انتگرال‌های معین و برخی از کاربردهای آن‌ها

یکی از کاربردهای حساب انتگرال این است که ما را قادر می‌سازد تا مقدار مساحت‌های محدود به منحنی‌ها را تعیین کنیم.

بیایید سعی کنیم گام‌به‌گام به این موضوع بپردازیم.

فرض کنید $AB$ (در شکل زیر) منحنی‌ای باشد که معادله‌ی آن مشخص است. یعنی $y$ در این منحنی تابع مشخصی از $x$ است. قطعه‌ای از این منحنی را از نقطه‌ی $P$ تا نقطه‌ی $Q$ در نظر بگیرید.

فرض کنید خط عمود $PM$ از نقطه‌ی $P$ و خط عمود دیگری به نام $QN$ از نقطه‌ی $Q$ رسم شود. در این صورت، طول $OM=x_1$ و $ON=x_2$، و عرض‌های $PM=y_1$ و $QN=y_2$ نامیده می‌شوند. به این ترتیب مساحت $PQNM$ را که در زیر قطعه‌ی منحنی $PQ$ قرار دارد، مشخص کرده‌ایم. مسئله این است که چگونه می‌توانیم مقدار این مساحت را محاسبه کنیم؟

راز حل این مسئله در این است که مساحت را به صورت تقسیم‌‌شده به تعداد زیادی نوار باریک، که عرض هر یک از آن‌ها برابر با $dx$ است، تصور کنیم. هر چه $dx$ را کوچک‌تر بگیریم، تعداد این نوارها بین $x_1$ و $x_2$ بیشتر خواهد بود. بدیهی است که کل مساحت با مجموع مساحت‌های تمام این نوارهای باریک برابر است. بنابراین کار ما یافتن رابطه‌ای برای مساحت یک نوار باریک و سپس انتگرال‌گیری از آن به منظور جمع کردن تمام نوارها با یکدیگر خواهد بود. اکنون به یکی از این نوارها فکر کنید. این نوار به این شکل خواهد بود: بین دو ضلع عمودی، با قاعده‌ای صاف به عرض $dx$، و سقفی با شیب کمی منحنی‌شکل محدود شده است. فرض کنید ارتفاع متوسط آن را برابر با $y$ در نظر بگیریم؛ در این صورت، از آنجا که عرض آن $dx$ است، مساحت آن برابر با $ydx$ خواهد بود (شکل بعدی). و با توجه به اینکه می‌توانیم عرض نوار را به دلخواه کوچک انتخاب کنیم، اگر آن را به اندازه‌ی کافی باریک در نظر بگیریم، ارتفاع متوسط آن با ارتفاع در وسط نوار برابر خواهد بود. حال اجازه دهید مقدار نامشخص کل مساحت را با $S$ (به نشانه‌ی سطح) نشان دهیم. مساحت یک نوار صرفاً بخش کوچکی از کل مساحت خواهد بود و بنابراین می‌توان آن را $dS$ نامید. پس می‌توانیم بنویسیم: $$\text{مساحت ۱ نوار}=dS=y\cdot dx.$$

حال اگر تمام نوارها را با هم جمع کنیم، به دست می‌آوریم: $$\text{مساحت کل }S=\int dS=\int ydx.$$

بنابراین، یافتن $S$ به این بستگی دارد که آیا می‌توانیم انتگرال $y\cdot dx$ را برای حالت خاص مورد نظر محاسبه کنیم، یعنی زمانی که بدانیم مقدار $y$ به عنوان تابعی از $x$ چیست.

برای مثال، اگر به شما گفته شود که برای منحنی خاص مورد نظر، رابطه به صورت $y=b+a{x}^2$ است، بدون شک می‌توانید این مقدار را در عبارت قرار دهید و بگویید: پس باید انتگرال ${\displaystyle \int (b+a{x}^2)dx}$ را پیدا کنم.

