انتگرال معین

فرض کنید $y = f (x)$ تابعی پیوسته روی $a ≦ x ≦ b$ باشد. نمودار آن را رسم می‌کنیم؛ برای مثال، ممکن است مانند نموداری باشد که در صفحه بعد نشان داده شده است.

اکنون عددی را تعریف می‌کنیم که آن را انتگرال (معین) از a تا b برای $f (x)$ می‌نامیم و برای آن می‌نویسیم

\int_{a}^{b} f (x) d x,

به‌صورت زیر:

مساحت محصور بین نمودار $y = f (x)$ ، محور xها، خط $x = a$ و خط $x = b$ را در نظر بگیرید. اگر بخشی از این مساحت بالای محور xها قرار گیرد، آن را مثبت در نظر می‌گیریم. اگر بخشی زیر محور xها قرار گیرد، آن را منفی در نظر می‌گیریم. بنابراین چیدمان علامت‌هایی را داریم که در شکل نشان داده شده است.

سپس تعریف می‌کنیم

\int_{a}^{b} f (x) d x

را صرفاً به‌عنوان جمع جبری این مساحت‌ها، همراه با علامت‌های متناظرشان.

اگر $b ≦ a$ ، تعریف می‌کنیم

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x,

زیرا

\int_{b}^{a} f (x) d x

در آن صورت به روش فوق تعریف می‌شود. به‌طور خاص، داریم

\int_{a}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{a} f (x) d x,

یا

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0.

همچنین، اگر $a, b, c$ اعدادی دلخواه باشند به‌طوری‌که $f (x)$ روی کوچک‌ترین بازه‌ای که همه آن‌ها را در بر می‌گیرد پیوسته باشد، آنگاه

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x .

اگر $a ≦ b ≦ c$ ، این نتیجه از تعریف بدیهی است. تأیید آن در حالت‌های دیگر به‌عنوان تمرین واگذار می‌شود.

اکنون فرض کنید $x$ در بازه $a ≦ t ≦ b$ باشد. آنگاه

\int_{a}^{x} f (t) d t

تعریف شده است، که در آن در این لحظه $x$ را ثابت در نظر می‌گیریم و متغیر خود را با $t$ نشان می‌دهیم. این را به‌عنوان تابعی $F (x)$ در نظر بگیرید. آنگاه خارج قسمت تفاضلی برای $F (x)$ عبارت است از

بنا به ملاحظه فوق.

اکنون فرض کنید $M$ ماکزیمم $f (t)$ روی بازه بین $x$ و $x + h$ باشد و $m$ مینیمم آن. آنگاه ادعا می‌کنیم که اگر $h > 0$ ،

M h ≧ \int_{x}^{x + h} f (t) d t ≧ m h,

یا

M ≧ \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t ≧ m .

اگر $h < 0$ باشد نامساوی اول وارونه می‌شود، اما دومی همچنان برقرار است. این را در حالتی که $f (x) > 0, h > 0$ نشان خواهیم داد. ایده حالت‌های باقی‌مانده آنگاه روشن خواهد بود. چون $f (t)$ پیوسته است، می‌توانیم فرض کنیم $h$ به‌اندازه کافی کوچک است به‌طوری‌که $f (t) > 0$ برای همه $t$ های بین $x$ و $x + h$ . آنگاه گزاره ما به این معناست که مساحت زیر نمودار $f (t)$ بین $x$ و $x + h$ بین مساحت مستطیلی به عرض $h$ که ارتفاع آن کوچک‌ترین مقدار $f (t)$ در این بازه است و مساحت مستطیلی به عرض $h$ و ارتفاع بیشترین مقدار $f (t)$ در بازه قرار دارد، همان‌طور که در شکل صفحه بعد نشان داده شده است.

اما چون $f (t)$ در $x, f (t)$ پیوسته است، $f (t)$ برای همه $t$ های بین $f (x)$ و $f (x + h)$ به $f (x)$ نزدیک می‌شود، وقتی $h$ به 0 نزدیک می‌شود. چون $M$ و $m$ مقادیری برای $f (t)$ هستند، آن‌ها نیز به $f (x)$ نزدیک می‌شوند. بنابراین داریم

f (x) = lim_{h \to 0} M ≧ lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t ≧ lim_{h \to 0} m = f (x);

اما در این صورت همه این‌ها برابرند، و .

اکنون روشی برای محاسبه داریم

\int_{a}^{b} f (t) d t .

نخست هر تابعی مانند $G (x)$ را پیدا می‌کنیم به‌طوری‌که برای $a ≦ x ≦ b$ ؛ چنین تابعی انتگرال نامعین یا پادمشتق $f (x)$ نامیده می‌شود. سپس می‌دانیم که

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

این خاصیت را دارد که . بنابراین $F (x) = G (x) + c$ ، که در آن $c$ ثابتی است. اما $F (a) = 0$ ، پس $c = - G (a)$ . آنگاه

\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) = G (b) + c = G (b) - G (a) .

اغلب این را به‌سادگی چنین می‌نویسیم

\int_{a}^{b} f (x) d x = G (x) |_{a}^{b} = G (b) - G (a) .

