یکپارچگی

الف. روشها

[برخی روشهای رایج انتگرالگیری:]

تغییر متغیر
انتگرالگیری جزء به جزء
مشتقگیری نسبت به پارامتر
بسط سری
انتگرالگیری کانتوری
روشهای عددی
ترفندهای خاص

روشهای ۳ تا ۷ بهطور خاص برای انتگرالهای معین کاربرد دارند.

ب. متغیر مختلط در تغییر متغیر

مثال: پیدا کنید: $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} \cos b x d x$ [به یاد داشته باشیم که] $\cos b x = (e^{i b x} + e^{- i b x}) / 2$ بنابراین، انتگرال دادهشده برابر است با

پ. مشتقگیری نسبت به یک پارامتر

مثال: $\int_{0}^{\infty} x e^{- a x} \cos b x d x$ [از مثال قبلی:] $S (a) = \int_{0}^{\infty} e^{- a x} \cos b x d x = \frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ نسبت به $a$ مشتق بگیرید:

قاعده کلی برای مشتقگیری نسبت به یک پارامتر به این صورت است: $\frac{d}{d α} \int_{x_{1} (α)}^{x_{2} (α)} f (x, α) d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial}{\partial α} f (x, α) d x + \frac{d x_{2} (α)}{d α} f (x_{2}, α) - \frac{d x_{1} (α)}{d α} f (x_{1}, α)$

یک نمودار تغییر مساحت زیر منحنی f(x,α) را زمانی که α به α+Δα تغییر میکند و حدود انتگرال نیز تغییر میکنند، نشان میدهد.

$Δ \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x, α) d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} Δ f (x, α) d x + Δ x_{2} (α) f (x_{2}, α) - Δ x_{1} (α) f (x_{1}, α)$

توضیح

هدف این است که بفهمیم اگر:

شکل خود منحنی تغییر کند.
نقاط شروع و پایان انتگرال جابهجا شوند، مساحت کل زیر منحنی چگونه تغییر میکند.

پارامتر α (آلفا) هم شکل تابع و هم موقعیتهای حدود انتگرال، x₁ و x₂ را کنترل میکند. یادداشتها نشان میدهند که وقتی تغییر کوچکی در این پارامتر، از α به α + Δα، ایجاد میکنید چه اتفاقی میافتد.

نمودار تجزیه بصری تغییر کل مساحت زیر منحنی را ارائه میدهد. بیایید به سه روش متمایز تغییر مساحت نگاه کنیم:

«بدنه» مساحت تغییر میکند (تغییر شکل):
- منحنی پایینی f(x, α) است.
- منحنی بالایی f(x, α + Δα) است.
- تغییر در ارتفاع تابع Δf = f(x, α + Δα) - f(x, α) است.
- مساحت بین این دو منحنی سهم اصلی در تغییر است. این با جمله اول در معادله نهایی نشان داده میشود: ∫ Δf(x,α) dx.
یک نوار باریک از مساحت در سمت راست اضافه میشود (حد بالایی جابهجا میشود):
- حد بالایی انتگرال از x₂(α) به x₂(α + Δα) حرکت میکند.
- این یک نوار مستطیلی باریک از مساحت را در سمت راست اضافه میکند.
- عرض این نوار Δx₂ است.
- ارتفاع آن تقریباً f(x₂, α) است.
- این مربوط به جمله دوم در معادله نهایی است: + Δx₂(α) f(x₂, α).
یک نوار باریک از مساحت در سمت چپ کم میشود (حد پایینی جابهجا میشود):
- حد پایینی انتگرال از x₁(α) به x₁(α + Δα) حرکت میکند.
- این یک نوار مستطیلی باریک از مساحت را در سمت چپ حذف میکند.
- عرض این نوار Δx₁ است.
- ارتفاع آن تقریباً f(x₁, α) است.
- این مربوط به جمله آخر در معادله نهایی است: - Δx₁(α) f(x₁, α).

تغییر کل در مقدار انتگرال، مجموع این سه بخش است.

