مختصات

فهرست مطالب

10.1 مقدمه
- 10.1.1 مبانی جبری سیستم‌های مختصات
10.2 سخنرانی
10.3 مثال‌ها
10.4 تصاویر
- 10.4.1 پیچیدگی مندلبرو
- 10.4.2 از مندلبرو تا مندلبالب
تمرین‌ها

10.1 مقدمه

10.1.1 مبانی جبری سیستم‌های مختصات

جبر ابزاری قدرتمند در هندسه است. در این سخنرانی به مفهوم مختصات بازمی‌گردیم و همچنین به سایر سیستم‌های مختصات نگاه می‌کنیم. ما فضا را به عنوان بردارهای ستونی مانند $[1, 2, 3]^{T}$ معرفی کرده‌ایم. می‌توانیم آن را به‌عنوان پیکانی از مبدأ تا نقطه $(1, 2, 3)$ در نظر بگیریم. از اعداد موجود در $(1, 2, 3)$ با عنوان مختصات یاد می‌شود، در حالی که درایه‌های $[1, 2, 3]^{T}$ مؤلفه‌های بردار هستند. بیشتر اوقات، ما بین نقطه $(1, 2, 3)$ و بردار $[1, 2, 3]^{T}$ تمایزی قائل نمی‌شویم، زیرا این دو موجودیت به‌طور طبیعی قابل شناسایی هستند. در این سخنرانی، همچنین مختصات دیگری مانند مختصات قطبی و کروی را بررسی می‌کنیم. این موضوع هنگام انتگرال‌گیری مهم خواهد بود.

**شکل ۱.** قضیه ناپلئون می‌گوید که اگر بر اضلاع یک مثلث، مثلث‌های متساوی‌الاضلاع رسم کنیم، مراکز جرم آن‌ها روی یک مثلث متساوی‌الاضلاع قرار می‌گیرند. اثبات هندسی آن به‌راحتی یافت نمی‌شود، اما با استفاده از مختصات، یک محاسبه مستقیم است: برای سه عدد مختلط $a, b, c$ ، آنگاه $u = (a + b) / 2 + i (b - a) / 3$ ، $v = (b + c) / 2 + i (c - b) / 3$ ، $w = (c + a) / 2 + i (a - c) / 3$ در شرط $| u - v | = | u - v | = | v - w |$ صدق می‌کنند. این نتیجه مشهور است زیرا هیچ قضیه دیگری به این تعداد بار دوباره کشف نشده است. در حالی که ناپلئون ممکن است خودش آن را کشف یا اثبات نکرده باشد، اما با ریاضیدانانی مانند لاگرانژ یا فوریه گفتگو می‌کرد.

**شکل ۲.** در صفحه دوبعدی، یک نقطه $(x, y) = (3, 4)$ را می‌توان همچنین با عدد مختلط $z = x + i y = 3 + 4 i$ یا بردار $[3, 4]^{T}$ شناسایی کرد. اندازه بردار $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ است و به‌عنوان طول عدد مختلط $z$ تعریف می‌شود. ضرب، دوران و مقیاس‌دهی انجام می‌دهد. ضرب در $i$ به اندازه $90$ درجه دوران می‌دهد.

10.2 سخنرانی

10.2.1 از دکارتی به قطبی: یک تبدیل مختصات

رنه دکارت بود که در سال ۱۶۳۷ مختصات را معرفی کرد و جبر را به هندسه نزدیک کرد.¹ مختصات دکارتی $(x, y)$ در $ℝ^{2}$ می‌توانند با سایر سیستم‌های مختصات مانند مختصات قطبی $(r, θ)$ جایگزین شوند، جایی که $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \geq 0$ فاصله شعاعی تا $(0, 0)$ است و $θ \in [0, 2 π)$ زاویه قطبی ساخته شده با محور $x$ مثبت است. از آنجا که $θ$ در بازه $[0, 2 π)$ قرار دارد، بهتر است با نماد مختلط $θ = \arg (x + i y)$ توصیف شود. شعاع $r = | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ طول عدد مختلط است. تبدیل از مختصات $(r, θ)$ به مختصات $(x, y)$ به صورت است. شعاع $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ است، که اگر غیر صفر باشد، همواره ریشه مثبت را در نظر می‌گیریم. فرمول زاویه $\arctan (y / x)$ تنها زمانی برقرار است که $x$ و $y$ هر دو مثبت باشند. زاویه $θ$ در مبدأ $(0, 0)$ به طور یکتا تعریف نمی‌شود؛ بیشتر نرم‌افزارها صرفاً $\arg (0) = 0$ را فرض می‌کنند.

