دستگاه اعداد حقیقی

اکنون به مفاهیم اولیه بازمی‌گردیم و برخی ایده‌ها را که تا حدی نامشخص رها شده بودند، دقیق می‌سازیم. در بخش‌های بعدی، اثبات‌هایی برای قضایای پایه‌ای که بدون اثبات به کار برده بودیم، ارائه می‌دهیم. در طول مسیر دیده خواهد شد که ابزارهای موجود برای شما از پیش‌زمینهٔ قبلی‌تان، برای اثبات اینکه مثلاً یک تابع پیوسته روی یک بازه در آنجا دارای ماکسیمم است، کاملاً ناکافی بودند.

برای شروع، خواص اعدادی را که استفاده می‌کنیم به‌طور صریح بیان می‌کنیم. راه‌های متعددی برای انجام این کار وجود دارد. یکی از آن‌ها خواص اعداد صحیح مثبت را بیان کرده و از آن‌ها سیستمی با خواصی که در زیر فهرست می‌کنیم می‌سازد. روش دیگر، که ما برای این درس ترجیح می‌دهیم، به شکل وضع مجموعه‌ای از قوانین پایه، یا اصول موضوعه است: «دستگاه اعدادی که با آن کار خواهیم کرد باید دارای خواص ... باشد.» اصول موضوعه به شکلی طبیعی به سه گروه تقسیم می‌شوند که آن‌ها را اصول موضوعه میدان، اصول موضوعه ترتیب، و اصل موضوعه پیوستگی می‌نامیم. در سرتاسر این اصول موضوعه، حروف $a, b, c, \dots$ اعضای مجموعه‌ای از اشیا را نشان می‌دهند که توافق می‌کنیم آن‌ها را اعداد بنامیم. در این مجموعه، فرض می‌کنیم که می‌توانیم $a$ را با $b$ جمع کنیم تا عدد $a + b$ به دست آید، و می‌توانیم $a$ را در $b$ ضرب کنیم تا عدد $a b$ حاصل شود. نخستین گروه از اصول موضوعه، یعنی اصول موضوعه میدان، خواصی از این عمل‌ها را بیان می‌کنند که تمام خواص دیگر را می‌توان از آن‌ها استخراج کرد.

گروه I. اصول موضوعه میدان

A1) $a + b = b + a$
A2) $(a + b) + c = a + (b + c)$
A3) دقیقاً یک عدد $0$ وجود دارد به‌طوری که برای هر $a$ ، $a + 0 = a$ .
A4) برای هر $a$ ، دقیقاً یک عدد $- a$ وجود دارد به‌طوری که $a + (- a) = 0$ .
M1) $a b = b a$
M2) $(a b) c = a (b c)$
M3) دقیقاً یک عدد $1 \neq 0$ وجود دارد به‌طوری که برای هر $a$ ، $a \cdot 1 = a$ .
M4) اگر $a \neq 0$ ، دقیقاً یک عدد $a^{- 1}$ وجود دارد به‌طوری که $a a^{- 1} = 1$ .
D) $a (b + c) = a b + a c$ .

اصول موضوعه A1) تا 4) خواص جمع را ارائه می‌دهند،
M1) تا 4) خواص ضرب را.
اصل موضوعه D)، یعنی قانون توزیع‌پذیری، این دو عمل را به هم مرتبط می‌کند.
A1) و M1) به ترتیب قوانین جابه‌جایی را برای جمع و ضرب بیان می‌کنند،
A2) و M2) قوانین شرکت‌پذیری را.
عدد $0$ در A3) البته «صفر» و عدد $1$ در M3) «یک» نامیده می‌شود، گرچه باید آن را متفاوت از «یک» به‌کاررفته در شمارش دانست.
عدد $- a$ در A4) قرینهٔ $a$ نامیده می‌شود،
عدد $a^{- 1}$ در M4) معکوسِ $a$ .
نمی‌توان دستگاهی تعریف کرد که در آن اصول موضوعه میدان برقرار باشد و شامل معکوسی برای $0$ باشد.

توجه کنید که اصول موضوعه میدان در دسته بسیار بزرگ‌تری از دستگاه‌ها نسبت به مفهوم قبلی ما از اعداد حقیقی صدق می‌کنند؛ برای مثال، در اعداد گویا صدق می‌کنند.

برای نشان دادن ادعایمان مبنی بر اینکه تمام خواص جمع و ضرب از اصول موضوعه میدان نتیجه می‌شوند، چند اثبات نمونه ارائه می‌دهیم.