نموداری که قاعده انتگرال لایبنیتس را توضیح میدهد. دو منحنی f(x,α) و f(x,α+Δα) را نشان میدهد و سه ناحیه سایهدار را که تغییر کل انتگرال را تشکیل میدهند برجسته میکند: یک ناحیه قرمز با علامت منفی در سمت چپ، یک ناحیه سبز با علامت مثبت در سمت راست، و یک ناحیه آبی با علامت مثبت بین منحنیها.

حال با تقسیم هر دو طرف بر Δα، داریم
$\frac{Δ \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x, α) d x}{Δ α} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{Δ f (x, α)}{Δ α} d x + \frac{Δ x_{2} (α)}{Δ α} f (x_{2}, α) - \frac{Δ x_{1} (α)}{Δ α} f (x_{1}, α)$
با گرفتن حد وقتی $Δ α \to 0$ ، به دست میآوریم
$\frac{d}{d α} \int_{x_{1} (α)}^{x_{2} (α)} f (x, α) d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial}{\partial α} f (x, α) d x + \frac{d x_{2} (α)}{d α} f (x_{2}, α) - \frac{d x_{1} (α)}{d α} f (x_{1}, α) .$

ت. ضرب در یک عامل

مثال: [فرض کنید میخواهیم انتگرال زیر را محاسبه کنیم] $\int_{0}^{\infty} (\sin x / x) d x$ [برای این منظور، یک انتگرال مرتبط را معرفی میکنیم که به یک پارامتر $α$ بستگی دارد:] $\int_{0}^{\infty} e^{- α x} \frac{\sin x}{x} d x = S (α)$

توضیح

هدف: حل انتگرال معروف دیریکله، که پادمشتق سادهای ندارد. > $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ توضیح: این مسئلهای است که میخواهیم حل کنیم. نمیتوانیم تابع سادهای پیدا کنیم که مشتق آن sin(x)/x باشد، بنابراین روشهای استاندارد انتگرالگیری به راحتی کار نخواهند کرد.

مرحله ۱: معرفی یک پارامتر > $\int_{0}^{\infty} e^{- α x} \frac{\sin x}{x} d x = S (α)$ توضیح: ترفند از اینجا شروع میشود. ما یک عبارت «کمکی»، e^(-αx)، را در انتگرال وارد میکنیم. این کار دو کار انجام میدهد: ۱. یک تابع جدید ایجاد میکند که به پارامتر α بستگی دارد، که آن را S(α) مینامیم. ۲. اطمینان میدهد که انتگرال برای α > 0 به خوبی همگرا میشود. هدف ما یافتن فرمولی برای S(α) و سپس قرار دادن α = 0 است، زیرا e^(-0*x) = 1، که مقدار انتگرال اصلی ما را به ما میدهد.

مرحله ۲: مشتقگیری نسبت به پارامتر توضیح: این حرکت کلیدی است. ما S(α) را نسبت به α مشتق میگیریم. مشتق را میتوان به داخل علامت انتگرال برد. * $\frac{d}{d α} (e^{- α x} \frac{\sin x}{x}) = - x e^{- α x} \frac{\sin x}{x}$ . * x در صورت، عبارت دشوار 1/x را در مخرج حذف میکند. این ما را با یک انتگرال بسیار سادهتر باقی میگذارد: S'(α) = -∫ e^(-αx) sin(x) dx. این یک انتگرال استاندارد است که نتیجه آن معلوم است و برابر با 1 / (1 + α²) است. بنابراین، S'(α) = -1 / (1 + α²).

مرحله ۳: انتگرالگیری مجدد برای یافتن S(α) $S (α) = - \tan^{- 1} (α) + C$ توضیح: برای رفتن از مشتق S'(α) به تابع اصلی S(α)، از S'(α) نسبت به α انتگرال میگیریم. انتگرال -1 / (1 + α²) dα برابر با -tan⁻¹(α) است. از آنجا که این یک انتگرال نامعین است، باید یک ثابت انتگرالگیری، C اضافه کنیم.

