بزرگی کمیتها و قاعده دِ لُوپیتال

الف. بزرگی کمیت‌ها

کمیت‌های زیر به ترتیب نرخ رشدشان برای x بزرگ مرتب شده‌اند $1 < \ln x < x^{ϵ} < x < x^{n} < e^{x}$ [در اینجا $ϵ$ عددی مثبت کوچکتر از ۱ است.]

برای تعیین رفتار آن‌ها برای y کوچک، جایگزینی $y = \frac{1}{x}$ را انجام دهید.

تقریب‌های زیر برای x کوچک برقرارند.

قضیه ۱

اگر وقتی $x \to a$ ، $f (x)$ و $g (x) \to 0$

مثال ۱.

مثال: $lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{[(1 + x)^{3} - 1]}$ $= \frac{\sec^{2} x}{3 (1 + x)^{2}} = \frac{1}{3}$

تمرین ۱.

مسئله: $lim_{x \to 0}$ را بیابید.

تمرین ۲.

مسئله: یک عبارت تقریبی برای $(\sin k r / r^{2}) - (k \cos k r / r)$ برای r کوچک ارائه دهید.