این کار بسیار خوب است؛ اما کمی تامل نشان خواهد داد که باید کار بیشتری انجام شود. زیرا مساحتی که ما سعی در یافتن آن داریم، مساحت زیر کل طول منحنی نیست، بلکه تنها مساحتی است که از سمت چپ به $PM$ و از سمت راست به $QN$ محدود شده است؛ در نتیجه باید کاری انجام دهیم تا مساحت خود را بین این «حدود» تعریف کنیم.

این امر ما را با مفهوم جدیدی آشنا می‌کند، یعنی انتگرال‌گیری بین حدود. ما فرض می‌کنیم که $x$ تغییر می‌کند و برای هدف فعلی، نیازی به هیچ مقداری از $x$ کمتر از $x_1$ (یعنی $OM$) یا بیشتر از $x_2$ (یعنی $ON$) نداریم. هنگامی که قرار است انتگرالی بین دو حد تعریف شود، مقدار کوچک‌تر را حد پایین و مقدار بزرگ‌تر را حد بالا می‌نامیم. هر انتگرالی که به این ترتیب محدود شده باشد را به عنوان یک انتگرال معین می‌شناسیم تا آن را از انتگرال نامعین (که عکس مشتق‌گیری است و هیچ حدی برای آن تعیین نشده) متمایز کنیم.

در نمادهایی که دستور انتگرال‌گیری را صادر می‌کنند، حدود با قرار گرفتن در بالا و پایین علامت انتگرال مشخص می‌شوند. بنابراین، دستور $${\int }_{x=x_1}^{x=x_2}y\cdot dx$$ به این صورت خوانده می‌شود: انتگرال $y\cdot dx$ را بین حد پایین $x_1$ و حد بالای $x_2$ بیابید.

گاهی اوقات این عبارت ساده‌تر نوشته می‌شود: $${\int }_{x_1}^{x_2}y\cdot dx.$$ بسیار خب، اما چطور انتگرال بین حدود را پس از دریافت این دستورالعمل‌ها محاسبه می‌کنید؟

دوباره به شکل اول این فصل نگاه کنید. فرض کنید می‌توانستیم مساحت زیر بخش بزرگ‌تر منحنی از $A$ تا $Q$، یعنی از $x=0$ تا $x=x_2$ را بیابیم و نام این مساحت را $AQNO$ بگذاریم. سپس، فرض کنید می‌توانستیم مساحت زیر بخش کوچک‌تر از $A$ تا $P$، یعنی از $x=0$ تا $x=x_1$ یعنی مساحت $APMO$ را بیابیم. اگر مساحت کوچک‌تر را از مساحت بزرگ‌تر کم کنیم، تفاضل آن‌ها مساحت $PQNM$ خواهد بود که همان چیزی است که می‌خواهیم. در اینجا کلید حل مسئله را داریم؛ انتگرال معین بین دو حد برابر است با تفاضل بین انتگرال محاسبه‌شده برای حد بالا و انتگرال محاسبه‌شده برای حد پایین.

پس بیایید ادامه دهیم. ابتدا انتگرال عمومی را به این صورت بیابید: $$\int ydx,$$ و از آنجا که معادله‌ی منحنی به صورت $y=b+a{x}^2$ است (شکل 19.1)، $$\int (b+a{x}^2)dx$$ انتگرال عمومی است که باید پیدا کنیم.

با انجام انتگرال‌گیری مورد نظر طبق قاعده، به دست می‌آوریم: $$bx+\frac{a}{3}{x}^3+C;$$ و این کل مساحت از $0$ تا هر مقدار دلخواهی از $x$ خواهد بود که تعیین کنیم.

