ایزومتری‌ها

ما برنامه خود را برای بررسی قیاس میان اعداد و تبدیلات ادامه می‌دهیم. چه زمانی یک عدد مختلط $\zeta$ دارای قدر مطلق یک است؟ واضح است که یک شرط لازم و کافی این است که $\overline{\zeta }=1/\zeta$ ؛ با هدایت توسط اصل اکتشافی خود، به بررسی تبدیلات خطی $U$ هدایت می‌شویم که برای آن‌ها $U^{\ast }=U^{-1}$ ، یا به طور معادل، $U{U}^{\ast }=U^{\ast }U=1$ باشد. (مشاهده می‌کنیم که در یک فضای برداری با بعد متناهی، هر یک از دو شرط $U{U}^{\ast }=1$ و $U^{\ast }U=1$ مستلزم دیگری است؛ به بخش: معکوس‌ها ، قضایای ۱ و ۲ مراجعه کنید.) چنین تبدیلاتی بسته به اینکه فضای ضرب داخلی زیربنایی حقیقی باشد یا مختلط، متعامد یا یکانی نامیده می‌شوند. ما به استخراج چند مشخصه جایگزین مفید برای آن‌ها می‌پردازیم.

از آنجا که (۳) مستلزم آن است که برای همه $x$ و $y$ (استلزام عکس (۴) $⟹$ (۳) نیز درست و بدیهی است)، می‌بینیم که تبدیلاتی از نوعی که قضیه به آن‌ها می‌پردازد با این واقعیت مشخص می‌شوند که فواصل را حفظ می‌کنند. به همین دلیل، چنین تبدیلی را ایزومتری خواهیم نامید. از آنجا که، همان‌طور که قبلاً اشاره کردیم، یک ایزومتری روی یک فضای با بعد متناهی لزوماً متعامد یا یکانی است (بسته به اینکه فضا حقیقی باشد یا مختلط)، استفاده از این اصطلاح‌شناسی به ما امکان می‌دهد تا موارد حقیقی و مختلط را همزمان بررسی کنیم. مشاهده می‌کنیم که (در یک فضای با بعد متناهی) یک ایزومتری همواره معکوس‌پذیر است و $U^{-1}$ ( $=U^{\ast }$ ) همراه با $U$ یک ایزومتری است.

در هر دستگاه جبری، و به ویژه در فضاهای برداری عمومی و فضاهای ضرب داخلی، بررسی خودریختی‌های دستگاه مورد توجه است، یعنی بررسی آن نگاشت‌های یک‌به‌یکی از دستگاه به روی خودش که تمام روابط ساختاری میان عناصر آن را حفظ می‌کنند. پیش‌تر دیدیم که خودریختی‌های یک فضای برداری عمومی، همان تبدیلات خطی معکوس‌پذیر هستند. در یک فضای ضرب داخلی، ما از یک خودریختی بیشتر انتظار داریم، یعنی اینکه ضرب‌های داخلی (و در نتیجه طول‌ها و فواصل) را نیز حفظ کند. قضیه پیشین نشان می‌دهد که این الزام معادل با این شرط است که تبدیل یک ایزومتری باشد. (ما در اینجا بعد متناهی را فرض می‌کنیم؛ در فضاهای با بعد نامتناهی، برد یک ایزومتری لزوماً کل فضا نیست. این فداکاری غیرمهم در کلیت، به خاطر راحتی اصطلاح‌شناسی است؛ برای فضاهای با بعد نامتناهی هیچ کلمه رایجی وجود ندارد که تبدیلات متعامد و یکانی را همزمان توصیف کند.) بنابراین دو سوال «چه تبدیلات خطی‌ای قیاس‌پذیر با اعداد مختلط با قدر مطلق یک هستند؟» و «کلی‌ترین خودریختی‌های یک فضای ضرب داخلی با بعد متناهی کدامند؟» پاسخ یکسانی دارند: ایزومتری‌ها. در بخش بعدی نشان خواهیم داد که ایزومتری‌ها همچنین پاسخ یک سوال مهم سوم را نیز فراهم می‌کنند.