مرحله ۴: حل برای ثابت C $S (\infty) = 0 = - \frac{π}{2} + C$ توضیح: برای یافتن C، باید S(α) را در نقطهای ارزیابی کنیم که مقدار آن را میدانیم. یک انتخاب مناسب α → ∞ است. * با نگاه به تعریف ما S(α) = ∫ e^(-αx) (sin x / x) dx، وقتی α بسیار بزرگ میشود، عبارت e^(-αx) به یک عبارت «کاهنده» تبدیل میشود و کل انتگرالده را برای هر x > 0 به صفر میرساند. بنابراین، خود انتگرال باید صفر باشد، پس S(∞) = 0. * با استفاده از فرمول ما از مرحله قبل، S(∞) = -tan⁻¹(∞) + C. از آنجا که tan⁻¹(∞) = π/2، این معادله 0 = -π/2 + C را به ما میدهد، که به این معنی است که C = π/2.

مرحله ۵: نوشتن فرمول نهایی و به دست آوردن پاسخ $S (α) = \frac{π}{2} - \tan^{- 1} α$ توضیح: حالا که C = π/2 را میدانیم، میتوانیم فرمول کامل را برای تابع خود S(α) بنویسیم.

$S (0) = \frac{π}{2}$ توضیح: این مرحله نهایی است. ما α = 0 را دوباره در فرمول خود قرار میدهیم تا مقدار انتگرال اصلی را پیدا کنیم. * S(0) = π/2 - tan⁻¹(0) * از آنجا که tan⁻¹(0) = 0، پاسخ نهایی π/2 است.

مسئله (الف) با توجه به $\int_{0}^{\infty} e^{- a^{2} x^{2}} d x = \sqrt{π} / 2 a$ ثابت کنید: $\int_{0}^{\infty} e^{- a^{2} x^{2}} \cos b x d x = \frac{\sqrt{π}}{2 a} e^{- b^{2} / 4 a^{2}}$

(ب) با توجه به $\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π} / 2$ پیدا کنید: $\int_{0}^{\infty} x^{4} e^{- x^{2}} d x$

(پ) $\int_{0}^{\infty} d y (e^{- a y} - e^{- b y}) / y$

(ت) $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2} - b / x^{2}} d x$

(ث) $\int_{0}^{\infty} d x \sin^{2} x / x^{2}$

ث. مشتقگیری زیر علامت انتگرال

I.

مثال: [بیایید انتگرال دشوار زیر را در نظر بگیریم که به پارامتر $a$ بستگی دارد] $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} (1 + x^{2})^{- 1} d x = S (a)$

$\frac{d^{2} S}{d a^{2}} + S = \frac{1}{a}$ این معادله دیفرانسیل ممکن است برای S(a) حل شود.

توضیح

این مثال یک تکنیک هوشمندانه برای حل یک انتگرال دشوار با تبدیل آن به یک معادله دیفرانسیل نشان میدهد. انتگرال ابتدا به عنوان یک تابع، S(a)، تعریف میشود که به پارامتر a بستگی دارد. با گرفتن مشتق دوم S(a) نسبت به a، یک انتگرال جدید برای S’‘(a) پیدا میشود. بینش کلیدی این است که سپس S(a) و S’‘(a) را با هم جمع کنیم. این اجازه میدهد تا بخشهای پیچیده داخل انتگرال ترکیب شده و به صورت جبری ساده شوند، و یک انتگرال بسیار سادهتر در سمت راست باقی بماند که فقط برابر با 1/a ارزیابی میشود. در نتیجه، مسئله اصلی با موفقیت به کار استانداردتر حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم S’’ + S = 1/a برای یافتن مقدار S(a) تبدیل میشود.

II. مشتقگیری جزئی

[حال بیایید انتگرال زیر را در نظر بگیریم که تابعی از دو پارامتر، α و β است.] $S (α, β) = \int_{0}^{\infty} e^{- α x} \sin (β x) d x$

توضیح

ما دو بار زیر علامت انتگرال مشتق میگیریم. مشتقگیری نسبت به α عبارت (-x)² = x² را پایین میآورد. مشتقگیری نسبت به β دو بار یک عامل x را از sin(βx) و یک علامت منفی را از مشتق دوم سینوس پایین میآورد. میبینیم که دو مشتق جزئی دوم قرینه یکدیگر هستند. این یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی به ما میدهد، که معادله لاپلاس است. انتگرال ما یک جواب برای این معادله است.