بنابراین، مساحت بزرگ‌تر تا حد بالای $x_2$ برابر خواهد بود با: $$b{x}_2+\frac{a}{3}{x}_2^3+C;$$ و مساحت کوچک‌تر تا حد پایین $x_1$ به این صورت خواهد بود: $$b{x}_1+\frac{a}{3}{x}_1^3+C.$$

اکنون مساحت کوچک‌تر را از مساحت بزرگ‌تر کم می‌کنیم و برای مساحت $S$ این مقدار را به دست می‌آوریم: $$\text{مساحت }S=b(x_2-x_1)+\frac{a}{3}(x_2^3-x_1^3).$$

این همان پاسخی است که می‌خواستیم. بیایید چند مقدار عددی بدهیم. فرض کنید $b=10$، $a=0.06$ و $x_2=8$ و $x_1=6$ باشد. در این صورت مساحت $S$ برابر است با: \begin{gathered} 10(8 - 6) + \frac{0.06}{3} (8^3 - 6^3) \\ \end{gathered}

اجازه دهید در اینجا یک روش نمادین برای بیان آنچه در مورد حدود دریافته‌ایم قرار دهیم: $${\int }_{x=x_1}^{x=x_2}ydx=y_2-y_1,$$ که در آن $y_2$ مقدار انتگرال‌گیری‌شده‌ی $ydx$ متناظر با $x_2$ است و $y_1$ متناظر با $x_1$.

تمام انتگرال‌گیری‌ها بین حدود به یافتن تفاضل بین دو مقدار به این صورت نیاز دارند. همچنین توجه داشته باشید که در حین انجام تفریق، ثابت دلخواه $C$ ناپدید شده است.

به طور خلاصه، نماد ${\displaystyle {[\int ydx]}_{x_1}^{x_2}}$ به معنای ارزیابی ${\displaystyle \int ydx}$ برای $x=x_2$ و $x=x_1$ و کم کردن دومی از اولی است.

مثال‌ها

Example 1.

مثال ۱۹.۱. برای آشنایی با این فرآیند، اجازه دهید حالتی را در نظر بگیریم که پاسخ آن را از قبل می‌دانیم. بیایید مساحت مثلثی (شکل زیر) را بیابیم که قاعده‌ی آن $x=12$ و ارتفاع آن $y=4$ است. ما از قبل، از محاسبات هندسی ساده می‌دانیم که پاسخ برابر با $24$ خواهد شد.

اکنون در اینجا به جای «منحنی» یک خط شیب‌دار داریم که معادله‌ی آن به این صورت است: $$y=\frac{x}{3}.$$

مساحت مورد نظر به این صورت خواهد بود: $${\int }_{x=0}^{x=12}y\cdot dx={\int }_{x=0}^{x=12}\frac{x}{3}\cdot dx.$$

با انتگرال‌گیری از ${\displaystyle \frac{x}{3}}dx$ و قرار دادن مقدار انتگرال نامعین در داخل قلاب به طوری که حدود در بالا و پایین آن مشخص شده باشند، به دست می‌آوریم:

بیایید با آزمایش روی یک مثال ساده، خود را از این ترفند محاسباتی نسبتاً شگفت‌انگیز مطمئن کنیم. یک کاغذ شطرنجی تهیه کنید، ترجیحاً کاغذی که به مربع‌های کوچک یک‌هشتم اینچ یا یک‌دهم اینچ در هر طرف تقسیم شده باشد. روی این کاغذ شطرنجی، نمودار معادله‌ی زیر را رسم کنید: $$y=\frac{x}{3}.$$

مقادیری که باید ترسیم شوند عبارتند از:

نمودار در زیر آورده شده است.

اکنون مساحت زیر منحنی را با شمارش مربع‌های کوچک زیر خط، از $x=0$ تا $x=12$ در سمت راست محاسبه کنید. در مجموع ۱۸ مربع کامل و چهار مثلث وجود دارند که مساحت هر یک از آن‌ها برابر با $1\frac{1}{2}$ مربع است؛ یعنی در کل ۲۴ مربع. بنابراین ۲۴ مقدار عددی انتگرال ${\displaystyle \frac{x}{3}}dx$ بین حد پایین $x=0$ و حد بالای $x=12$ است.

به عنوان یک تمرین بیشتر، نشان دهید که مقدار همین انتگرال بین حدود $x=3$ و $x=15$ برابر با $36$ است.

Example 2.

مثال ۱۹.۲. مساحت زیر منحنی $y={\displaystyle \frac{b}{x+a}}$ را بین حدود $x=x_1$ و $x=0$ بیابید (شکل زیر).