قضیه 1

- (- a) = a \cdot

$a + (- a) = 0$ ؛ بنابر A1)، $(- a) + a = a + (- a) = 0$ ؛ اما طبق A4)، $- (- a)$ تنها عدد $b$ است به‌طوری که $- a + b = 0$ . بنابراین $a = - (- a)$ .

قضیه 2

a \cdot 0 = 0 \cdot

بنابر M3)، $a = a \cdot 1$ ؛ اما بنابر A3)، $1 = 1 + 0$ . طبق D)،

a = a \cdot 1 = a \cdot (1 + 0) = a \cdot 1 + a \cdot 0 = a + a \cdot 0 \cdot

بنابراین

(- a) + a = (- a) + (a + a \cdot 0) = ((- a) + a) + a \cdot 0,

بنابر A2). اما بنابر A2) و A4)، $(- a) + a = 0$ ، بنابراین بنابر A3)، $0 = 0 + a \cdot 0 = a \cdot 0$ را داریم.

قضیه 3

(- 1) \cdot a = - a \cdot

$0 = 1 + (- 1)$ . بنابراین $a \cdot 0 = a (1 + (- 1)) = a \cdot 1 + a (- 1)$ ، یا بنابر قضیه قبل، $0 = a \cdot 1 + a (- 1) = a + (- 1) a$ ، طبق M3) و M1). از آنجا که $- a$ تنها عدد $b$ است به‌طوری که $a + b = 0$ ، داریم $(- 1) a = - a$ .

قضیه 4

(- a) (- b) = a b \cdot

$b + (- b) = 0$ . بنابراین $a (b + (- b)) = a \cdot 0 = 0$ ، یا طبق D)، $a b + a (- b) = 0$ . بدین ترتیب $a (- b) = - (a b)$ . همچنین $a + (- a) = 0$ ، پس $(a + (- a)) (- b) = a (- b) + (- a) (- b) = 0$ . بنابراین $a (- b) = - (- a) (- b)$ ، یا $- (a b) = - (- a) (- b)$ . با یک بار دیگر قرینه کردن، بنابر قضیه اول می‌بینیم که $a b = (- a) (- b)$ .

توجه کنید که در سرتاسر این اثبات‌ها، ما از چیزی استفاده کرده‌ایم که شاید آن را به عنوان اصل «جایگزینی مساوی‌ها به جای یکدیگر» شناخته باشید. اما این جایگزینی نبوده است؛ عدد $0$ یکسان است، چه به صورت $0, a + (- a), (- b) + b$ نوشته شود یا هر چیز دیگر. تنها نمایش عدد است که تغییر می‌کند، و ما صرفاً از این اصل استفاده می‌کنیم که اگر قاعده‌ای برای یک عدد برقرار باشد، در به‌کارگیری آن قاعده فرقی نمی‌کند که آن عدد را چگونه نمایش دهیم.

تمرین 1.

ثابت کنید که $- (a + b) = (- a) + (- b)$ ؛ $- (b - a) = a - b$ ، که در آن $a - b = a + (- b)$ است.

گروه دوم اصول موضوعه به ترتیب اعداد می‌پردازد. ما آن‌ها را در قالب اصول موضوعه‌ای دربارهٔ اعداد مثبت بیان می‌کنیم، و سپس $a < b$ را به معنای « $b - a$ مثبت است» تعریف می‌کنیم.

گروه II. اصول موضوعه ترتیب

ما برای تمام این اصول موضوعه، وجود مجموعهٔ مشخصی $P$ از اعداد را که «اعداد مثبت» خواهیم نامید، به عنوان پایه در نظر می‌گیریم. این اصول موضوعه خواصی را بیان می‌کنند که $P$ باید داشته باشد.

P1) اگر $a$ و $b$ در $P$ باشند، $a + b$ نیز در $P$ است.
P2) اگر $a$ و $b$ در $P$ باشند، $a b$ نیز در $P$ است.
P3) اگر $a$ هر عددی $\neq 0$ باشد، آنگاه یا $a$ در $P$ است یا $- a$ در $P$ است، اما نه هر دو.
P4) $0$ در $P$ نیست.

تعریف 1.

اکنون $a < b$ را به معنای « $b - a$ در $P$ است» تعریف می‌کنیم. $a \leq b$ به معنای «یا $a < b$ یا $a = b$ » است. گاهی به جای $a < b$ می‌نویسیم $b > a$ و به همین ترتیب $b \geq a$ به جای $a \leq b$ .

