توابع معکوس و تابع نمایی

پرسش زیر را در نظر بگیرید: با فرض $y = f (x)$ برای $a ≦ x ≦ b$ ، چه زمانی می‌توانیم این رابطه را برعکس کنیم، یعنی چه زمانی این به همان معنای $x = g (y)$ برای تابع خاصی مانند $g (y)$ است؟ بنابراین می‌خواهیم $y = f (x)$ برقرار باشد اگر و تنها اگر $x = g (y)$ . دقت کنید که نمادگذاری ما به این معنی است که $g (y)$ باید به هر $y$ از یک دامنه معین دقیقاً یک مقدار $x$ را نسبت دهد. بنابراین اگر داشته باشیم $y_{0} = f (x_{1})$ ، $y_{0} = f (x_{2})$ که در آن $x_{1} \neq x_{2}$ ، نمی‌توانیم چنین تابعی $g (y)$ را در $y_{0}$ تعریف کنیم. پس باید داشته باشیم $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ اگر $x_{1} \neq x_{2}$ . ما از قبل دو دسته مهم از توابع را می‌شناسیم که این ویژگی را دارند: آن‌هایی که اکیداً صعودی هستند و آن‌هایی که اکیداً نزولی هستند.

تابعی که نمودار آن در زیر نشان داده شده است برای $0 ≦ x ≦ 1$ اکیداً صعودی است. تابع $g (y)$ که آن را تابع معکوس می‌نامیم، به صورت زیر داده می‌شود:

g (y) = y, 0 ≦ y < 1 / 2

g (y) = y - 1, 3 / 2 ≦ y ≦ 2.

با این حال، ترجیح می‌دهیم توجه خود را به توابعی محدود کنیم که می‌توانند در سرتاسر یک بازه کامل تعریف شوند، نه روی یک بازه تکه‌تکه مانند این حالت. می‌توانیم با ملزم کردن $f (x)$ به پیوسته بودن، «پرش» در آن را حذف کنیم. این الزام به دلیل قضیه زیر که بعداً اثبات خواهد شد، اطلاعات قابل توجهی درباره تابع معکوس به ما می‌دهد:

قضیه 1

فرض کنید $f (x)$ برای $a ≦ x ≦ b$ پیوسته باشد. فرض کنید $f (a) < f (b)$ و $f (a) ≦ y_{0} ≦ f (b)$ . در این صورت یک $x_{0}$ وجود دارد، $a ≦ x_{0} ≦ b$ ، به طوری که $y_{0} = f (x_{0})$ .

اکنون فرض کنید $f (x)$ برای $a ≦ x ≦ b$ پیوسته و اکیداً صعودی باشد. (می‌توانستیم $f (x)$ را پیوسته و اکیداً نزولی نیز فرض کنیم.) در این صورت $f (a) < f (b)$ است و اگر $a ≦ x ≦ b$ ، آنگاه $f (a) ≦ f (x) ≦ f (b)$ . علاوه بر این، اگر $f (a) ≦ y ≦ f (b)$ ، آنگاه یک $x$ وجود دارد، $a ≦ x ≦ b$ ، به طوری که $y = f (x)$ . سپس می‌توانیم تابع معکوس $g (y)$ را روی کل بازه $f (a) ≦ y ≦ f (b)$ تعریف کنیم:

$x = g (y)$ صرفاً به این معناست که $y = f (x)$ .

هنگامی که تعریف دقیقی از پیوستگی ارائه دادیم، دیدن اینکه $g (y)$ پیوسته است آسان خواهد بود. این تابع به وضوح اکیداً صعودی است.