حل.

یادداشت— توجه داشته باشید که در مواجهه با انتگرال‌های معین، مقدار ثابت $C$ همواره بر اثر تفریق ناپدید می‌شود.

توجه داشته باشید که این فرآیند تفریق یک بخش از بخش بزرگ‌تر برای یافتن تفاضل، در واقع یک روش بسیار رایج است. مساحت یک رینگ تخت (شکل بعدی) را که شعاع خارجی آن $r_2$ و شعاع داخلی آن $r_1$ است چگونه پیدا می‌کنید؟ شما از هندسه می‌دانید که مساحت دایره‌ی خارجی $\pi r_2^2$ است؛ سپس مساحت دایره‌ی داخلی یعنی $\pi r_1^2$ را می‌یابید؛ در مرحله‌ی بعد دومی را از اولی کم می‌کنید و مساحت رینگ را به صورت $\pi (r_2^2-r_1^2)$ به دست می‌آورید؛ که می‌توان آن را به صورت زیر نوشت: $$\pi (r_2+r_1)(r_2-r_1)$$ $=\text{محیط متوسط رینگ}\times \text{عرض رینگ}$.

Example 3.

مثال ۱۹.۳. در اینجا حالت دیگری آورده شده است—منحنی زوال (نمایی نزولی). مساحت بین $x=0$ و $x=a$ را برای منحنی شکل زیر که معادله‌ی آن به صورت زیر است بیابید:

حل. $$\text{مساحت}=b{\int }_{x=0}^{x=a}{e}^{-x}\cdot dx.$$ انتگرال‌گیری (به اینجا مراجعه کنید) نتیجه می‌دهد:

Example 4.

مثال ۱۹.۴. مثال دیگری با استفاده از منحنی بی‌دررو (آدیاباتیک) یک گاز کامل ارائه می‌شود که معادله‌ی آن $p{v}^n=c$ است، که در آن $p$ نشان‌دهنده‌ی فشار، $v$ نشان‌دهنده‌ی حجم و $n$ دارای مقدار $1.42$ است (به زیر مراجعه کنید).

مساحت زیر منحنی (که متناسب با کار انجام‌شده در تراکم ناگهانی گاز است) را از حجم $v_2$ تا حجم $v_1$ بیابید.

حل. در اینجا داریم:

مساحت یک دایره (قرص دایره‌ای)

Example 5.

مثال ۱۹.۵. فرمول معمولی هندسه را اثبات کنید که طبق آن، مساحت $A$ دایره‌ای به شعاع $R$ برابر با $\pi R^2$ است.

حل. یک منطقه‌ی جزئی یا حلقه‌ی دیفرانسیلی از سطح را در نظر بگیرید (شکل بعدی)، به عرض $dr$، که در فاصله‌ی $r$ از مرکز قرار دارد. ما می‌توانیم کل سطح را متشکل از چنین حلقه‌های باریکی تصور کنیم، و کل مساحت $A$ به سادگی انتگرال تمام این حلقه‌های جزئی از مرکز تا حاشیه خواهد بود، یعنی از $r=0$ تا $r=R$ انتگرال‌گیری می‌شود.

بنابراین باید عبارتی برای مساحت جزئی $dA$ این حلقه‌ی باریک بیابیم. آن را به عنوان نواری به عرض $dr$ و به طول برابر با محیط دایره‌ای به شعاع $r$ یعنی به طول $2\pi r$ در نظر بگیرید. در این صورت، برای مساحت حلقه‌ی باریک داریم: $$dA=2\pi rdr.$$

بنابراین مساحت کل دایره برابر خواهد بود با: $$A=\int dA={\int }_{r=0}^{r=R}2\pi r\cdot dr=2\pi {\int }_{r=0}^{r=R}r\cdot dr.$$

اکنون، انتگرال عمومی $r\cdot dr$ برابر با $\frac{1}{2}{r}^2$ است. بنابراین: $$A=2\pi {\left[\frac{1}{2}{r}^2\right]}_{r=0}^{r=R};$$ یا $$A=2\pi [\frac{1}{2}{R}^2-\frac{1}{2}(0{)}^2];$$ در نتیجه: $$A=\pi R^2.$$

مقدار میانگین (یا متوسط) یک تابع

Example 6.