از اصول موضوعه گروه‌های I و II می‌توانیم تمام خواص $a < b$ را اثبات کنیم:

قضیه 5

برای هر دو عدد $a$ و $b$ ، دقیقاً یکی از موارد زیر برقرار است: $a < b, b < a, a = b$ .

عدد $b - a$ را در نظر بگیرید. اگر $b - a$ در $P$ باشد، آنگاه $a < b$ ، $- (b - a) = a - b$ در $P$ نیست، و $a \neq b$ . آنگاه $a < b$ برقرار است، و هیچ‌یک از $a = b, b < a$ برقرار نیست. سپس فرض کنید $b - a$ در $P$ نباشد. آنگاه $a < b$ برقرار نیست. اما اگر $a \neq b$ ، بنابر P3)، $- (b - a) = a - b$ در $P$ هست؛ به عبارت دیگر، $b < a$ . تنها حالت باقی‌مانده $a = b$ است، که در این حالت نه $b - a$ و نه $a - b$ در $P$ نیستند، زیرا هر دو $0$ هستند.

قضیه 6

اگر $a < b$ ، آنگاه $a + c < b + c$ .

فرض کنید $a < b$ ، یعنی $b - a$ در $P$ است. اما $(b + c) - (a + c) = b + c - a - c = b - a$ در $P$ است. بنابراین $a + c < b + c$ .

قضیه 7

اگر $a < b$ و $c > 0$ (یعنی $c$ در $P$ است)، آنگاه $c a < c b$ .

$b - a$ در $P$ است و $c$ در $P$ است. بنابراین بنابر P2)، $c (b - a) = c b - c a$ در $P$ است. بنابراین $c a < c b$ .

قضیه 8

اگر $a < b$ و $b < c$ ، آنگاه $a < c$ .

اگر $a < b$ و $b < c$ ، آنگاه هم $b - a$ و هم $c - b$ در $P$ هستند. پس بنابر P1)، $(c - b) + (b - a) = c - a$ نیز در $P$ است، یا $a < c$ .

قضیه 9

اگر $a \neq 0$ ، آنگاه $a^{2}$ در $P$ است.

یا $a$ در $P$ است یا $- a$ در $P$ است. اگر $a$ در $P$ باشد، آنگاه بنابر P2)، $a a = a^{2}$ در $P$ است. اگر $- a$ در $P$ باشد، آنگاه $(- a) (- a) = a \cdot a = a^{2}$ در $P$ است. این اثبات را کامل می‌کند.

قضیه 10

$1 > 0$ ، یعنی $1$ در $P$ است.

$1 = 1^{2}$ .

تمرین‌ها

موارد زیر را اثبات کنید:

تمرین 2.

اگر $a < b$ ، آنگاه $- b < - a$ .

تمرین 3.

اگر $a < b$ و $c < 0$ ، آنگاه $b c < a c$ .

تمرین 4.

اگر $a b > 0$ ، آنگاه یا هم $a > 0$ و هم $b > 0$ ، یا هم $a < 0$ و هم $b < 0$ .

تمرین 5.

اگر $a > 0$ ، آنگاه $a^{- 1} > 0$ ؛ اگر $a < 0$ ، آنگاه $a^{- 1} < 0$ .

تمرین 6.

اگر $a < b$ و $c < d$ ، آنگاه $a + c < b + d$ .

تمرین 7.

اعداد صحیح دستگاهی هستند که در تمام اصول موضوعه گروه‌های I و II به جز M4) صدق می‌کنند. با در نظر گرفتن زوج‌های $(m, n)$ (یا در صورت تمایل $\frac{m}{n}$ ) از اعداد صحیح با $n \neq 0$ ، عمل‌ها و ترتیب اعداد گویا را بسط دهید. توجه داشته باشید که عدد گویایی که با $\frac{2}{3}$ نمایش می‌دهیم را می‌توان با $\frac{6}{9}, \frac{4}{6}, \frac{- 2}{- 3}$ و غیره نیز نمایش داد. بنابراین $\frac{m}{n}$ خود یک عدد گویا نخواهد بود، بلکه روشی برای نمایش یک عدد گویا خواهد بود. شما باید مشخص کنید که چه زمانی دو زوج یک عدد گویای یکسان را نمایش می‌دهند.

