تغییر پایه متعامد یکه

ما دیده‌ایم که نظریه گذار از یک پایه خطی فضای برداری به پایه‌ای دیگر، به بهترین وجه از طریق یک تبدیل خطی وابسته $A$ (بخش‌های ۴۶، ۴۷) مطالعه می‌شود؛ این پرسش مطرح می‌شود که $A$ هنگامی که از یک پایه یکهنجار فضای ضرب داخلی به پایه‌ای دیگر می‌گذریم، دارای چه ویژگی‌های خاصی است. پاسخ آسان است.

قضیه ۱. اگر $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ یک پایه یکنجار برای یک فضای ضرب داخلی $n$ -بعدی $𝒱$ باشد، و اگر $U$ یک ایزومتری روی $𝒱$ باشد، آنگاه $U 𝒳 = {U x_{1}, \dots, U x_{n}}$ نیز یک پایه یکنجار برای $𝒱$ است. برعکس، اگر $U$ یک تبدیل خطی باشد و $𝒳$ یک پایه یکنجار با این ویژگی باشد که $U 𝒳$ نیز یک پایه یکنجار است، آنگاه $U$ یک ایزومتری است.

اثبات. از آنجا که $(U x_{i}, U x_{j}) = (x_{i}, x_{j}) = δ_{i j}$ ، نتیجه می‌شود که $U 𝒳$ همراه با $𝒳$ یک مجموعه یکنجار است؛ اگر $𝒳$ کامل باشد، آن نیز کامل است، زیرا $(x, U x_{i}) = 0$ برای $i = 1, \dots, n$ ایجاب می‌کند که $(U^{*} x, x_{i}) = 0$ و در نتیجه $U^{*} x = x = 0$ . اگر برعکس، $U 𝒳$ همراه با $𝒳$ یک مجموعه یکنجار کامل باشد، آنگاه هرگاه $x$ و $y$ در $𝒳$ باشند، داریم $(U x, U y) = (x, y)$ ، و واضح است که با استفاده از خطی بودن، $(U x, U y) = (x, y)$ را برای همه $x$ ها و $y$ ها به دست می‌آوریم. ◻

مشاهده می‌کنیم که ماتریس $(u_{i j})$ یک تبدیل ایزومتریک، نسبت به یک پایه یکنجار دلخواه، در شرایط $\sum_{k} {\bar{u}}_{k i} u_{k j} = δ_{i j},$ صدق می‌کند، و برعکس، هر چنین ماتریسی، همراه با یک پایه یکنجار، یک ایزومتری را تعریف می‌کند. (اثبات: $U^{*} U = 1$ . در حالت حقیقی می‌توان خط‌های بالای متغیرها را حذف کرد.) برای اختصار می‌گوییم ماتریسی که در این شرایط صدق می‌کند، یک ماتریس ایزومتریک است.

یک نتیجه جالب و آسان از ملاحظات ما در مورد ایزومتری‌ها، نتیجه فرعی زیر از بخش: فرم مثلثی ، قضیه ۱ است.

قضیه ۲. اگر $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای ضرب داخلی مختلط $n$ -بعدی $𝒱$ باشد، آنگاه یک پایه یکنجار $𝒳$ در $𝒱$ وجود دارد به طوری که ماتریس $[A; 𝒳]$ مثلثی است، یا به طور معادل، اگر $[A]$ یک ماتریس باشد، آنگاه یک ماتریس ایزومتریک $[U]$ وجود دارد به طوری که $[U]^{- 1} [A] [U]$ مثلثی است.

اثبات. در بخش: فرم مثلثی ، در استخراج قضیه ۲ از قضیه ۱، ما یک پایه (خطی) $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ با این ویژگی ساختیم که $x_{1}, \dots, x_{j}$ در $ℳ_{j}$ قرار دارند و $ℳ_{j}$ را برای $j = 1, \dots, n$ تولید می‌کنند، و نشان دادیم که نسبت به این پایه، ماتریس $A$ مثلثی است. اگر می‌دانستیم که این پایه همچنین یک پایه یکنجار است، می‌توانستیم قضیه ۱ از بخش حاضر را برای به دست آوردن نتیجه مطلوب به کار ببریم. اگر $𝒳$ یک پایه یکنجار نباشد، تبدیل آن به یک پایه یکنجار آسان است؛ این دقیقاً همان کاری است که فرآیند متعامدسازی گرام-اشمیت ( بخش: مجموعه‌های یکنجار کامل ) می‌تواند انجام دهد. در اینجا از یک ویژگی خاص فرآیند گرام-اشمیت استفاده می‌کنیم، یعنی اینکه $j$ -امین عنصر پایه یکنجاری که می‌سازد، یک ترکیب خطی از $x_{1}, \dots, x_{j}$ است و بنابراین در $ℳ_{j}$ قرار دارد. ◻

تمرین‌ها

تمرین ۱. اگر $(A x) (t) = x (- t)$ روی $𝒫$ (با ضرب داخلی داده شده توسط $(x, y) = \int_{0}^{1} x (t) \overset{―}{y (t)} d t$ ) باشد، آیا تبدیل خطی $A$ ایزومتریک است؟ آیا خودالحاقی است؟

تمرین ۲. برای چه مقادیری از $α$ ماتریس‌های زیر ایزومتریک هستند؟

$[\begin{matrix} α & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} α & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & α \end{matrix}]$ .