شکل S ممکن است تا حدی با انجام تغییر متغیر $y = β x$ تعیین شود $S (α, β) = β^{- 1} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{α}{β} y} \sin y d y = β^{- 1} F (\frac{α}{β})$

توضیح

این یک استدلال تحلیل ابعادی یا «مقیاسسازی» است. با جایگزینی y = βx، میتوانیم نشان دهیم که وابستگی انتگرال به α و β دلخواه نیست؛ باید تابعی از نسبت α/β باشد، با یک عامل 1/β در جلو. ما این تابع ناشناخته را F مینامیم. این مرحله به طور چشمگیری مسئله را با کاهش دو متغیر (α, β) به یک متغیر (α/β) ساده میکند.

توضیح

در اینجا، مشتقات جزئی دوم دوباره محاسبه میشوند، اما این بار با اعمال قاعده زنجیرهای بر شکل جدید S = (1/β) F(α/β).

ضرب در $β^{3}$ و قرار دادن $z = \frac{α}{β}$

توضیح

ما عبارات جدید را برای مشتقات دوباره در معادله لاپلاس خود ( $S_{α α} + S_{β β} = 0$ ) قرار میدهیم و z = α/β را قرار میدهیم. این معادله دیفرانسیل جزئی پیچیده را به یک معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) سادهتر برای تابع F(z) تبدیل میکند.

$z^{2} F = - F + C_{1} z + C_{0}$ $F = (C_{0} + C_{1} z) / (1 + z^{2})$

توضیح

معادله دیفرانسیل معمولی اکنون حل شده است. ما از یک ترفند هوشمندانه استفاده میکنیم، با توجه به اینکه برخی عبارتها نتیجه قاعده ضرب هستند (d/dz (z²F) و d/dz (z²F'))، که امکان انتگرالگیری مستقیم را فراهم میکند. این فرآیند جواب عمومی را برای F به دست میدهد، که شامل دو ثابت ناشناخته، C₀ و C₁ است.

$S (α, β) = \frac{1}{β} F = (C_{0} β + C_{1} α) / (α^{2} + β^{2})$

توضیح

ما z = α/β و S = F/β را دوباره جایگزین میکنیم تا شکل عمومی انتگرال اصلی خود را به دست آوریم. حال، تنها کاری که باید انجام دهیم یافتن C₀ و C₁ است.

برای ارزیابی $C_{0} + C_{1}$ مشاهده میکنیم: $S (α, 0) = 0 = \frac{C_{1} α}{α^{2}} ∴ C_{1} = 0.$

توضیح

ما از یک حد فیزیکی ساده استفاده میکنیم. اگر β=0 باشد، آنگاه sin(0*x) = 0، بنابراین انتگرال S(α,0) به وضوح صفر است. با قرار دادن β=0 در شکل عمومی خود، C₁α / α² به دست میآید. برای اینکه این صفر باشد، C₁ باید صفر باشد.

برای $β$ کوچک، $\sin β x \sim β x$ . این یک تقریب خوب است زیرا $e^{- a x}$ انتگرالده را برای x بزرگ حذف میکند. $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} β x d x = \frac{β}{α^{2}}$ $\frac{C_{0} β}{α^{2} + β^{2}} \approx \frac{C_{0} β}{α^{2}} ∴ C_{0} = 1$

توضیح

برای یافتن C₀، از تقریب دیگری استفاده میکنیم. برای β بسیار کوچک، sin(βx) تقریباً βx است. ما این انتگرال تقریبی بسیار سادهتر را حل میکنیم و مییابیم که برابر با β/α² است.

ما جواب عمومی خود (با C₁=0) را با نتیجه حاصل از تقریب مقایسه میکنیم. برای β کوچک، (C₀β) / (α² + β²) ≈ (C₀β) / α². برای اینکه این با β/α² مطابقت داشته باشد، ثابت C₀ باید ۱ باشد.

[بنابراین:] $S (α, β) = \frac{β}{α^{2} + β^{2}}$