دنباله‌ها و حدها

یک دنباله از اعداد در واقع تابعی است که به هر عدد صحیح مثبت یک عدد نسبت می‌دهد. ما آن را معمولاً با ${a_{n}}$ نشان می‌دهیم، که در آن به ازای هر عدد صحیح $n > 0$ ، $a_{n} = f (n)$ است. مثال‌ها عبارتند از:
الف) $1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, \dots;$
اگر $n$ فرد باشد $a_{n} = 1$ ، و اگر $n$ زوج باشد $- 1$ است.
ب) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots;$
$a_{n} = \frac{1}{n} \cdot$
ج) $1, 1 + 1, 1 + 1 + \frac{1}{2!}, \dots;$
$a_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{(n - 1)!} \cdot$

گفته می‌شود دنباله ${a_{n}}$ دارای حد $a$ است اگر به ازای هر عدد مثبت داده‌شده $ϵ$ (که معمولاً کوچک در نظر گرفته می‌شود)، بتوانیم یک عدد صحیح $N$ پیدا کنیم به طوری که هرگاه $n > N$ باشد، داشته باشیم $a - ϵ < a_{n} < a + ϵ$ ، یا به عبارت معادل، $| a - a_{n} | < ϵ$ . به بیان دیگر، من تنها زمانی می‌توانم ادعا کنم که حد برابر $a$ است که بتوان با هر حریفی که تصمیم می‌گیرد مرا در این مورد به چالش بکشد مقابله کرد؛ من باید آماده باشم تا بر اساس هر $ϵ$ که او ممکن است بخواهد مرا با آن روبرو کند، روشی برای یافتن یک $N$ با ویژگی مطلوب ارائه دهم. اگر ${a_{n}}$ دارای حد $a$ باشد، می‌نویسیم

lim_{n \to \infty} a_{n} = a, یا به سادگی lim a_{n} = a \cdot

عبارت اول این‌گونه خوانده می‌شود: «حد $a_{n}$ وقتی $n$ به سمت بی‌نهایت میل می‌کند برابر است با $a$ ». توجه داشته باشید که ما در هیچ کجا شیئی به نام «بی‌نهایت» تعریف نکرده‌ایم، بلکه کل این اصطلاح را برای اشاره به رفتاری که در بالا تعریف دقیقی برای آن ارائه شده است، برگزیده‌ایم.

دنباله الف) حدی ندارد (سعی کنید به چالش $ϵ = \frac{1}{2}$ پاسخ دهید). دنباله ب) دارای حد $0$ است، و دنباله ج) دارای حد $e$ است، همان‌طور که در بخش ۱۷ دیده‌ایم. با این حال فرض کنید دنباله‌ای مانند ${a_{n}}$ به ما داده شده است و مشخص نیست که حد آن چیست. آیا می‌توانیم بگوییم که آیا این دنباله بدون حدس زدن حد در ابتدا، دارای حد است یا خیر؟ پاسخ به این پرسش به کمک چندین ابزار ممکن، مثبت است. قدرتمندترین آن‌ها، معیار همگرایی کوشی، به همراه اثبات آن به عنوان ضمیمه این بخش ارائه خواهد شد. ابزاری که تا حدی ساده‌تر است می‌تواند زمانی به کار رود که دنباله صعودی باشد: $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots \cdot$

قضیه 1

فرض کنید ${a_{n}}$ صعودی باشد و ${a_{n}}$ دارای کران بالا باشد. در این صورت به ازای عددی مانند $a$ داریم $lim a_{n} = a$ .

فرض کنید $a$ کوچک‌ترین کران بالا برای ${a_{n}}$ باشد. فرض کنید $ϵ > 0$ باشد. باید نشان دهیم که $N$ ی وجود دارد به طوری که هرگاه $n > N$ باشد، $a - ϵ < a_{n} < a + ϵ$ . اما برای **همه** $n$ ها داریم $a_{n} < a + ϵ$ ، زیرا برای همه $n$ ها $a_{n} \leq a$ است ( $a$ یک کران بالا است). حال $a - ϵ$ یک کران بالا **نیست**، بنابراین $N$ ی وجود دارد به طوری که $a_{N} > a - ϵ$ . اگر $n > N$ باشد، آنگاه $a_{n} \geq a_{N} > a - ϵ$ . بنابراین برای $n > N$ ، داریم $a - ϵ < a_{n} < a + ϵ$ ، که باید اثبات می‌شد. (توجه داشته باشید که $N$ به طور کلی به $ϵ$ بستگی خواهد داشت.)

