معادلات دیفرانسیل جزئی

فهرست مطالب

13.1 مقدمه
- 13.1.1 ریاضیات حرکت
13.2 سخنرانی
13.3 تصویرسازی
تمرین‌ها

13.1 مقدمه

13.1.1 ریاضیات حرکت

اگر بتوانیم تغییرات یک کمیت را با تغییرات کمیت دیگری مرتبط کنیم، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وارد می‌شوند. یکی از ساده‌ترین قوانین این است که نرخ تغییر یک تابع $f (t, x)$ در زمان با نرخ تغییر در مکان مرتبط است. چنین قاعده‌ای را می‌توان مثلاً به صورت $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ بیان کرد، که در آن $f_{t}$ مشتق جزئی نسبت به $t$ و $f_{x}$ مشتق جزئی نسبت به $x$ است. می‌توانید بررسی کنید که $f (t, x) = \sin (t + x)$ نمونه‌ای از تابعی است که این معادله دیفرانسیل را برآورده می‌کند. حتی می‌توانید ببینید که برای هر تابع $g$ ، تابع $f (t, x) = g (t + x)$ شرط $f_{t} = f_{x}$ را ارضا می‌کند. یک وضعیت معمول این است که $f (0, x)$ ، یعنی وضعیت "اکنون" داده شود. سپس می‌توانیم ببینیم $f (t, x)$ برای یک زمان بعدی $t$ چیست. این وضعیت در آینده را توصیف می‌کند. همان‌طور که می‌بینید، معادله دیفرانسیل $f_{t} = f_{x}$ "انتقال" را توصیف می‌کند. وضعیت اولیه به سمت چپ منتقل می‌شود. این را بررسی کنید و مثلاً $f (0, x) = x^{2}$ را رسم کنید. می‌بینیم که $f (t, x) = (x + t)^{2}$ و به‌ویژه $f (1, x) = (x + 1)^{2}$ . نمودار به سمت چپ حرکت کرده است.

**شکل 1.** تابعی $f (t, x)$ که یک معادله دیفرانسیل $f_{t t} - f_{x x} = \sin (u)$ را برآورده می‌کند. این PDE معادله *سین-گوردون* نامیده می‌شود، یک معادله موج غیرخطی که شامل **سولیتون‌ها** است. فضا در اینجا یک‌بعدی است و زمان از چپ به راست می‌گذرد. ما یک موج را می‌بینیم که به چپ و راست حرکت می‌کند، در مرز بازتاب می‌یابد و به یک قله بزرگ‌تر تبدیل می‌شود. یک "موج سرکش".

13.2 سخنرانی

13.2.1 چگونه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی جهان ما را شکل می‌دهند

یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی قاعده‌ای است که نرخ‌های تغییر متغیرهای مختلف را ترکیب می‌کند. زندگی ما تحت تأثیر معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی قرار دارد: معادلات ماکسول میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی $E$ و $B$ را توصیف می‌کنند. حرکت آن‌ها به انتشار نور منجر می‌شود. معادلات میدان اینشتین تانسور متریک $g$ را با تانسور جرم $T$ مرتبط می‌سازند. معادله شرودینگر می‌گوید که ذرات کوانتومی چگونه حرکت می‌کنند. قوانینی مانند معادلات ناویر-استوکس حرکت سیالات و گازها و به‌ویژه جریان‌های اقیانوس یا بادهای جوّی را اداره می‌کنند. معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی همچنین در مکان‌های غیرمنتظره‌ای مانند امور مالی ظاهر می‌شوند، جایی که برای مثال، معادله بلک-شولز قیمت‌های اختیار معامله را به زمان و قیمت سهام مرتبط می‌کند.

13.2.2 چند مثال از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و معادلات دیفرانسیل معمولی

