\ge 0$ ؛ $\delta (x,y)=0$ اگر و تنها اگر $x=y$ ،
   3. $\delta (x,y)\le \delta (x,z)+\delta (z,y)$ .
   4. $\delta (x,y)=\delta (x+z,y+z)$ .)
2. در فضای اقلیدسی ${ℝ}^n$ ، عبارت $$\frac{(x,y)}{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }$$ کسینوس زاویه بین $x$ و $y$ را می‌دهد. نابرابری شوارتز در این مورد صرفاً به این بیان خلاصه می‌شود که کسینوس یک زاویه حقیقی $\le 1$ است.
3. در فضای یکانی ${ℂ}^n$ ، نابرابری شوارتز به اصطلاح نابرابری کوشی می‌شود؛ این نابرابری بیان می‌کند که برای هر دو دنباله $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ و $({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)$ از اعداد مختلط، داریم $$|\sum _{i=1}^n{\xi }_i{\overline{\eta }}_i{|}^2\le \sum _{i=1}^n|{\xi }_i{|}^2\cdot \sum _{i=1}^n|{\eta }_i{|}^2.$$ 
4. در فضای $𝒫$ ، نابرابری شوارتز به صورت $$|{\int }_0^{1}x(t)\overline{y(t)}dt{|}^2\le {\int }_0^1|x(t){|}^{2}dt\cdot {\int }_0^1|y(t){|}^{2}dt.$$ درمی‌آید.

مفید است که توجه کنیم روابط ذکر شده در (۱)-(۴) بالا نه تنها با نابرابری کلی شوارتز قیاس‌پذیر هستند، بلکه در واقع پیامدها یا موارد خاصی از آن می‌باشند.

1. در اینجا اشاره می‌کنیم که بین دو مفهوم (فضاهای برداری عمومی و فضاهای ضرب داخلی) جایی برای یک مفهوم میانی مورد توجه وجود دارد. این مفهوم، فضای برداری نرم‌دار است، یعنی فضای برداری که در آن تعریف قابل قبولی از طول وجود دارد، اما چیزی درباره زوایا گفته نمی‌شود. نرم در یک فضای برداری (حقیقی یا مختلط) تابعی با مقادیر عددی $\Vert x\Vert$ از بردارهای $x$ است به طوری که $\Vert x\Vert \ge 0$ مگر اینکه $x=0$ ، $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\cdot \Vert x\Vert$ ، و $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ . بحث ما تا اینجا نشان می‌دهد که یک فضای ضرب داخلی، یک فضای برداری نرم‌دار است؛ اما عکس آن به طور کلی صادق نیست. به عبارت دیگر، اگر تمام چیزی که به ما داده شده یک نرم باشد که سه شرط ذکر شده را برآورده کند، ممکن است نتوان یک ضرب داخلی یافت که برای آن $(x,x)$ دقیقاً برابر با $\Vert x{\Vert }^2$ باشد. با بیانی کمی مبهم اما شاید روشنگر، می‌توانیم بگوییم که نرم در یک فضای ضرب داخلی دارای ماهیتی اساساً "درجه دوم" است که نرم‌ها به طور کلی لزوماً آن را ندارند.