اگر نمی‌دانستیم که حد دنباله ج) برابر $e$ است، می‌توانستیم با این قضیه نشان دهیم که دارای حد است. زیرا دنباله آشکارا صعودی است، و

برای همه

بنابراین ما یک دنباله صعودی کراندار داریم. این قضیه همچنین می‌تواند با استفاده از منفی‌ها به کار رود تا نشان دهد که اگر یک دنباله نزولی دارای کران پایین باشد، دارای حد است. (همچنین توجه داشته باشید که دو عدد $a$ و $b$ نمی‌توانند هر دو حد ${a_{n}}$ باشند؛ زیرا در آن صورت نمی‌توانستیم به چالش $ϵ = \frac{1}{2} | b - a |$ برای هیچ‌یک از دو نقطه پاسخ دهیم.)

به عنوان مثالی از دنباله‌ای که نمی‌توانیم حد آن را حدس بزنیم، فرض کنید $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} - \log n$ باشد. آنگاه

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{n + 1} - \log (n + 1) + \log n = \frac{1}{n + 1} - \log (1 + \frac{1}{n}) \cdot

اما اگر از بخش ۱۱ نابرابری زیر را به یاد آوریم

\log (1 + \frac{1}{n}) \geq \frac{1}{n + 1}, می‌بینیم که a_{n} \geq a_{n + 1},

یا اینکه دنباله نزولی است. حال بیایید نشان دهیم که $0$ یک کران پایین برای آن است. برای این کار، طرف دیگر همان نابرابری در مورد $\log x$ را به یاد آورید:

\frac{1}{n} \geq \log (1 + \frac{1}{n}) = \log (n + 1) - \log n \cdot

بنابراین

برای همه

بنابراین

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} - \log n) = C

وجود دارد، و در واقع غیرمنفی است. ارقام اعشاری نخستین آن عبارتند از $.5772 \dots$ . این عدد ثابت اویلر نامیده می‌شود، و حتی مشخص نیست که آیا عددی گویا است یا خیر.

در ادامه برخی از ویژگی‌های حد دنباله‌ها، از جمله خطی بودن حدود را اثبات می‌کنیم. برخی دیگر به عنوان تمرین واگذار می‌شوند. به طور کلی، فرض کنید ${a_{n}}$ دنباله‌ای با حد $a$ ، ${b_{n}}$ دنباله‌ای با حد $b$ ، و $c$ یک عدد ثابت باشد.

قضیه 2

lim (a_{n} + b_{n}) = a + b \cdot

فرض کنید $ϵ > 0$ داده شده باشد. در این صورت می‌توانیم $N_{1}$ را پیدا کنیم به طوری که برای همه $n > N_{1}$ ، $- ϵ < a_{n} - a < ϵ$ ، و $N_{2}$ را به طوری که برای همه $n > N_{2}$ ، $- ϵ < b_{n} - b < ϵ$ . فرض کنید $N$ **بزرگ‌تر بین $N_{1}$ و $N_{2}$ ** باشد که به صورت $N = Max (N_{1}, N_{2})$ نوشته می‌شود. آنگاه برای همه $n > N$ ، عبارت $(a_{n} + b_{n}) - (a + b)$ این ویژگی را دارد که

- 2 ϵ < (a_{n} + b_{n}) - (a + b) < 2 ϵ \cdot

ضریب $2$ تفاوتی ایجاد نمی‌کند، زیرا می‌توانستیم به جای $ϵ$ با $\frac{ϵ}{2}$ شروع کنیم و برای یک مناسب، به $- ϵ < (a_{n} + b_{n}) - (a + b) < ϵ$ برای همه برسیم. بنابراین قضیه اثبات می‌شود.

قضیه 3

lim (c a_{n}) = c a \cdot

اگر $c = 0$ باشد، آنگاه همه $c a_{n} = c a = 0$ هستند، و به ازای هر $ϵ > 0$ داده‌شده، می‌توانیم $N = 1$ را بگیریم. در این صورت $- ϵ < c a_{n} - c a = 0 < ϵ$ برای همه $n > N$ . حال فرض کنید $c \neq 0$ باشد، و $ϵ > 0$ داده شده باشد. فرض کنید $N_{1}$ به گونه‌ای باشد که برای همه $n > N_{1}$ ، $- ϵ < a_{n} - a < ϵ$ باشد، یا به عبارت دیگر، برای $n > N_{1}$ ، $| a_{n} - a | < ϵ$ باشد. آنگاه

| c a_{n} - c a | = | c | | a_{n} - a | < | c | ϵ برای n > N_{1} \cdot

تنها کافی است به جای $ϵ$ با $\frac{ϵ}{| c |}$ شروع کنیم تا نتیجه‌ای به فرم زیر به دست آوریم

| c a_{n} - c a | < ϵ برای n > N \cdot

قضیه 4

lim (a_{n} b_{n}) = a b \cdot

بخشی از اثبات.