این به قضیه اساسی حسابان معروف است.

این نتیجه به ما امکان می‌دهد مسئله یافتن مساحت‌ها را حل کنیم؛ مسئله‌ای که قرن‌ها ذهن ریاضی‌دانان یونانی را مشغول کرده بود. آن‌ها برخی تکنیک‌های خاص داشتند که دامنه توابعی را که می‌توانیم با آن‌ها کار کنیم گسترش می‌دهد.

توجه. بار دیگر یک عمل خطی داریم؛ اگر $F (x)$ انتگرال نامعین $f (x), G (x)$ یکی برای $g (x)$ باشد، آنگاه

یا $F (x) + G (x)$ انتگرال نامعین برای $f (x) + g (x)$ است. به‌طور مشابه، $c F (x)$ انتگرال نامعین برای $c f (x)$ است. برای انتگرال‌های معین، با $F (x), f (x), G (x), g (x)$ و $c$ مانند بالا، داریم

همچنین توجه کنید که هر دو انتگرال نامعین برای $f (x)$ تنها به‌اندازه یک ثابت با هم اختلاف دارند.

مثال‌ها

مثال 1.

\int_{0}^{1} x^{2} d x;

این مساحت زیر سهمی $y = x^{2}$ بین $x = 0$ و $x = 1$ است، همان‌طور که در شکل سایه‌اندازی شده است.

برای یافتن آن، باید تابعی $F (x)$ پیدا کنیم به‌طوری‌که . اکنون ، پس از $\frac{1}{3} x^{3}$ استفاده می‌کنیم. این سپس یک انتگرال نامعین $F (x)$ است، و مساحت برابر است با

F (1) - F (0) = \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} = \frac{1}{3} .

مثال 2.

\int_{a}^{b} c d x,

که در آن $c$ ثابتی است. یک انتگرال نامعین $c x$ است، پس پاسخ ما $c b - c a = c (b - a)$ است. این صرفاً مساحت مستطیلی با اضلاع $y = c$ ، $y = 0$ ، $x = a$ ، $x = b$ است؛ علامت مثبت است اگر $c > 0$ ، و منفی اگر $c < 0$ .

مثال 3.

\int_{a}^{b} x^{n} d x,

$n$ یک عدد صحیح مثبت. $x^{n + 1}$ مشتق $(n + 1) x^{n}$ دارد، به‌طوری‌که یک انتگرال نامعین برای $x^{n}$ عبارت است از

\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} .

نتیجه صرفاً عبارت است از

\frac{1}{n + 1} (b^{n + 1} - a^{n + 1}) .

مثال 4.

با استفاده از خطی بودن، اکنون می‌توانیم بیابیم

\int_{a}^{b} f (x) d x

هرگاه $f (x)$ یک چندجمله‌ای باشد.

با بررسی قواعد مشتق‌گیری، خواهید دید که انتگرال‌های نامعین زیر درست هستند؛ می‌نویسیم

\int f (x) d x = F (x)

بدان معنا که $F (x)$ یک انتگرال نامعین از $f (x)$ است، یا اینکه :

$\int e^{x} d x = e^{x};$
$\int \cos x d x = \sin x;$
$\int \sin x d x = - \cos x;$
$\int \sec^{2} x d x = \tan x;$
$\int x^{b} d x = \frac{1}{b + 1} x^{b + 1},$ $b$ یک عدد گویای مثبت؛
$\int a^{x} d x = \frac{1}{\log a} \cdot a^{x},$ $a > 0.$

در قواعد 1) و 6)، هنوز درباره توابعی بحث می‌کنیم که شناخت واقعی از آن‌ها نداریم. به‌طور مشابه می‌توانستیم بنویسیم

\int \frac{1}{x} d x = \log x,

اما این و قواعد بالا در حال حاضر صرفاً باید به‌عنوان اطلاعاتی مفید برای پرورش تکنیک در نظر گرفته شوند. در بخش بعد $\log x$ را بر حسب یک انتگرال تعریف خواهیم کرد.

لطفاً توجه کنید که وقتی می‌نویسیم

\int_{a}^{b} f (x) d x,

این عبارت برای ما بی‌معناست مگر اینکه $f (x)$ در سراسر بازه $a \leq x \leq b$ تعریف شده و پیوسته باشد. بنابراین

\int_{0}^{4} \frac{1}{x} d x

تعریف نشده است، همان‌طور که

\int_{- 1}^{1} \sqrt{x} d x .

می‌توان انتگرال معین را به‌گونه‌ای تعریف کرد که توابع بیشتری در دامنه آن قرار گیرند (اگرچه هیچ‌یک از این دو قرار نمی‌گیرند)، اما این مسئله را بیشتر دنبال نخواهیم کرد.

تمرین‌ها

تمرین 1.

قاعده‌ای برای یافتن یک انتگرال نامعین از یک چندجمله‌ای ارائه دهید.

تمرین 2.

کورانت، ص 119، تمرین 2؛ ص 144، تمرین‌های 11-18.