اگر $f (x, y)$ تابعی از دو متغیر باشد، می‌توانیم $f$ را نسبت به $x$ یا $y$ مشتق بگیریم. به سادگی $f_{x} (x, y)$ را برای $\partial_{x} f (x, y)$ می‌نویسیم. به عنوان مثال، برای $f (x, y) = x^{3} y + y^{2}$ ، داریم $f_{x} (x, y) = 3 x^{2} y$ و $f_{y} (x, y) = x^{3} + 2 y$ . اگر ابتدا نسبت به $x$ و سپس نسبت به $y$ مشتق بگیریم، $f_{x y} (x, y)$ می‌نویسیم. اگر دو بار نسبت به $y$ مشتق بگیریم، $f_{y y} (x, y)$ می‌نویسیم. یک معادله برای یک تابع مجهول $f$ که در آن مشتقات جزئی نسبت به حداقل دو متغیر مختلف ظاهر می‌شوند، معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) نامیده می‌شود. اگر فقط مشتق نسبت به یک متغیر ظاهر شود، از معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) صحبت می‌کنیم. مثالی از یک PDE عبارت است از $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = f_{x x} + f_{y y}$ ، و مثالی از یک ODE عبارت است از . مهم است که بدانیم ما به دنبال یک تابع هستیم، نه یک عدد. برای مثال، معادله دیفرانسیل معمولی توسط توابع $f (t) = C e^{3 t}$ حل می‌شود. اگر یک مقدار اولیه مانند $f (0) = 7$ را تجویز کنیم، آنگاه یک جواب یکتا $f (t) = 7 e^{3 t}$ وجود دارد. معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی KdV $f_{t} + 6 f f_{x} + f_{x x x} = 0$ توسط (حدس زدید) $2 {sech}^{2} (x - 4 t)$ حل می‌شود. این یکی از جواب‌های بسیار است. در این صورت، آن‌ها سولیتون نامیده می‌شوند، امواج غیرخطی. کورتوگ-دوریز (KdV) نمادی در یک زمینه ریاضی به نام سیستم‌های انتگرال‌پذیر است که به بینش در تحقیقات جاری مانند امواج سرکش در اقیانوس منجر می‌شود.

13.2.3 نگاهی به قضیه کلرو برای مشتقات مخلوط

می‌گوییم $f \in C^{1} (ℝ^{2})$ اگر هر دو $f_{x}$ و $f_{y}$ توابعی پیوسته از دو متغیر باشند، و $f \in C^{2} (ℝ^{2})$ اگر تمام $f_{x x}$ ، $f_{y y}$ ، $f_{x y}$ و $f_{y x}$ توابعی پیوسته باشند. قضیه بعدی قضیه کلرو نامیده می‌شود. این قضیه به معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی $f_{x y} = f_{y x}$ می‌پردازد. اثبات، روش اثبات با برهان خلف را نشان می‌دهد. در سمینار اثبات، کمی بیشتر به این تکنیک خواهیم پرداخت.

قضیه 1. هر $f \in C^{2}$ معادله کلرو $f_{x y} = f_{y x}$ را حل می‌کند.

اثبات. ما از قضیه فوبینی استفاده می‌کنیم که بعداً در درس انتگرال دوگانه ظاهر خواهد شد: انتگرال $\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} f_{x y} (x, y) d y) d x$ را با اعمال قضیه اساسی حسابان دو بار محاسبه می‌کنیم یک محاسبه مشابه نتیجه می‌دهد اعمال فوبینی بر $g (x, y) = f_{x y} (x, y)$ تضمین می‌کند که $\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} (\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f_{y x} (x, y) d x) d y = \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} f_{y x} (x, y) d y) d x$ بنابراین $\iint_{A} (f_{x y} - f_{y x}) d y d x = 0$ . $فرض کنید$ یک $(x_{0}, y_{0})$ وجود داشته باشد، جایی که $F (x_{0}, y_{0}) = f_{x y} (x_{0}, y_{0}) - f_{y x} (x_{0}, y_{0}) = c > 0,$ آنگاه برای $h$ کوچک، تابع $F$ در همه جای $A = [x_{0}, x_{0} + h] \times [y_{0}, y_{0} + h]$ بزرگتر از $c / 2$ است، به طوری که $\iint_{A} F (x, y) d x d y \geq area (A) c / 2 = h^{2} c / 2 > 0$ که $در تناقض$ با صفر بودن انتگرال است. ◻

13.2.4 چرا مشتق‌پذیری پیوسته برای قضیه کلرو کافی نیست

این حکم برای توابعی که فقط $C^{1}$ هستند نادرست است. مثال نقض استاندارد $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ است که برای $y \neq 0$ خاصیت $f_{x} (0, y) = 4 y$ و برای $x \neq 0$ خاصیت $f_{y} (x, 0) = - 4 x$ را دارد. می‌توانید مقایسه $f (x, y) = 2 x y = r^{2} \sin (2 θ)$ و $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2}) = r^{2} \sin (4 θ) .$ را ببینید. تابع دوم در $C^{2}$ نیست. مقادیر $f_{x y}$ و $f_{y x}$ ، تغییرات شیب خطوط مماس، به طور متفاوتی می‌چرخند.

**شکل 2.** قضیه کلرو برای $f (x, y) = 2 x y$ که در مختصات قطبی $r^{2} \sin (2 θ)$ است، برقرار است. اما برای تابع $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ که در مختصات قطبی $2 r^{2} \sin (2 θ) \cos (2 θ) = r^{2} \sin (4 θ)$ است، برقرار نیست.