اکنون ${a_{n}}$ را با $ϵ = 1$ در نظر بگیرید. $N_{1}$ ی وجود دارد به طوری که برای $n > N_{1}$ ، $| a_{n} - a | < 1$ . حال ادعا می‌کنیم که $| a_{n} | - | a | \leq | a_{n} - a |$ است. زیرا

| a_{n} | = | (a_{n} - a) + a | \leq | a_{n} - a | + | a |,

یا

| a_{n} | - | a | \leq | a_{n} - a | \cdot

بنابراین داریم $| a_{n} | - | a | \leq | a_{n} - a | < 1$ ، یا به ازای همه $n > N_{1}$ ، $| a_{n} | < 1 + | a |$ . بنابراین اگر $n > N_{1}$ باشد،

| a_{n} b_{n} - a b | \leq (| a | + 1) | b_{n} - b | + | a_{n} - a | | b | \cdot

ادامه اثبات به عنوان تمرین واگذار می‌شود.

تمرین 1.

فرض کنید $lim a_{n} = a$ و $a \neq 0$ باشد.
نشان دهید که یک عدد مثبت $r$ و یک عدد صحیح $N_{1}$ وجود دارد به طوری که برای همه $n > N_{1}$ ، $| a_{n} | > r$ .

اکنون نشان دهید که $lim (\frac{1}{a_{n}}) = \frac{1}{a}$ است، به این معنا که به ازای هر $ϵ > 0$ داده‌شده یک $N$ وجود دارد به طوری که برای همه $n > N$ ، $a_{n} \neq 0$ و $| \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a} | < ϵ$ .

سپس فرض کنید $f (x)$ تابعی باشد که روی بازه‌ای شامل نقطه $x_{0}$ تعریف شده است، به استثنای احتمال این‌که $f (x_{0})$ ممکن است تعریف نشده باشد. می‌گوییم $a$ حد $f (x)$ هنگامی که $x$ به $x_{0}$ میل می‌کند است، و می‌نویسیم

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a,

اگر به ازای هر $ϵ > 0$ داده‌شده بتوانیم یک $δ > 0$ پیدا کنیم به طوری که به ازای هر $x$ در بازه $0 < | x - x_{0} | < δ$ داشته باشیم $| f (x) - a | < ϵ$ .

تمرین 2.

فرض کنید

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a, lim_{x \to x_{0}} g (x) = b,

$c$ یک عدد ثابت باشد. ثابت کنید:

$lim_{x \to x_{0}} (f (x) + g (x)) = a + b$ .
$lim_{x \to x_{0}} (c f (x)) = c a$ .
$lim_{x \to x_{0}} (f (x) g (x)) = a b$ .
اگر $a \neq 0$ باشد، $lim_{x \to x_{0}} (\frac{1}{f (x)}) = \frac{1}{a} \cdot$
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ همان معنای $lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) = a$ را می‌دهد.

پیوست: معیار کوشی

به عنوان تنوع، ما این قضیه را برای حد یک تابع اثبات می‌کنیم، و اثبات آن را برای دنباله‌ها به عنوان تمرین واگذار می‌کنیم.

قضیه 5

فرض کنید $f (x)$ روی بازه‌ای شامل $x_{0}$ تعریف شده باشد، اما لزوماً نه در $x_{0}$ . در این صورت

lim_{x \to x_{0}} f (x)

وجود دارد اگر و تنها اگر $f (x)$ شرط زیر را برآورده کند: به ازای هر $ϵ > 0$ یک $δ > 0$ وجود دارد به طوری که اگر $x_{1}$ و $x_{2}$ هر اعدادی با $0 < | x_{1} - x_{0} | < δ$ و $0 < | x_{2} - x_{0} | < δ$ باشند، آنگاه $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < ϵ \cdot$

ابتدا فرض کنید حد وجود دارد، مثلاً

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a \cdot

فرض کنید $ϵ > 0$ داده شده باشد. آنگاه یک $δ > 0$ وجود دارد به طوری که اگر $0 < | x - x_{0} | < δ$ باشد، داشته باشیم $| f (x) - a | < \frac{ϵ}{2} \cdot$ فرض کنید $0 < | x_{1} - x_{0} | < δ$ و $0 < | x_{2} - x_{0} | < δ$ باشد. در این صورت

بنابراین قضیه در یک جهت اثبات می‌شود: اگر حد وجود داشته باشد، شرط برآورده می‌شود.