در حال حاضر، فرض کنیم که $f (x)$ همچنین مشتق‌پذیر باشد؛ می‌خواهیم را برحسب بیان کنیم. بیایید این فرض تا حدی قوی‌تر را نیز در نظر بگیریم که برای $a ≦ x ≦ b$ . (برای مثال، $y = x^{3}$ برای $- 1 ≦ x ≦ 1$ اکیداً صعودی است، اما در $0$ . با این حال، دیده‌ایم که اگر برای همه $x$ های یک بازه برقرار باشد، آنگاه $f (x)$ در آنجا اکیداً صعودی است.) حال فرض کنید $f (a) < y < f (b)$ و عبارت زیر را در نظر بگیرید:

\frac{g (y + h) - g (y)}{h} \cdot

اکنون $y = f (x)$ و $y + h = f (x + k)$ به ازای مقادیری از $x$ و $x + k$ که $a ≦ x ≦ b$ و $a ≦ x + k ≦ b$ . بنابراین خارج قسمت تفاضلی برای $g (y)$ برابر است با

\frac{(x + k) - x}{f (x + k) - f (x)} = \frac{k}{f (x + k) - f (x)} = \frac{1}{\frac{f (x + k) - f (x)}{k}} \cdot

با توجه به نکته ما مبنی بر اینکه $g (y)$ پیوسته است، مقدار $g (y + h) - g (y) = k$ با میل کردن $h \to 0$ به $0$ میل می‌کند. اما وقتی $k \to 0$ ،

\frac{f (x + k) - f (x)}{k}

به میل می‌کند. بنابراین داریم

که در آن $y = f (x)$ و $x = g (y)$ . بدین ترتیب قاعده را برای مشتق‌گیری از توابع معکوس داریم.

دیده‌ایم که برای $x > 0$ ، تابع $y = \log x$ پیوسته و اکیداً صعودی است؛ علاوه بر این، مشتق آن $\frac{1}{x} > 0$ برای $x > 0$ است. بنابراین این تابع دارای یک تابع معکوس است که موقتاً آن را با $E (y)$ و بعداً، پس از اینکه نشان دادیم ویژگی‌هایش شایستگی این نمادگذاری را دارد، با $e^{y}$ نشان می‌دهیم. بنابراین $E (y)$ را برای هر عدد $y$ به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$x = E (y)$ اگر و تنها اگر $y = \log x$ .

اگر $y = \log x$ باشد، آنگاه

یا . ما قبلاً این ویژگی را به $e^{y}$ نسبت داده‌ایم. همچنین می‌بینیم که $E (y) > 0$ برای همه $y$ ها و $E (0) = 1$ است. هنگامی که $y$ بسیار منفی است، $E (y)$ به $0$ نزدیک است و هنگامی که $y$ بزرگ و مثبت است، $E (y)$ نیز بزرگ و مثبت است. اکنون $E (y_{1} + y_{2})$ آن عدد $x$ است که لگاریتم آن برابر با $y_{1} + y_{2}$ باشد. اما همان‌طور که دیده‌ایم، اگر $\log x_{1} = y_{1}$ و $\log x_{2} = y_{2}$ باشد، آنگاه $\log (x_{1} x_{2}) = y_{1} + y_{2}$ . از این رو عدد مورد نظر $x_{1} x_{2}$ است، یعنی $E (y_{1}) E (y_{2})$ ، و ما رابطه زیر را داریم:

E (y_{1} + y_{2}) = E (y_{1}) E (y_{2}) \cdot

نتیجه می‌شود که برای هر عدد صحیح مثبت $n$ ، $E (n) = E (1)^{n}$ . بدین ترتیب برخی از ویژگی‌های شبه‌نمایی این تابع را بازیافته‌ایم. بیایید عدد $e$ را با $e = E (1)$ تعریف کنیم، به طوری که $e$ عددی باشد که $\log e = 1$ . سپس می‌بینیم که برای اعداد صحیح مثبت $n$ ، $E (n) = e^{n}$ . توافق می‌کنیم که این نمادگذاری را به همه $y$ ها تعمیم دهیم و بنویسیم $e^{y} = E (y)$ . بنابراین $e^{y} > 0$ برای همه $y$ ها، $e^{0} = 1$ ،

همان‌طور که پیش‌تر اشاره شد، اکنون می‌توانیم $a^{b}$ را برای $a > 0$ با $a^{b} = e^{b \log a}$ تعریف کنیم. آنگاه

a^{b_{1} + b_{2}} = e^{(b_{1} + b_{2}) \log a} = e^{b_{1} \log a + b_{2} \log a} = e^{b_{1} \log a} e^{b_{2} \log a} = a^{b_{1}} a^{b_{2}},