13.3 تصویرسازی

13.3.1 رویکردی برای حل معادلات انتقال

در بسیاری از موارد، یکی از متغیرها زمان است که برای آن از حرف $t$ استفاده می‌کنیم و $x$ را به عنوان متغیر مکان نگه می‌داریم. معادله دیفرانسیل $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ معادله انتقال نامیده می‌شود. جواب‌ها وقتی $f (0, x) = g (x)$ چه هستند؟ در اینجا یک استدلال جالب آورده شده: اگر مشتق باشد،¹ می‌توانیم عملگرهایی مانند بسازیم. اکنون معادله انتقال به صورت $f_{t} = D f$ است. همان‌طور که از حسابان می‌دانید، تنها جواب ، $f (0) = b$ برابر $b e^{a t}$ است. اگر به طور جسورانه عدد $a$ را با عملگر $D$ جایگزین کنیم، را به دست می‌آوریم و جواب آن می‌شود. با توجه به فرمول تیلور، این برابر است با $g (x + t)$ . در واقع باید تیلور را به صورت $g (x + t) = e^{D t} g (x)$ به خاطر بسپارید. ما برای $g (x) = f (0, x)$ در $C^{1} (ℝ^{2})$ نتیجه گرفتیم:

قضیه 2. $f_{t} = f_{x}$ با $f (t, x) = g (x + t)$ حل می‌شود.

اثبات. می‌توانیم این استدلال را نادیده بگیریم و به سرعت تأیید کنیم: تابع در شرط $f (0, x) = g (x)$ صدق می‌کند و $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ . ◻

13.3.2 حل معادله موج با فرمول دالامبر

مثال دیگری از یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی معادله موج $f_{t t} =$ $f_{x x}$ است. می‌توانیم آن را به صورت $(\partial_{t} + D) (\partial_{t} - D) f = 0$ بنویسیم. یک راه حل، در نظر گرفتن $(\partial_{t} - D) f = 0$ است. این به معنای انتقال $f_{t} = f_{x}$ و $f (t, x) = f (x + t)$ است. همچنین می‌توانیم $(\partial_{t} + D) f = 0$ داشته باشیم که به معنای $f_{t} = - f_{x}$ و منجر به $f (x - t)$ می‌شود. می‌بینیم که هر ترکیب $a f (x + t) + b f (x - t)$ با ثابت‌های $a, b$ یک جواب است. با تعیین ثابت‌های $a, b$ به طوری که $f (x, 0) = g (x)$ و $f_{t} (x, 0) = h (x)$ باشد، جواب دالامبر زیر به دست می‌آید. این جواب نیازمند $g, h \in C^{2} (ℝ)$ است.

قضیه 3. $f_{t t} = f_{x x}$ با $f (t, x) = \frac{g (x + t) + g (x - t)}{2} + \frac{h (x + t) - h (x - t)}{2}$ حل می‌شود.

اثبات. فقط مستقیماً تأیید کنید که این واقعاً یک جواب است و $f (0, x) = g (x)$ و $f_{t} (0, x) = h (x)$ برقرار است. به طور شهودی، اگر سنگی را به یک آبراه باریک بیندازیم، آنگاه امواج به هر دو طرف حرکت می‌کنند. ◻

13.3.3 از جریان گرما تا توزیع نرمال

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی $f_{t} = f_{x x}$ معادله گرما نامیده می‌شود. جواب آن شامل توزیع نرمال $N (m, s) (x) = e^{- (x - m)^{2} / (2 s^{2})} / \sqrt{2 π s^{2}}$ در نظریه احتمال است. عدد $m$ میانگین و $s$ انحراف معیار است.

13.3.4 حل معادله گرما

اگر گرمای اولیه $g (x) = f (0, x)$ در زمان $t = 0$ پیوسته و خارج از یک بازه کراندار $[a, b]$ صفر باشد، آنگاه

قضیه 4. $f_{t} = f_{x x}$ با $f (t, x) = \int_{a}^{b} g (m) N (m, \sqrt{2 t}) (x) d m$ حل می‌شود.

اثبات. برای هر $m$ ثابت، تابع $N (m, \sqrt{2 t}) (x)$ معادله گرما را حل می‌کند.