اکنون فرض کنید شرط برآورده شده است. ابتدا $ϵ = 1$ را در نظر بگیرید؛ سپس فرض کنید $0 < | x_{1} - x_{0} | < δ_{0}$ باشد، که در آن $δ_{0}$ شرط را برای $ϵ = 1$ برآورده می‌کند. حال اگر $x$ هر عددی باشد به طوری که $0 < | x - x_{0} | < δ_{0}$ ، داریم $| f (x) - f (x_{1}) | < 1$ ، یا $| f (x) | < | f (x_{1}) | + 1$ ، یعنی $f (x)$ به ازای $0 < | x - x_{0} | < δ_{0}$ از بالا و از پایین کراندار است.

سپس فرض کنید $δ_{1} = Min (1, δ_{0})$ ، $δ_{2} = Min (\frac{1}{2}, δ_{0})$ ، $\dots$ ، $δ_{n} = Min (\frac{1}{n}, δ_{0})$ باشد. (از یک $n$ به بعد، همه $δ_{n} = \frac{1}{n}$ خواهند بود، زیرا در نهایت $\frac{1}{n} < δ_{0} \cdot$ ) روی هر یک از بازه‌های $I_{n} : 0 < | x - x_{0} | < δ_{n}$ ، $f (x)$ از بالا و از پایین کراندار است. فرض کنید $a_{n}$ کوچک‌ترین کران بالای مقادیر $f (x)$ روی $I_{n}$ باشد. دنباله ${a_{n}}$ نزولی است، زیرا یک کوچک‌ترین کران بالا روی $I_{n}$ ، یک کران بالا روی $I_{n + 1}$ است. علاوه بر این، همه $a_{n} \geq L$ هستند، که در آن $L$ هر کران پایینی برای $f (x)$ روی $I_{1}$ است. بنابراین $lim a_{n}$ وجود دارد. بیایید آن را $a$ بنامیم. اکنون ثابت خواهیم کرد که

a = lim_{x \to x_{0}} f (x) \cdot

فرض کنید $ϵ > 0$ داده شده باشد. در این صورت یک $N$ وجود دارد به طوری که برای همه $n > N$ ، $| a - a_{n} | < \frac{ϵ}{3} \cdot$ از آنجا که $a_{n}$ کوچک‌ترین کران بالا برای $f (x)$ در $I_{n}$ است، یک $x_{n}$ در $I_{n}$ وجود دارد به طوری که $| a_{n} - f (x_{n}) | < \frac{ϵ}{3}$ ، و این برای هر $n$ برقرار است. همچنین یک وجود دارد به طوری که هرگاه و باشد، آنگاه اکنون $n > N$ را چنان انتخاب کنید که ادعا می‌کنیم که $δ_{n}$ یک $δ$ مناسب برای تعریف حد است. یعنی فرض کنید $0 < | x - x_{0} | < δ_{n} \cdot$ آنگاه و همچنین بنابراین

| f (x) - f (x_{n}) | < \frac{ϵ}{3} \cdot

اکنون می‌دانیم که $| f (x_{n}) - a_{n} | < \frac{ϵ}{3} \cdot$ و از آنجا که $n > N$ است،

| a_{n} - a | < \frac{ϵ}{3} \cdot

بنابراین

می‌بینیم که هرگاه $0 < | x - x_{0} | < δ_{n}$ باشد، داریم $| f (x) - a | < ϵ$ . بنابراین

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a,

و اثبات کامل است.

تمرین 3.

معیار کوشی را برای دنباله‌ها اثبات کنید؛ $lim a_{n}$ وجود دارد اگر و تنها اگر شرط زیر برقرار باشد: به ازای هر $ϵ > 0$ یک $N$ وجود دارد به طوری که هرگاه $m > N$ و $n > N$ باشد، آنگاه $| a_{m} - a_{n} | < ϵ$ .