ضرب داخلی

اکنون بیایید بار دیگر پاهایمان را روی زمین بگذاریم. ما در فصل اول با اشاره به این نکته آغاز کردیم که می‌خواهیم برخی ویژگی‌های ابتدایی فضاهای ابتدایی خاصی مانند ${ℝ}^2$ را تعمیم دهیم. در مطالعه‌مان تاکنون این کار را انجام داده‌ایم، اما یک جنبه از ${ℝ}^2$ را کاملاً از بررسی حذف کرده‌ایم. ما مفهوم کیفی خطی بودن را مطالعه کرده‌ایم؛ آنچه کاملاً نادیده گرفته‌ایم، مفاهیم کمی معمول زاویه و طول هستند. در فصل حاضر این شکاف را پر خواهیم کرد؛ توابع عددی خاصی را که با مفاهیم معمول زاویه و طول مطابقت دارند، بر فضاهای برداری مورد مطالعه اعمال خواهیم کرد و ساختار جدید حاصله (فضای برداری به علاوه تابع عددی داده شده) را مطالعه خواهیم کرد. برای عمق افزوده‌ای که در بینش هندسی از این طریق به دست می‌آوریم، باید از کمی از کلیت آن بگذریم؛ در سراسر بقیه این کتاب مجبور خواهیم بود فرض کنیم که میدان زیربنایی اسکالرها یا میدان $ℝ$ اعداد حقیقی است یا میدان $ℂ$ اعداد مختلط.

برای یافتن سرنخی در مورد چگونگی پیش رفتن، ابتدا ${ℝ}^2$ را بررسی می‌کنیم. اگر $x=({\xi }_1,{\xi }_2)$ و $y=({\eta }_1,{\eta }_2)$ دو نقطه دلخواه در ${ℝ}^2$ باشند، فرمول معمول برای فاصله بین $x$ و $y$ ، یا طول پاره‌خط واصل بین $x$ و $y$ ، برابر است با $\sqrt{({\xi }_1-{\eta }_1{)}^2+({\xi }_2-{\eta }_2{)}^2}$ . مناسب است که نمادگذاری $$\Vert x\Vert =\sqrt{{\xi }_1^2+{\xi }_2^2}$$ را برای فاصله از $x$ تا مبدأ $0=(0,0)$ معرفی کنیم؛ در این نمادگذاری، فاصله بین $x$ و $y$ به صورت $\Vert x-y\Vert$ درمی‌آید.

فعلاً همین قدر در مورد طول‌ها و فاصله‌ها؛ در مورد زاویه‌ها چطور؟ مشخص می‌شود که در حالت کلی، مطالعه هیچ‌یک از اندازه‌های معمول زاویه‌ها به اندازه مطالعه کسینوس آن‌ها راحت نیست. (تقریباً می‌توان گفت دلیل این امر آن است که زاویه، در تصویر معمول در دایره‌ای به شعاع یک، طول یک کمان دایره‌ای خاص است، در حالی که کسینوس زاویه طول یک پاره‌خط است؛ مورد دوم ارتباط دادن به مطالعه پیشین ما از توابع خطی را بسیار آسان‌تر می‌کند.) پس فرض کنید $\alpha$ زاویه بین پاره‌خط از $0$ تا $x$ و محور مثبت ${\xi }_1$ باشد، و $\beta$ زاویه بین پاره‌خط از $0$ تا $y$ و همان محور باشد؛ زاویه بین دو بردار $x$ و $y$ برابر با $\alpha -\beta$ است، به طوری که کسینوس آن برابر است با $$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\frac{{\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2}{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }.$$ 

عبارت ${\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2$ را در نظر بگیرید؛ به وسیله آن می‌توانیم هم زاویه و هم طول را با فرمول‌های بسیار ساده بیان کنیم. پیش‌تر دیدیم که اگر فاصله بین $0$ و $x$ را برای همه $x$ ها بدانیم، آنگاه می‌توانیم فاصله بین هر $x$ و $y$ را محاسبه کنیم؛ اکنون ادعا می‌کنیم که اگر برای هر جفت بردار $x$ و $y$ مقدار ${\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2$ به ما داده شود، آنگاه بر حسب این مقدار می‌توانیم تمام فاصله‌ها و تمام زاویه‌ها را محاسبه کنیم. در واقع، اگر $x=y$ بگیریم، آنگاه ${\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2$ تبدیل به ${\xi }_1^2+{\xi }_2^2=\Vert x{\Vert }^2$ می‌شود، و این کار طول‌ها را انجام می‌دهد؛ فرمول کسینوس بالا زاویه را بر حسب ${\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2$ و دو طول $\Vert x\Vert$ و $\Vert y\Vert$ به ما می‌دهد. برای داشتن یک نمادگذاری مختصر، بیایید برای $x=({\xi }_1,{\xi }_2)$ و $y=({\eta }_1,{\eta }_2)$ بنویسیم، $${\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2=(x,y);$$ آنچه در بالا گفتیم توسط روابط زیر خلاصه می‌شود ویژگی‌های مهم $(x,y)$ ، وقتی به عنوان یک تابع عددی از جفت بردارهای $x$ و $y$ در نظر گرفته شود، عبارتند از: نسبت به $x$ و $y$ متقارن است، به طور خطی به هر یک از دو متغیرش وابسته است، و (مگر اینکه $x=0$ باشد) مقدار $(x,x)$ همواره اکیداً مثبت است. (تضاد نمادگذاری بین استفاده از پرانتز در $(x,y)$ و در $({\xi }_1,{\xi }_2)$ تنها ظاهری است. این تضاد فقط می‌تواند در فضاهای دو بعدی پیش بیاید، و حتی در آنجا نیز به راحتی می‌توان از سردرگمی جلوگیری کرد.)

برای لحظه‌ای تصویر بسیار بدیهی‌تر در ${ℝ}^1$ را مشاهده کنید. برای $x=({\xi }_1)$ و $y=({\eta }_1)$ در این حالت باید داشته باشیم $(x,y)={\xi }_1{\eta }_1$ (و به همین دلیل است که $(x,y)$ به عنوان ضرب داخلی یا ضرب اسکالر $x$ و $y$ شناخته می‌شود). زاویه بین هر دو بردار یا $0$ است یا $\pi$ ، به طوری که کسینوس آن یا $+1$ است یا $-1$ . این موضوع حساسیت بسیار بیشتر تابع داده شده توسط $(x,y)$ را نشان می‌دهد، که تمام مقادیر عددی ممکن را می‌پذیرد.