گروه III. اصل موضوعه پیوستگی

تمام اصول موضوعه گروه‌های I و II در اعداد گویا صدق می‌کنند. اما در اعداد گویا، نمی‌توانیم قضیه‌ای را که در فصل ۱۲ استفاده کردیم اثبات کنیم، یعنی اینکه یک تابع پیوستهٔ $f (x)$ روی $a \leq x \leq b$ به‌طوری که $f (a) < f (b)$ ، هر مقداری بین $f (a)$ و $f (b)$ را در این بازه اختیار می‌کند. برای مثال، تنگنای یونانیان را در نظر می‌گیریم که عددی برای نمایش طول قطر یک مربع با ضلع $1$ نداشتند. بنابر قضیه فیثاغورس، قطر $d$ در رابطهٔ $d^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ صدق می‌کرد. اما هیچ عدد گویای $d$ با این خاصیت وجود ندارد؛ زیرا اگر وجود داشت، $d = \frac{m}{n}$ را به صورت یک کسر تحویل‌ناپذیر می‌نوشتیم که در آن $m$ و $n$ اعداد صحیح هستند. آنگاه

d^{2} = \frac{m^{2}}{n^{2}} = 2,

یا $m^{2} = 2 n^{2}$ . بدین ترتیب $m^{2}$ بر $2$ بخش‌پذیر است. اما اگر $m$ فرد باشد، این غیرممکن است، بنابراین $m$ زوج است، فرضاً $m = 2 p$ . آنگاه $4 p^{2} = 2 n^{2}$ ، یا $n^{2} = 2 p^{2}$ ، و بنابراین $n$ نیز زوج است. در نتیجه $\frac{m}{n}$ نمی‌توانسته کسری تحویل‌ناپذیر بوده باشد، زیرا می‌توانیم عامل $2$ را ساده کنیم. این یک تناقض است، به این معنی که فرض اولیه مبنی بر گویا بودن $d$ نادرست است.

از دیدگاه قضیه مقدار میانی، این موضوع را می‌توان چنین تفسیر کرد: $y = f (x) = x^{2}$ برای $0 \leq x \leq 2$ پیوسته است، و $f (0) = 0 < 4 = f (2)$ . اگر قضیه مقدار میانی برای اعداد گویا برقرار می‌بود، باید عدد گویایی مانند $x_{0}$ بین $0$ و $2$ وجود می‌داشت به‌طوری که $x_{0}^{2} = 2$ . اما چنین عدد گویایی وجود ندارد. بنابراین، برای اثبات قضیه مقدار میانی به خاصیت دیگری نیاز داریم که دستگاهی که صرفاً در اصول موضوعه میدان و ترتیب صدق می‌کند، لزومی ندارد واجد آن باشد. این واقعیت که شما هیچ تجربه‌ای از این خاصیت نداشتید، باعث شده بود اثبات قضیه در زمانی که بیان شد غیرممکن باشد. با این حال، پیش از بیان این اصل موضوعه، باید چند تعریف ارائه دهیم.

تعریف 2.

فرض کنید $S$ مجموعه‌ای دلخواه از اعداد باشد. عددی مانند $M$ را یک کران بالا برای $S$ می‌نامند هرگاه به ازای هر $x$ در $S$ داشته باشیم $x \leq M$ . عددی مانند $N$ را یک کران پایین برای $S$ می‌نامند هرگاه به ازای هر $x$ در $S$ داشته باشیم $N \leq x$ . مجموعه تمام اعداد هیچ کران بالا یا پایینی ندارد؛ به عنوان مثال، اگر $M$ قرار بود یک کران بالا باشد، آنگاه $M + 1$ یک عدد می‌بود و $M + 1 > M$ . مجموعه تمام اعداد منفی دارای کران‌های بالای زیادی است، برای مثال $41, 29 \frac{3}{8}, 0, π, \sqrt{2}$ ، اما هیچ کران پایینی ندارد.

تعریف 3.

عدد $M$ کوچک‌ترین کران بالا برای $S$ نامیده می‌شود اگر:
a) $M$ یک کران بالا برای $S$ باشد؛ و
b) هیچ کران بالایی مانند برای $S$ وجود نداشته باشد به‌طوری که .

بزرگ‌ترین کران پایین نیز به طور مشابه تعریف می‌شود. کوچک‌ترین کران بالا برای مجموعه اعداد منفی برابر $0$ است؛ این همچنین کوچک‌ترین کران بالا برای مجموعه اعداد نا‌مثبت است. اگر $S$ شامل هیچ عددی نباشد، آنگاه هر عددی یک کران بالا برای $S$ است، بنابراین $S$ نمی‌تواند کوچک‌ترین کران بالا داشته باشد. بدیهی است که اگر $S$ دارای کوچک‌ترین کران بالا باشد، فقط یکی دارد.

