تابع log x

فرض کنید $x > 0$ . آنگاه تابع $f (t) = \frac{1}{t}$ بر روی بازه بین $t = 1$ و $t = x$ تعریف‌شده و پیوسته است. ما تابعی را برای $x > 0$ تعریف می‌کنیم که آن را با $\log x$ نشان خواهیم داد، به صورت

\log x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t

بدیهی است که این تابع یک ویژگی دارد که ما آن را به آن تابع نسبتاً نامعینی که قبلاً به صورت $\log x$ می‌نوشتیم نسبت داده بودیم: یعنی . ویژگی پایه‌ای بعدی که اثبات می‌کنیم عبارت است از

\log (a b) = \log a + \log b

اما برای هر $a$ ثابت، $\log (a x)$ را به عنوان تابعی از $x$ در نظر بگیرید. آنگاه

بنابراین $\log (a x) = \log x + c$ که $c$ یک مقدار ثابت است. برای $x = 1$ داریم

\log a = \log 1 + c

از آنجا که

\log 1 = 0 (= \int_{1}^{1} \frac{1}{t} d t),

$c = \log a$ ، و $\log (a x) = \log x + \log a$ . این همان چیزی است که می‌خواستیم اثبات کنیم.

اکنون فرض کنید $a > 1$ ؛ آنگاه $\log a ≦ a - 1$ ، زیرا این مساحت مستطیل بزرگ‌تر در شکل زیر است.

مستطیل کوچک‌تر مساحتی برابر با $(a - 1) \cdot \frac{1}{a} ≦ \log a$ دارد. بنابراین برای $a > 1$ داریم،

a - 1 ≧ \log a ≧ \frac{a - 1}{a} = 1 - \frac{1}{a} .

این رابطه هنگامی که $a = 1$ است یک تساوی است، بنابراین هرگاه $a ≧ 1$ باشد برقرار است. حال اگر $a < 1$ باشد، آنگاه $\frac{1}{a} > 1$ ، و طبق موارد بالا داریم

\frac{1}{a} - 1 ≧ \log \frac{1}{a} ≧ 1 - \frac{1}{1 / a}

اکنون

\log a + \log \frac{1}{a} = \log 1 = 0,

بنابراین

\log \frac{1}{a} = - \log a .

این نتیجه می‌دهد

\frac{1}{a} - 1 ≧ - \log a ≧ 1 - a,

یا با تغییر علامت‌ها

بنابراین نابرابری (*) را برای همه $a > 0$ اثبات کرده‌ایم.

بیایید از این نابرابری برای استخراج برخی از ویژگی‌های $\log x$ استفاده کنیم.
با استفاده از $a = 1 + \frac{1}{n}$ ، که در آن $n$ یک عدد صحیح مثبت است، به دست می‌آوریم

\frac{1}{n} ≧ \log (1 + \frac{1}{n}) ≧ 1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1 - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}

از آنجا که $n (\log a) = \log (a^{n})$ (اثبات با استقرا)، داریم

1 = \frac{n}{n} ≧ n \log (1 + \frac{1}{n}) = \log (1 + \frac{1}{n})^{n} ≧ \frac{n}{n + 1} \cdot

اکنون با بزرگ شدن $n$ ، کسر $\frac{n}{n + 1}$ به $1$ نزدیک می‌شود. بنابراین $\log (1 + \frac{1}{n})^{n}$ بین $1$ و مقداری قرار دارد که به $1$ نزدیک می‌شود، و در نتیجه خود نیز باید به $1$ نزدیک شود. ما این را به صورت زیر می‌نویسیم

lim_{n \to \infty} \log {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 1.

سپس عبارت $\log (2^{n}) = n \log 2 ≧ n (1 - \frac{1}{2}) = \frac{n}{2}$ را در نظر بگیرید. با بزرگ شدن $n$ ، مقدار $\frac{n}{2}$ نیز بزرگ می‌شود و در نتیجه $\log (2^{n})$ به هر اندازه که بخواهیم بزرگ می‌شود. به طور مشابه، $\log (2^{- n}) ≦ - \frac{n}{2}$ ، و با بزرگ شدن دلخواه $n$ ، مقدار $\log (2^{- n})$ به دلخواه کوچک (یعنی به شدت منفی) می‌شود. بنابراین می‌بینیم که $\log x$ مقادیر به دلخواه بزرگ و به دلخواه کوچک را می‌پذیرد.

$\log x$ در هر $x > 0$ پیوسته است، زیرا مشتق‌پذیر است. علاوه بر این، اکیداً صعودی است. اگر $x_{1} < 1, x_{2} ≧ 1$ باشد، روشن است که $\log x_{1} < 0 ≦ \log x_{2}$ . اگر $1 ≦ x_{1} < x_{2}$ باشد، آنگاه مساحت زیر نمودار $y = 1 / x$ از $1$ تا $x_{1}$ مشخصاً کمتر از مساحت آن از $1$ تا $x_{2}$ است، بنابراین باز هم $\log x_{1} < \log x_{2}$ . در نهایت، اگر $x_{1} < x_{2} < 1$ باشد، مساحت از $x_{1}$ تا $1$ بزرگ‌تر از مساحت از $x_{2}$ تا $1$ است؛ اما لگاریتم‌ها همان مساحت‌ها با علامت منفی هستند که بار دیگر $\log x_{1} < \log x_{2}$ را نتیجه می‌دهد. بنابراین ادعا را اثبات کرده‌ایم.