توابع پیوسته

مثال 1.

$f(x)=x^2,x_0=1$. اگر اثبات ما مبنی بر این‌که یک تابع مشتق‌پذیر پیوسته است را دوباره بررسی کنید، خواهید دید که بر اساس تعاریف و قضایای مربوط به حد که اکنون ارائه داده‌ایم، کاملاً دقیق است. با این حال، بیایید با استفاده از صرفاً تعریف پیوستگی اثبات کنیم که $x^2$ در $1$ پیوسته است.

فرض کنید داده شده باشد. آنگاه باید $|f(x)-f(x_0)|=|x^2-1|$ را بررسی کنیم. فرض کنید بنویسیم $h=x-1,x=1+h$. در این صورت

$$|f(x)-f(x_0)|=|1+2h+h^2-1|=|2h+h^2|=|h||2+h|\cdot$$

اکنون فرض کنید $\delta =\text{Min}(1,\frac{ϵ}{3})$ را در نظر بگیریم. آنگاه اگر ،

از آنجا که $h=x-1=x-x_0$، می‌بینیم که هرگاه ، داریم ، و بنابراین $f(x)$ در $x_0$ پیوسته است$\cdot$

مثال 2.

مثال دوم ما تا حدی عجیب‌تر به نظر خواهد رسید. فرض کنید $f(x)$ برای $0\le x\le 1$ به صورت زیر تعریف شده باشد:
اگر $x$ گنگ باشد، $f(x)=0$.
اگر $x=\frac{p}{q}$ به صورت کسر تحویل‌ناپذیر باشد (، $p\ge 0$، $p$ و $q$ اعداد صحیح)، آنگاه

$$f(x)=\frac{1}{q}\cdot$$

به عنوان مثال،
${\displaystyle f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0}$، ${\displaystyle f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0}$، ${\displaystyle f\left(\frac{6}{7}\right)=\frac{1}{7}}$، ${\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}}$، ${\displaystyle f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3};}$

$$f(0)=1(0=\frac{0}{1}\text{ به صورت کسر تحویل‌ناپذیر}),f(1)=1\cdot$$

اول از همه، $f(x)$ در $x_0$ پیوسته نیست اگر $x_0$ یک عدد گویا باشد؛ زیرا اگر $x_0=\frac{p}{q}$ به صورت کسر تحویل‌ناپذیر باشد، . در هر بازه حول $x_0$ اعداد گنگ $x$ وجود دارند که در آن‌ها $f(x)=0$ است. بنابراین، اگر $ϵ=\frac{1}{2q}$ را امتحان کنیم، نمی‌توانیم یک $\delta$ مناسب پیدا کنیم. اکنون نشان می‌دهیم که $f(x)$ در $x_0$ پیوسته است اگر $x_0$ هر عدد گنگی باشد؛ در این حالت $f(x_0)=0$. فرض کنید داده شده باشد، و عدد صحیح را طوری بیابید که اکنون در بازه $0\le x\le 1$ تنها تعداد متناهی عدد گویا وجود دارد که در ساده‌ترین صورت، مخرج کمتر از $n$ دارند؛ دو عدد با مخرج $1$، یکی با مخرج $2$، دو تا با مخرج $3$، دو تا با مخرج $4$، چهار تا با مخرج $5,\cdots \cdot$ به طور کلی، به جز مخرج $1$، حداکثر $(k-1)$ عدد با مخرج $k$ وجود دارد (و این تنها در صورتی حاصل می‌شود که $k$ اول باشد). بنابراین تعداد اعدادی که مخرج کمتر از $n$ دارند حداکثر

$$2+1+2+\cdots +(n-2)=2+\frac{(n-1)(n-2)}{2}$$

عدد است. بنابراین یکی از این‌ها، مثلاً $r$، نزدیک‌ترین به $x_0$ است. فرض کنید باشد، زیرا $x_0$ گنگ است. اکنون فرض کنید . اگر $x$ گنگ باشد، آنگاه . اگر $x=\frac{p}{q}$ گویا باشد، می‌دانیم که $q\ge n$، یا . بدین ترتیب ، و ثابت کرده‌ایم که $f(x)$ در $x_0$ پیوسته است.