$\texttt{\footnotesize{{f}={PDF}[ NormalDistribution [{m}, \textbf{Sqrt}[2 {t}]], {x}]; {\textbf{Simplify}}[{\textbf{D}}[{f}, {t}]=={\textbf{D}}[{f},{{x}, 2}]] }}$

هر تقریب مجموع ریمان $g (x) = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} g (m_{k})$ از $g$ تابعی را تعریف می‌کند $f_{n} (t, x) = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} g (m_{k}) N (m_{k}, \sqrt{2 t}) (x)$ که معادله گرما را حل می‌کند. همچنین $f (t, x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (t, x) .$ برای بررسی $f (0, x) = g (x)$ نیاز داریم که $\int_{- \infty}^{\infty} N (m, s) (x) d x = 1$ و $\int_{- \infty}^{\infty} h (x) N (m, s) (x) d x \to h (m)$ برای هر $h$ پیوسته و $s \to 0$ ، که بعداً اثبات خواهد شد. ◻

13.3.5 نقش معادله لاپلاس

برای توابع سه متغیره $f (x, y, z)$ می‌توان به معادله دیفرانسیل جزئی $Δ f (x, y, z) = f_{x x} + f_{y y} + f_{z z} = 0$ نگاه کرد. این معادله، معادله لاپلاس نامیده می‌شود و $Δ$ عملگر لاپلاس نام دارد. این عملگر همچنین در یکی از مهم‌ترین معادلات دیفرانسیل جزئی، یعنی معادله شرودینگر $i ℏ f_{t} = H f = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ f + V (x) f,$ ظاهر می‌شود، که در آن $ℏ = h / (2 π)$ یک ثابت پلانک مقیاس‌شده است و $V (x)$ پتانسیل وابسته به موقعیت $x$ و $m$ جرم است. برای $i ℏ f_{t} = P f$ با $P = - i ℏ D$ ، آنگاه جواب $f (x - t)$ انتقال به جلو است. عملگر $P$ عملگر تکانه در مکانیک کوانتومی است. فرمول تیلور می‌گوید که $P$ انتقال را تولید می‌کند.

تمرین‌ها

تمرین 1. بررسی کنید که برای هر ثابت $b$ ، تابع $f (x, t) = e^{- b t} \sin (x + t)$ در معادله انتقال رانده‌شده $f_{t} (x, t) = f_{x} (x, t) - b f (x, t)$ صدق می‌کند. این معادله دیفرانسیل جزئی گاهی معادله فرارفت با میرایی $b$ نامیده می‌شود.

تمرین 2. در کلاس دیده‌ایم که $f (t, x) = e^{- x^{2} / (4 t)} / \sqrt{4 π t}$ معادله گرما $f_{t} = f_{x x}$ را حل می‌کند. به‌طور کلی‌تر بررسی کنید که $e^{- x^{2} / (4 a t)} / \sqrt{4 a π t}$ معادله گرما $f_{t} = a f_{x x}$ را حل می‌کند.

تمرین 3. معادله ایکونال $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = 1$ در اپتیک استفاده می‌شود. فرض کنید $f (x, y)$ فاصله تا دایره $x^{2} + y^{2} = 1$ باشد. نشان دهید که این تابع در معادله ایکونال صدق می‌کند.

تذکر: این معادله را می‌توان به‌صورت $‖ d f ‖^{2} = 1$ بازنویسی کرد، که در آن $d f = \nabla f = [f_{x}, f_{y}]$ گرادیان $f$ است که ماتریس ژاکوبی برای نگاشت $f : ℝ^{2} \to ℝ$ می‌باشد.

تمرین 4. معادله دیفرانسیل $f_{t} = f - x f_{x} - x^{2} f_{x x}$ نسخه‌ای از معادله بلک-شولز است. در اینجا $f (x, t)$ قیمت یک اختیار خرید است و $x$ قیمت سهام و $t$ زمان می‌باشد. تابع $f (x, t)$ را بیابید که این معادله را حل کند و هم به $x$ و هم به $t$ وابسته باشد.

راهنمایی: ابتدا به دنبال جواب‌های $f (x, t) = g (t)$ یا $f (x, t) = h (x)$ بگردید و سپس توابعی به شکل $f (x, t) = g (t) + h (x)$ را بررسی کنید.

تمرین 5. معادله دیفرانسیل جزئی $f_{t} + f f_{x} = f_{x x}$ معادله برگرز نامیده می‌شود و امواج در ساحل را توصیف می‌کند. در ابعاد بالاتر، به معادله ناویه-استوکس منجر می‌شود که برای توصیف آب و هوا استفاده می‌شود. بررسی کنید که تابع $f (t, x) = \frac{(\frac{1}{t})^{3 / 2} x e^{- \frac{x^{2}}{4 t}}}{\sqrt{\frac{1}{t}} e^{- \frac{x^{2}}{4 t}} + 1}$ جوابی از معادله برگرز است. بهتر است از فناوری استفاده کنید.

ما معمولاً $d f$ را برای مشتق می‌نویسیم اما $D$ نشان می‌دهد که یک عملگر است. D همچنین مخفف دیراک است.↩︎