تمرین ۳. یک ماتریس ایزومتریک $3$ -در- $3$ بیابید که سطر اول آن مضربی از $(1, 1, 1)$ باشد.

تمرین ۴. اگر یک تبدیل خطی هر دو مورد از ویژگی‌های خودالحاقی بودن، ایزومتریک بودن، یا اینولوشنی بودن را داشته باشد، آنگاه سومی را نیز دارد. (به یاد آورید که یک اینولوشن یک تبدیل خطی $A$ است به طوری که $A^{2} = 1$ .)

تمرین ۵. اگر یک ماتریس ایزومتریک مثلثی باشد، آنگاه قطری است.

تمرین ۶. اگر $(x_{1}, \dots, x_{k})$ و $(y_{1}, \dots, y_{k})$ دو دنباله از بردارها در یک فضای ضرب داخلی یکسان باشند، آنگاه یک شرط لازم و کافی برای وجود یک ایزومتری $U$ به طوری که $U x_{i} = y_{i}$ ، $i = 1, \dots, k$ ، این است که $(x_{1}, \dots, x_{k})$ و $(y_{1}, \dots, y_{k})$ گرامین یکسانی داشته باشند.

تمرین ۷. نگاشت $ξ \to \frac{ξ + 1}{ξ - 1}$ محور موهومی را در صفحه مختلط یک بار دور دایره واحد می‌نگارد، بدون اینکه نقطه $1$ را شامل شود؛ نگاشت معکوس (از دایره منهای یک نقطه به محور موهومی) با همان فرمول داده می‌شود. مشابه‌های تبدیلی این حقایق هندسی به شرح زیر هستند.

اگر $A$ چوله‌متقارن باشد، آنگاه $A - 1$ وارون‌پذیر است.
اگر $U = (A + 1) (A - 1)^{- 1}$ ، آنگاه $U$ ایزومتریک است. (راهنمایی: $‖ (A + 1) y ‖^{2} = ‖ (A - 1) y ‖^{2}$ برای هر $y$ .)
$U - 1$ وارون‌پذیر است.
اگر $U$ ایزومتریک باشد و $U - 1$ وارون‌پذیر باشد، و اگر $A = (U + 1) (U - 1)^{- 1}$ ، آنگاه $A$ چوله‌متقارن است.

هر یک از $A$ و $U$ به عنوان تبدیل کیلی دیگری شناخته می‌شود.

تمرین ۸. فرض کنید $U$ یک تبدیل است (که فرض نمی‌شود خطی باشد) که یک فضای ضرب داخلی $𝒱$ را روی خودش می‌نگارد (یعنی، اگر $x$ در $𝒱$ باشد، آنگاه $U x$ در $𝒱$ است، و اگر $y$ در $𝒱$ باشد، آنگاه $y = U x$ برای مقداری $x$ در $𝒱$ )، به طوری که $(U x, U y) = (x, y)$ برای همه $x$ ها و $y$ ها.

ثابت کنید $U$ یک‌به‌یک است و اگر تبدیل معکوس با $U^{- 1}$ نشان داده شود، آنگاه $(U^{- 1} x, U^{- 1} y) = (x, y)$ و $(U x, y) = (x, U^{- 1} y)$ برای همه $x$ ها و $y$ ها.
ثابت کنید $U$ خطی است. (راهنمایی: $(x, U^{- 1} y)$ به طور خطی به $x$ بستگی دارد.)

تمرین ۹. یک همیوغ‌سازی یک تبدیل $J$ است (که فرض نمی‌شود خطی باشد) که یک فضای یکانی را روی خودش می‌نگارد و به طوری است که $J^{2} = 1$ و $(J x, J y) = (y, x)$ برای همه $x$ ها و $y$ ها.

یک مثال از یک همیوغ‌سازی بیاورید.
ثابت کنید $(J x, y) = (J y, x)$ .
ثابت کنید $J (x + y) = J x + J y$ .
ثابت کنید $J (α x) = \bar{α} \cdot J x$ .

تمرین ۱۰. یک تبدیل خطی $A$ نسبت به یک همیوغ‌سازی $J$ حقیقی گفته می‌شود اگر $A J = J A$ .

یک مثال از یک تبدیل هرمیتی که حقیقی نیست بیاورید، و یک مثال از یک تبدیل حقیقی که هرمیتی نیست بیاورید.
اگر $A$ حقیقی باشد، آنگاه طیف $A$ نسبت به محور حقیقی متقارن است.
اگر $A$ حقیقی باشد، آنگاه $A^{*}$ نیز حقیقی است.

تمرین ۱۱. بخش: تغییر پایه یکنجار ، قضیه ۲ نشان می‌دهد که فرم مثلثی می‌تواند توسط یک پایه یکنجار به دست آید؛ آیا همین موضوع برای فرم جردن نیز صادق است؟

تمرین ۱۲. اگر $tr A = 0$ ، آنگاه یک ماتریس ایزومتریک $U$ وجود دارد به طوری که تمام درایه‌های قطری $[U]^{- 1} [A] [U]$ صفر هستند. (راهنمایی: بخش: فرم مثلثی ، تمرین ۶ را ببینید.)