مثال ۱۹.۶. بیایید عرض میانگین (مقدار متوسط $y$) بخش مثبت منحنی $y=x-x^2$ را که در زیر نشان داده شده است بیابیم.

حل. برای یافتن عرض میانگین، باید مساحت قطعه‌ی $OMN$ را بیابیم و سپس آن را بر طول قاعده‌ی $ON$ تقسیم کنیم. اما قبل از اینکه بتوانیم مساحت را پیدا کنیم، باید طول قاعده را مشخص کنیم تا بدانیم تا چه حدی باید انتگرال بگیریم. در نقطه‌ی $N$ مقدار عرض $y$ صفر است؛ بنابراین، باید به معادله نگاه کنیم و ببینیم چه مقداری از $x$ باعث می‌شود $y=0$ شود. اکنون، واضح است که اگر $x$ برابر با $0$ باشد، $y$ نیز $0$ خواهد بود و منحنی از مبدا $O$ می‌گذرد؛ اما همچنین اگر $x=1$ باشد، $y=0$ خواهد بود؛ به طوری که $x=1$ موقعیت نقطه‌ی $N$ را به ما می‌دهد.

پس مساحت مورد نیاز عبارت است از:

اما طول قاعده برابر با $1$ است.

بنابراین، عرض متوسط منحنی $=\frac{1}{6}$ است.

[یادداشت— یافتن ارتفاع ماکزیمم عرض با استفاده از مشتق‌گیری، تمرین زیبا و ساده‌ای در مبحث ماکزیمم و مینیمم خواهد بود. این مقدار باید از مقدار متوسط بزرگ‌تر باشد.]

عرض میانگین (یا متوسط) هر منحنی در بازه‌ی $x=x_1$ تا $x=x_2$ با عبارت زیر داده می‌شود:

مساحت‌ها در مختصات قطبی

هنگامی که معادله‌ی مرز یک مساحت به صورت تابعی از فاصله‌ی $r$ یک نقطه از آن از یک نقطه‌ی ثابت $O$ (شکل بعدی) به نام قطب و زاویه‌ای که $r$ با جهت مثبت محور $x$ می‌سازد داده شده باشد، فرآیندی که تازه توضیح داده شد را می‌توان به همان سادگی و با یک تغییر کوچک به کار برد. به جای یک نوار مساحتی، یک مثلث کوچک $OAB$ را در نظر می‌گیریم که زاویه‌ی آن در $O$ برابر با $d\theta$ است و مجموع تمام مثلث‌های کوچک سازنده‌ی مساحت مورد نظر را می‌یابیم.

مساحت چنین مثلث کوچکی تقریباً برابر با ${\displaystyle \frac{AB}{2}}\times r$ یا ${\displaystyle \frac{rd\theta }{2}}\times r$ است؛ بنابراین بخشی از مساحت که بین منحنی و دو موقعیت $r$ متناظر با زوایای ${\theta }_1$ و ${\theta }_2$ قرار دارد، با فرمول زیر داده می‌شود:

یادداشت— در فرمول فوق، $\theta$ باید بر حسب رادیان بیان شود.

مثال‌ها

Example 7.

مثال ۱۹.۷. مساحت قطاعی به اندازه‌ی $1$ رادیان را در دایره‌ای به شعاع $a$ اینچ بیابید (شکل زیر).

حل. معادله‌ی قطبی دایره به وضوح $r=a$ است. مساحت برابر است با: $$\frac{1}{2}{\int }_{\theta ={\theta }_1}^{\theta ={\theta }_2}{a}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_{\theta =0}^{\theta =1}d\theta =\frac{a^2}{2}.$$

Example 8.

