فرافکنی‌های عمود

اکنون در وضعیتی هستیم که می‌توانیم به وعده پیشین خود برای بررسی تصویرهای مرتبط با تجزیه‌های خاص مجموع مستقیم $𝒱 = ℳ \oplus ℳ^{⟂}$ عمل کنیم. ما چنین تصویری را تصویر عمودی می‌نامیم. از آنجا که $ℳ^{⟂}$ به طور یکتا توسط زیرفضای $ℳ$ تعیین می‌شود، نیازی نیست که هر دو جمعوند مستقیم مرتبط با یک تصویر را مشخص کنیم اگر از قبل بدانیم که آن تصویر عمودی است. ما تصویر (عمودی) $E$ بر روی $ℳ$ در امتداد $ℳ^{⟂}$ را به سادگی تصویر بر روی $ℳ$ می‌نامیم و خواهیم نوشت $E = P_{ℳ}$ .

قضیه ۱. یک تبدیل خطی $E$ یک تصویر عمودی است اگر و تنها اگر $E = E^{2} = E^{*}$ . تصویرهای عمودی، تبدیل‌های خطی مثبت هستند و این ویژگی را دارند که $‖ E x ‖ \leq ‖ x ‖$ برای همه $x$ .

اثبات. اگر $E$ یک تصویر عمودی باشد، آنگاه بخش: الحاقی‌های تصویرها ، قضیه ۱ و قضیه بخش: دوگان یک مجموع مستقیم نشان می‌دهند (البته پس از جایگزینی‌های معمول، مانند $ℳ^{⟂}$ به جای $ℳ^{0}$ و $A^{*}$ به جای ) که $E = E^{*}$ . برعکس، اگر $E = E^{2} = E^{*}$ ، آنگاه توان‌دومی $E$ به ما اطمینان می‌دهد که $E$ تصویر بر روی $ℛ$ در امتداد $𝒩$ است، که در آن، البته، $ℛ = ℛ (E)$ و $𝒩 = 𝒩 (E)$ به ترتیب برد و فضای پوچی $E$ هستند. بنابراین تنها نیاز داریم نشان دهیم که $ℛ$ و $𝒩$ متعامد هستند. بدین منظور فرض کنید $x$ عضوی دلخواه از $ℛ$ و $y$ عضوی دلخواه از $𝒩$ باشد؛ نتیجه مطلوب از رابطه $(x, y) = (E x, y) = (x, E^{*} y) = (x, E y) = 0.$ حاصل می‌شود. ویژگی مثبت بودن یک $E$ که در $E = E^{2} = E^{*}$ صدق می‌کند، از نتیجه می‌شود. با اعمال این نتیجه بر تصویر عمودی $1 - E$ ، می‌بینیم که این اثبات قضیه را به پایان می‌برد. ◻

برای برخی از تعمیم‌های نظریه ما، مفید است که بدانیم توان‌دومی به همراه آخرین ویژگی ذکر شده در قضیه ۱ نیز مشخصه تصویرهای عمودی است.

قضیه ۲. اگر یک تبدیل خطی $E$ چنان باشد که $E = E^{2}$ و $‖ E x ‖ \leq ‖ x ‖$ برای همه $x$ ، آنگاه $E = E^{*}$ .

اثبات. ما باید نشان دهیم که برد $ℛ$ و فضای پوچی $𝒩$ از $E$ متعامد هستند. اگر $x$ در $𝒩^{⟂}$ باشد، آنگاه $y = E x - x$ در $𝒩$ است، زیرا $E y = E^{2} x - E x = E x - E x = 0.$ بنابراین $E x = x + y$ با $(x, y) = 0$ ، به طوری که $‖ x ‖^{2} \geq ‖ E x ‖^{2} = ‖ x ‖^{2} + ‖ y ‖^{2} \geq ‖ x ‖^{2},$ و در نتیجه $y = 0$ . متعاقباً $E x = x$ ، پس $x$ در $ℛ$ است؛ این ثابت می‌کند که $𝒩^{⟂} \subset ℛ$ . برعکس، اگر $z$ در $ℛ$ باشد، به طوری که $E z = z$ ، می‌نویسیم $z = x + y$ با $x$ در $𝒩^{⟂}$ و $y$ در $𝒩$ . آنگاه $z = E z = E x + E y = E x = x .$ (دلیل آخرین تساوی این است که $x$ در $𝒩^{⟂}$ است و بنابراین در $ℛ$ است.) پس $z$ در $𝒩^{⟂}$ است، به طوری که $ℛ \subset 𝒩^{⟂}$ ، و بنابراین $ℛ = 𝒩^{⟂}$ . ◻

ما همچنین به این واقعیت نیاز خواهیم داشت که قضیه بخش: ترکیب‌های تصویرها همچنان معتبر است اگر کلمه "تصویر" در سراسر آن با "عمودی" مقید شود. این یک نتیجه مستقیم از مشخصه‌سازی پیشین تصویرهای عمودی و این واقعیت است که مجموع و تفاضل تبدیل‌های خودالحاقی، خودالحاقی هستند، در حالی که حاصل‌ضرب دو تبدیل خودالحاقی، خودالحاقی است اگر و تنها اگر آن‌ها جابجاپذیر باشند. با روش‌های هندسی کنونی ما، تعمیم بخشی از قضیه که با مجموع‌ها سروکار دارد از دو جمعوند به هر تعداد متناهی نیز کاملاً آسان است. این تعمیم به مناسب‌ترین شکل بر حسب مفهوم تعامد برای تصویرها بیان می‌شود؛ ما خواهیم گفت که دو تصویر (عمودی) $E$ و $F$ متعامد هستند اگر $E F = 0$ . (بررسی الحاقی‌ها نشان می‌دهد که این معادل است با $F E = 0$ .) قضیه زیر نشان می‌دهد که زبان هندسی موجه است.

قضیه ۳. دو تصویر عمودی $E = P_{ℳ}$ و $F = P_{𝒩}$ متعامد هستند اگر و تنها اگر زیرفضاهای $ℳ$ و $𝒩$ (یعنی بردهای $E$ و $F$ ) متعامد باشند.

اثبات. اگر $E F = 0$ ، و اگر $x$ و $y$ به ترتیب در بردهای $E$ و $F$ باشند، آنگاه $(x, y) = (E x, F y) = (x, E^{*} F y) = (x, E F y) = 0.$ اگر، برعکس، $ℳ$ و $𝒩$ متعامد باشند (به طوری که $𝒩 \subset ℳ^{⟂}$ )، آنگاه این واقعیت که $E x = 0$ برای $x$ در $ℳ^{⟂}$ ایجاب می‌کند که $E F x = 0$ برای همه $x$ (زیرا $F x$ در $𝒩$ است و در نتیجه در $ℳ^{⟂}$ است). ◻