و به طور مشابه می‌توانیم نشان دهیم که

(a^{b})^{c} = a^{b c}; a^{0} = 1; a^{1} = a; a^{n} = a \underset{n}{\underset{⏟}{\cdot a \cdot \dots \cdot}} a,

$n$ یک عدد صحیح مثبت است؛

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} \cdot

جالب است که برخی از توابع معکوس دیگر، به ویژه توابع معکوس مثلثاتی را معرفی کنیم. از رفتار تناوبی آن‌ها آشکار است که این توابع نه اکیداً صعودی هستند و نه اکیداً نزولی؛ اما تمام این‌ها بدین معناست که نمی‌توانیم امیدوار باشیم تابع معکوسی تعریف کنیم که مقادیر آن (با زبان فنی‌تر، برد آن) کل محور $x$ را بپوشاند. برای نمونه، تابع $y = \sin x$ برای

- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2},

اکیداً صعودی است و به جز در نقاط انتهایی، است. مقادیر آن از $y = - 1$ تا $y = 1$ تغییر می‌کنند. بنابراین می‌توانیم یک تابع معکوس برای $y = \sin x$ تعریف کنیم که به صورت $x = \arcsin y$ برای $- 1 ≦ y ≦ 1$ نوشته می‌شود. مقادیر آن بین $x = - \frac{π}{2}$ و $x = \frac{π}{2}$ قرار دارند. مشتق آن برابر است با

مایلیم این را برحسب $y$ بیان کنیم. از آنجا که $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ و از آنجا که برای $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ داریم $\cos x > 0$ ، خواهیم داشت:

\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x} = \sqrt{1 - y^{2}} \cdot

بنابراین

به همین ترتیب، $x = \arccos y$ برای $- 1 ≦ y ≦ 1$ تعریف می‌شود و مقادیری بین $x = 0$ و $x = π$ می‌گیرد. (در اینجا از تابع معکوس یک تابع اکیداً نزولی استفاده می‌کنیم.)

با فرآیند فوق،

$x = \arctan y$ نیز به طور مشابه، در این حالت برای همه $y$ ها تعریف می‌شود، با استفاده از این واقعیت که $y = \tan x$ برای

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \cdot

اکیداً صعودی است. این بازه در واقع دامنه مقادیر (برد) $x = \arctan y$ است. مانند قبل،

به عنوان نکته پایانی، اضافه کنیم که تنها توابعی به فرم $x^{a}$ که در ابتدای این درس برای آن‌ها تعریفی کاملاً مناسب داشتیم، توابعی بودند که در آن‌ها $a$ یک عدد صحیح بود. برای $n$ یک عدد صحیح مثبت، تابع $y = x^{n}$ اگر $n$ زوج باشد برای $x ≧ 0$ پیوسته و اکیداً صعودی است، و اگر $n$ فرد باشد برای همه $x$ ها پیوسته و اکیداً صعودی است. بنابراین تابع معکوس $x = y^{1 / n}$ را داریم که همان‌طور که در بالا گفته شد تعریف می‌شود: $x = y^{1 / n}$ اگر و تنها اگر $y = x^{n}$ . در نهایت، می‌توانیم تعریف کنیم

x^{m / n} = (x^{1 / n})^{m} = (x^{m})^{1 / n},

برای $m$ و $n$ مثبت؛ و برای $b$ به عنوان یک عدد گویای منفی، تعریف کنیم

x^{b} = \frac{1}{x^{- b}}, x \neq 0 \cdot

بنابراین $x^{b}$ برای $b$ گویا تعریف شده است؛ ما هنوز $x^{a}$ را برای $a$ دلخواه تعریف نکرده‌ایم. این کار با استفاده از $x^{a} = e^{a \log x}$ انجام می‌شود. از آنجا که این تعریف با تعریف قبلی داده شده برای $a$ گویا مطابقت دارد، می‌توانیم از آن به عنوان تعریف کلی استفاده کنیم. آنگاه داریم

یعنی برای همه $a$ ها.