مثال ۱۹.۸. مساحت ربع اول منحنی موسوم به «حلزون پاسکال» (Pascal's Snail) را بیابید که معادله‌ی قطبی آن $r=a(1+\cos \theta )$ است (شکل زیر).

حل.

حجم‌ها با استفاده از انتگرال‌گیری

آنچه را که با مساحت یک نوار کوچک از یک سطح انجام دادیم، مطمئناً می‌توانیم به همان سادگی با حجم یک نوار کوچک از یک جسم صلب نیز انجام دهیم. ما می‌توانیم تمام نوارهای کوچکی را که کل جسم صلب را تشکیل می‌دهند با هم جمع کنیم و حجم آن را بیابیم، درست همان‌طور که تمام بخش‌های بسیار کوچک سازنده‌ی یک مساحت را با هم جمع کردیم تا مساحت نهایی شکل مورد نظر را به دست آوریم.

مثال‌ها.

Example 9.

مثال ۱۹.۹. حجم کره‌ای به شعاع $R$ را بیابید.

حل. روش (الف). یک پوسته‌ی کروی نازک حجمی معادل $4\pi r^{2}dr$ دارد (به شکل ۱۹.۹ مراجعه کنید)؛ با جمع کردن تمام پوسته‌های هم‌مرکز سازنده‌ی کره، داریم: $$\text{حجم کره}={\int }_{r=0}^{r=R}4\pi r^{2}dr=4\pi {\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^R=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

روش (ب). همچنین می‌توانیم به صورت زیر عمل کنیم: حجم یک ورقه‌ی نازک (دیسک) از کره به ضخامت $dx$ برابر با $\pi y^{2}dx$ است. این دیسک نازک از دوران نواری به ضخامت $dx$ که در شکل ۱۹.۱۴ نشان داده شده است حول محور $x$ حاصل می‌شود (به شکل ۱۹.۱۵ مراجعه کنید). طول این نوار، یعنی $y$، با فاصله‌ی این نوار از مبدا، یعنی $x$، از طریق رابطه‌ی زیر مرتبط است: $$y^2=R^2-x^2.$$ بنابراین:

Example 10.

مثال ۱۹.۱۰. حجم جسم حاصل از دوران منحنی $y^2=6x$ حول محور $x$ را بین حدود $x=0$ و $x=4$ بیابید.

حل. حجم دیسک نازک حاصل از دوران نوار باریک برابر با $\pi y^{2}dx$ است (شکل زیر را ببینید).

بنابراین:

درباره‌ی میانگین‌های مجذوری (مقادیر RMS)

در شاخه‌های خاصی از فیزیک، به ویژه در مطالعه‌ی جریان‌های الکتریکی متناوب، محاسبه‌ی میانگین مجذوری یک کمیت متغیر ضروری است. منظور از «میانگین مجذوری»، ریشه‌ی دوم میانگینِ مجذورات تمام مقادیر بین حدود در نظر گرفته شده است. نام‌های دیگر میانگین مجذوری برای هر کمیتی، مقدار «موثر» (virtual) یا مقدار «RMS» (به معنای ریشه میانگین مربع) آن است. اگر $y$ تابع مورد نظر باشد و میانگین مجذوری بین حدود $x=0$ و $x=L$ گرفته شود، در این صورت میانگین مجذوری به صورت زیر بیان می‌شود:

مثال‌ها.

Example 11.

مثال ۱۹.۱۱. میانگین مجذوری تابع $y=ax$ را بیابید (شکل بعدی).

حل. در اینجا انتگرال برابر است با ${\int }_0^L{a}^2{x}^{2}dx$ که مقدار آن $\frac{1}{3}{a}^2{L}^3$ می‌شود.

با تقسیم بر $L$ و گرفتن ریشه‌ی دوم، داریم: $$\text{میانگین مجذوری}=\frac{1}{\sqrt{3}}aL.$$

در اینجا میانگین حسابی برابر با $\frac{1}{2}aL$ است؛ و نسبت میانگین مجذوری به میانگین حسابی (این نسبت را ضریب شکل می‌نامند) برابر است با ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}=1.155$.

تمرین‌ها