اکنون می‌توانیم آخرین اصل موضوعه خود را بیان کنیم:

C) اگر یک مجموعهٔ ناتهی $S$ دارای کران بالا باشد، دارای کوچک‌ترین کران بالا است.

نتیجه می‌شود که اگر $𝑺$ کران پایین داشته باشد، بزرگ‌ترین کران پایین دارد. زیرا اگر $- S$ نشان‌دهنده مجموعه قرینه‌های اعضای $S$ باشد، و اگر $M$ یک کران پایین برای $S$ باشد، آنگاه $- M$ یک کران بالا برای $- S$ است. بنابراین $- S$ دارای کوچک‌ترین کران بالای است، و بزرگ‌ترین کران پایین برای $S$ است. به عنوان نخستین کاربرد، اثبات می‌کنیم که اعداد صحیح هیچ کران بالایی ندارند.

قضیه 11

برای مجموعه $1, 2, 3, \dots$ هیچ کران بالایی وجود ندارد.

فرض کنید قضیه نادرست باشد؛ آنگاه بنابر C)، اعداد صحیح دارای کوچک‌ترین کران بالای $M$ هستند. آنگاه $M - 1$ نمی‌تواند یک کران بالا باشد، بنابراین عدد صحیحی مانند $n > M - 1$ وجود دارد. اما آنگاه $n + 1 > (M - 1) + 1 = M$ ، و $n + 1$ یک عدد صحیح است. این با فرض اینکه $M$ یک کران بالا بود تناقض دارد، و بدین ترتیب قضیه اثبات می‌شود. (توجه داشته باشید نتیجه می‌شود که اگر $ϵ$ هر عدد مثبتی باشد، یک عدد صحیح مثبت $n$ وجود دارد به‌طوری که $\frac{1}{n} < ϵ$ ؛ زیرا در غیر این صورت، $\frac{1}{ϵ}$ یک کران بالا برای اعداد صحیح مثبت می‌بود.)

اکنون می‌دانیم که در دستگاه ما عددی مانند $d$ وجود دارد به‌طوری که $d^{2} = 2$ . این از پیوستگی $x^{2}$ و قضیه مقدار میانی نتیجه خواهد شد، اما اجازه دهید اشاره‌ای داشته باشیم به اینکه چگونه می‌توان آن را مستقیماً نشان داد. فرض کنید $S$ مجموعه اعداد گویای مثبت $r$ باشد به‌طوری که $r^{2} < 2$ . آنگاه $1$ در $S$ است، بنابراین $S$ ناتهی است. $2$ یک کران بالا برای $S$ است، زیرا اگر $r > 2$ ، آنگاه $r^{2} > 2^{2} = 4 > 2$ ، و $r$ در $S$ نیست. پس فرض کنید $d$ کوچک‌ترین کران بالای $S$ باشد. اگر $d^{2} > 2$ ، فرض کنید $d^{2} - 2 = ϵ > 0$ . فرض کنید $n$ عدد صحیحی باشد به‌طوری که $\frac{4}{n} < ϵ$ ، یا $\frac{1}{n} < \frac{ϵ}{4}$ . آنگاه

{(d - \frac{1}{n})}^{2} = d^{2} - \frac{2 d}{n} + \frac{1}{n^{2}} \geq d^{2} - \frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}},

زیرا $d \leq 2$ ، یا

{(d - \frac{1}{n})}^{2} \geq d^{2} - ϵ + \frac{1}{n^{2}} > d^{2} - ϵ = 2 \cdot

بدین ترتیب $d - \frac{1}{n}$ یک کران بالا برای $S$ و کوچک‌تر از $d$ است، که غیرممکن است. بنابراین $d^{2} \leq 2$ . اگر $d^{2} < 2$ ، عدد گویای $r$ را در $S$ می‌یابیم به‌طوری که $r > d$ . (اگر $2 - d^{2} = δ > 0$ ، فرض کنید $n$ عدد صحیح مثبتی باشد به‌طوری که $\frac{1}{n^{2}} < δ$ ؛ سپس فرض کنید $q$ عدد صحیح مثبتی چنان بزرگ باشد که مربع یک عدد صحیح، مانند $m$ ، بین $(2 n^{2} - 1) q^{2}$ و $2 n^{2} q^{2}$ وجود داشته باشد. فرض کنید $r = \frac{m}{q n} \cdot$ آنگاه $r^{2} < 2$ ، و $r > d \cdot$ ) تنها حالت باقی‌مانده $d^{2} = 2$ است.