تحولات مثبت

چه زمانی یک عدد مختلط $\zeta$ مثبت است (یعنی $\ge 0$ )؟ دو شرط لازم و کافی که به یک اندازه طبیعی هستند این است که $\zeta$ را بتوان به فرم $\zeta ={\xi }^2$ با یک $\xi$ حقیقی نوشت، یا اینکه $\zeta$ را بتوان به فرم $\zeta =\overline{\sigma }\sigma$ با یک $\sigma$ (به طور کلی مختلط) نوشت. با به خاطر سپردن این واقعیت نیز که (حداقل برای فضاهای یکانی) ویژگی هرمیتی یک تبدیل $A$ را می‌توان بر حسب ضرب‌های داخلی $(Ax,x)$ توصیف کرد، می‌توانیم هر یک از سه شرط زیر را در نظر بگیریم و تلاش کنیم از آن به عنوان تعریف مثبت بودن برای تبدیل‌ها استفاده کنیم:  

پیش از تصمیم‌گیری درباره اینکه کدام یک از این سه شرط را به عنوان تعریف استفاده کنیم، مشاهده می‌کنیم که (1) $⟹$ (2) $⟹$ (3). در واقع: اگر $A=B^2$ و $B=B^{\ast }$ ، آنگاه $A=BB=B^{\ast }B$ ، و اگر $A=C^{\ast }C$ ، آنگاه $A^{\ast }=C^{\ast }C=A$ و $$(Ax,x)=(C^{\ast }Cx,x)=(Cx,Cx)=\Vert Cx{\Vert }^2\ge 0.$$ در حقیقت درست است که (3) مستلزم (1) است، به طوری که این سه شرط معادل هستند، اما تا بعداً نخواهیم توانست این را اثبات کنیم. ما شرط سوم را به عنوان تعریف خود می‌پذیریم.

به طور کلی‌تر، هر زمان که $A-B\ge 0$ باشد، خواهیم نوشت $A\ge B$ (یا $B\le A$ ). اگرچه، البته، کاملاً ممکن است که تفاضل دو تبدیل که حتی خودالحاقی هم نیستند مثبت از آب درآید، ما عموماً نامساوی‌ها را فقط برای تبدیل‌های خودالحاقی می‌نویسیم. توجه کنید که برای یک فضای ضرب داخلی مختلط، بخشی از تعریف مثبت بودن زائد است؛ اگر $(Ax,x)\ge 0$ برای همه $x$ ، آنگاه، به طور خاص، $(Ax,x)$ برای همه $x$ حقیقی است، و بنا بر قضیه ۴ بخش پیشین، $A$ باید مثبت باشد.

تبدیل‌های مثبت معمولاً نیمه‌معین نامنفی نامیده می‌شوند. اگر $A\ge 0$ و $(Ax,x)=0$ مستلزم این باشد که $x=0$ ، خواهیم گفت که $A$ اکیداً مثبت است؛ اصطلاح رایج معین مثبت است. از آنجا که نامساوی شوارتز ایجاب می‌کند که $$|(Ax,x)|\le \Vert Ax\Vert \cdot \Vert x\Vert ,$$ می‌بینیم که اگر $A$ یک تبدیل اکیداً مثبت باشد و اگر $Ax=0$ ، آنگاه $x=0$ ، به طوری که، روی یک فضای ضرب داخلی با بعد متناهی، یک تبدیل اکیداً مثبت معکوس‌پذیر است. بعداً خواهیم دید که عکس آن نیز درست است؛ اگر $A\ge 0$ و $A$ معکوس‌پذیر باشد، آنگاه $A$ اکیداً مثبت است. گاهی اوقات مناسب است که واقعیت اکیداً مثبت بودن یک تبدیل $A$ را با نوشتن نشان دهیم؛ اگر ، همچنین می‌توانیم بنویسیم (یا ).

امکان ارائه یک مشخصه‌سازی ماتریسی برای تبدیل‌های مثبت وجود دارد؛ ما این بحث را تا بعداً به تعویق می‌اندازیم. در این میان، فرصت‌هایی پیش خواهد آمد که به ماتریس‌های مثبت ارجاع دهیم، که منظورمان ماتریس‌های متقارن هرمیتی $({\alpha }_{ij})$ است (یعنی ${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}$ ) با این ویژگی که برای هر دنباله $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ از $n$ اسکالر داریم $\sum _i\sum _j{\alpha }_{ij}{\xi }_i{\xi }_j\ge 0$ . (در حالت حقیقی می‌توان خط‌های بالای حروف را حذف کرد؛ در حالت مختلط، تقارن هرمیتی از شرط دیگر نتیجه می‌شود.) این شرایط به وضوح معادل با این شرط هستند که $({\alpha }_{ij})$ ماتریسِ، نسبت به یک دستگاه مختصات متعامد یکه، یک تبدیل مثبت باشد.

قواعد جبری برای ترکیب تبدیل‌های مثبت مشابه قواعد تبدیل‌های خودالحاقی است تا آنجا که به جمع‌ها، مضرب‌های اسکالر و معکوس‌ها مربوط می‌شود؛ حتی بخش: تبدیل‌های خودالحاقی ، قضیه ۲، معتبر باقی می‌ماند اگر در سراسر آن «خودالحاقی» را با «مثبت» جایگزین کنیم. همچنین درست است که اگر $A$ و $B$ مثبت باشند، آنگاه یک شرط لازم و کافی برای اینکه $AB$ (یا $BA$ ) مثبت باشد این است که $AB=BA$ (یعنی اینکه $A$ و $B$ جابه‌جا شوند)، اما مجبور خواهیم بود اثبات این گزاره را برای مدتی به تعویق بیندازیم.

تمرین‌ها