تبدیل‌های خودالحاقی

اکنون بیایید ساختار جبری رده تمام تبدیلات خطی روی یک فضای ضرب داخلی $𝒱$ را مطالعه کنیم. این رده از بسیاری جهات بنیادی شبیه به رده تمام اعداد مختلط است. در هر دو دستگاه، مفاهیم جمع، ضرب، $0$ و $1$ تعریف شده‌اند و خواص مشابهی دارند، و در هر دو دستگاه یک پادریختی خودبه‌خودی از دستگاه به روی خودش وجود دارد (یعنی $A\to A^{\ast }$ و $\zeta \to \overline{\zeta }$ ). ما از این قیاس به عنوان یک اصل اکتشافی استفاده خواهیم کرد، و تلاش خواهیم کرد تا برخی مفاهیم شناخته‌شده از دامنه مختلط را به تبدیلات خطی منتقل کنیم. در این کار با دو دشواری در نظریه تبدیلات خطی مواجه خواهیم شد که شاید به طرز شگفت‌آوری، دومی بسیار جدی‌تر است؛ این دو عبارتند از عدم امکان تقسیم نامحدود و جابجایی‌ناپذیری تبدیلات خطی کلی.

سه زیرمجموعه مهم صفحه اعداد مختلط عبارتند از مجموعه اعداد حقیقی، مجموعه اعداد حقیقی مثبت، و مجموعه اعدادی با قدر مطلق یک. اکنون به طور نظام‌مند پیش خواهیم رفت تا از قیاس اکتشافی خود میان تبدیلات و اعداد مختلط استفاده کنیم، و تلاش کنیم تا معادل‌هایی در میان تبدیلات برای این مفاهیم عددی شناخته‌شده بیابیم.

یک عدد مختلط چه زمانی حقیقی است؟ واضح است که یک شرط لازم و کافی برای حقیقی بودن $\zeta$ ، برقراری معادله $\zeta =\overline{\zeta }$ است. بر این اساس ممکن است (با به یاد آوردن اینکه معادل مزدوج مختلط برای تبدیلات خطی، الحاقی است) یک تبدیل خطی $A$ را حقیقی تعریف کنیم اگر $A=A^{\ast }$ باشد. معمول‌تر آن است که تبدیلات خطی $A$ که برای آن‌ها $A=A^{\ast }$ باشد، خودالحاقی نامیده می‌شوند؛ در فضاهای ضرب داخلی حقیقی کلمه معمول متقارن است، و در فضاهای ضرب داخلی مختلط، هرمیتی . خواهیم دید که تبدیلات خودالحاقی واقعاً همان نقشی را ایفا می‌کنند که اعداد حقیقی ایفا می‌کنند.

مشخص کردن ماتریس یک تبدیل خودالحاقی نسبت به یک پایه یکای متعامد $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ کاملاً آسان است. اگر ماتریس $A$ برابر با $({\alpha }_{ij})$ باشد، آنگاه می‌دانیم که ماتریس $A^{\ast }$ نسبت به پایه دوگان $𝒳$ برابر با $({\alpha }_{ij}^{\ast })$ است، که در آن ${\alpha }_{ij}^{\ast }=\overline{{\alpha }_{ji}}$ ؛ از آنجا که یک پایه یکای متعامد خود-دوگان است و از آنجا که $A=A^{\ast }$ ، داریم $${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}.$$ اثبات عکس آن را به خواننده واگذار می‌کنیم: اگر یک تبدیل خطی $A$ را به وسیله یک ماتریس $({\alpha }_{ij})$ و یک دستگاه مختصات یکای متعامد دلخواه $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ ، از طریق معادلات معمول تعریف کنیم

و اگر ماتریس $({\alpha }_{ij})$ به گونه‌ای باشد که ${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}$ ، آنگاه $A$ خودالحاقی است.

قواعد جبری برای کار با تبدیلات خودالحاقی به آسانی به یاد می‌مانند اگر به این تبدیلات به عنوان معادل‌هایی برای اعداد حقیقی فکر کنیم. بنابراین، اگر $A$ و $B$ خودالحاقی باشند، $A+B$ نیز خودالحاقی است؛ اگر $A$ خودالحاقی و متفاوت از $0$ باشد، و اگر $\alpha$ یک اسکالر ناصفر باشد، آنگاه یک شرط لازم و کافی برای اینکه $\alpha A$ خودالحاقی باشد این است که $\alpha$ حقیقی باشد؛ و اگر $A$ معکوس‌پذیر باشد، آنگاه هر دو یا هیچ‌کدام از $A$ و $A^{-1}$ خودالحاقی هستند. جایی که همیشه چیزی اشتباه پیش می‌رود در ضرب است؛ حاصل‌ضرب دو تبدیل خودالحاقی لزوماً خودالحاقی نیست. حقایق مثبت درباره حاصل‌ضرب‌ها در دو قضیه زیر آمده است.

یک عدد مختلط $\zeta$ محضاً موهومی است اگر و تنها اگر $\overline{\zeta }=-\zeta$ . مفهوم متناظر برای تبدیلات خطی با کلمه چوله شناخته می‌شود؛ اگر یک تبدیل خطی $A$ روی یک فضای ضرب داخلی به گونه‌ای باشد که $A^{\ast }=-A$ ، آنگاه $A$ بسته به اینکه فضا حقیقی یا مختلط باشد، متقارن چوله یا هرمیتی چوله نامیده می‌شود. در اینجا شواهدی برای ماهیت فراگیر قیاس ما میان اعداد مختلط و تبدیلات خطی وجود دارد: یک تبدیل خطی دلخواه $A$ را می‌توان، به یک و تنها یک روش، به فرم $A=B+C$ بیان کرد، که در آن $B$ خودالحاقی و $C$ چوله است. (نمایش $A$ به این فرم گاهی تجزیه دکارتی $A$ نامیده می‌شود.) در واقع، اگر بنویسیم آنگاه داریم $B^{\ast }=\frac{A^{\ast }+A}{2}=B$ و $C^{\ast }=\frac{A^{\ast }-A}{2}=-C$ ، و البته $A=B+C$ . از این اثبات برای وجود تجزیه دکارتی، یکتایی آن نیز روشن است؛ اگر واقعاً داشته باشیم $A=B+C$ ، آنگاه $A^{\ast }=B-C$ ، و در نتیجه، $A$ ، $B$ و $C$ دوباره توسط (۱) و (۲) به هم مرتبط می‌شوند.

در حالت مختلط، راه ساده‌ای برای به دست آوردن تبدیلات هرمیتی چوله از تبدیلات هرمیتی و برعکس وجود دارد: کافی است در $i$ ( $=\sqrt{-1}$ ) ضرب کنیم. از این رو نتیجه می‌شود که در حالت مختلط، هر تبدیل خطی $A$ یک نمایش یکتا به فرم $A=B+iC$ دارد، که در آن $B$ و $C$ هرمیتی هستند. ما به $B$ و $C$ به عنوان قسمت‌های حقیقی و موهومی $A$ اشاره خواهیم کرد.

تمرین‌ها