10.2.2 اعداد مختلط: چارچوبی ضربی

می‌توانیم یک بردار در $ℝ^{2}$ را به‌صورت یک عدد مختلط $z =$ $x + i y \in ℂ$ با نماد $i$ نیز بنویسیم. این صرفاً یک راحتی نمادگذاری نیست. اعداد مختلط را می‌توان مانند سایر اعداد جمع و ضرب کرد و در حالی که $ℝ^{2} = ℂ$ است، اما دومی یک ساختار ضربی دارد. برای تثبیت آن ساختار، تنها لازم است مشخص کنیم که $i^{2} = - 1$ . این نتیجه می‌دهد $(a + i b) (c + i d) = a c - b d + i (a d + b c) .$ همچنین داریم $| a + i b | = \sqrt{(a + i b) (a - i b)} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ یک فرمول مهم اویلر توابع نمایی و مثلثاتی را پیوند می‌دهد:

قضیه ۱. $e^{i θ} = \cos (θ) + i \sin (θ)$ .

اثبات. اثبات به این صورت است که تعریف سری را در هر دو طرف می‌نویسیم. ابتدا تعاریف $e^{x} = 1 + x + x^{2} / 2! + x^{3} / 3! + \dots .$ را به یاد آورید. اگر $x = i θ$ را جایگذاری کنیم، بدست می‌آوریم $e^{i θ} = 1 + i θ - θ^{2} / 2! - i θ^{3} / 3! + θ^{4} / 4! - \dots$ اما این همان $(1 - θ^{2} / 2 + θ^{4} / 4! - \dots) + i (θ - θ^{3} / 3! + θ^{5} / 5! - \dots)$ است که برابر با $\cos (θ) + i \sin (θ)$ می‌باشد. ◻

10.2.3 سری تیلور

اگر ترجیح می‌دهید که توابع $\exp$ ، $\sin$ ، $\cos$ به عنوان سری تعریف نشوند، می‌توانید آن‌ها را به عنوان سری تیلور در نظر بگیرید با مشتق‌گیری از توابع در $0$ ، آنگاه ارتباط را می‌بینیم.

10.2.4 زیبایی فرمول اویلر

فرمول اویلر برای $θ = π$ فرمول جادویی زیر را نتیجه می‌دهد

قضیه ۲. $e^{i π} + 1 = 0$ .

این فرمول اغلب به عنوان "زیباترین فرمول در ریاضیات" رأی می‌آورد.² این فرمول "آنالیز" را در قالب $e$ ، "هندسه" را در قالب $π$ ، "جبر" را در قالب $i$ ، یکای جمعی $0$ و یکای ضربی $1$ را با هم ترکیب می‌کند.

10.2.5 لگاریتم‌های مختلط و بینش‌های اویلر

فرمول اویلر اجازه می‌دهد هر عدد مختلط را به صورت $z = r e^{i θ}$ بنویسیم. با داشتن یک عدد مختلط دیگر $w = s e^{i ϕ}$ ، داریم $z w = r s e^{i θ + ϕ}$ که نشان می‌دهد زوایای قطبی جمع و شعاع‌ها ضرب می‌شوند. فرمول اویلر همچنین اجازه می‌دهد که لگاریتم هر عدد مختلط را به صورت $\log (z) = \log (| z |) + i \arg (z) = \log (r) + i θ .$ تعریف کنیم. اکنون می‌بینیم که رفتن از $(x, y)$ به $(\log (r), θ)$ یک تبدیل بسیار طبیعی از $ℂ \ 0$ به $ℂ$ است. تابع نمایی $\exp : z \to e^{z}$ یک نگاشت از $ℂ \to ℂ \ 0$ است. این تابع ساختار جمعی روی $ℂ$ را به ساختار ضربی تبدیل می‌کند زیرا $\exp (z + w) = \exp (z) \exp (w)$ .

10.2.6 مختصات استوانه‌ای

در سه بعد، می‌توانیم به مختصات استوانه‌ای $(r, θ, z)$ نگاه کنیم که صرفاً مختصات قطبی در دو مختصات اول هستند. یک استوانه به شعاع $2$ برای مثال به صورت $r = 2$ داده می‌شود. چنبره $(3 + x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 16 (x^{2} + y^{2}) = 0$ را می‌توان به صورت $3 + r^{2} + z^{2} = 4 r$ یا به‌طور شهودی‌تر به صورت $(r - 2)^{2} + z^{2} = 1$ نوشت، یک دایره در صفحه $r z$ .

**شکل ۳.** تصاویر کلیدی برای استخراج مختصات استوانه‌ای و کروی.

10.2.7 مختصات کروی

مختصات کروی $(ρ, θ, ϕ)$ ، که در آن $ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ است. زاویه $θ$ زاویه قطبی مانند مختصات استوانه‌ای است و $ϕ$ زاویه بین نقطه $(x, y, z)$ و محور $z$ است. داریم به طوری که $z = ρ \cos (ϕ)$ و $r = ρ \sin (ϕ)$ و بنابراین جایی که $0 \leq θ < 2 π$ ، $0 \leq ϕ \leq π$ ، و $ρ \geq 0$ .

10.2.8 تغییرات مختصات و مشتقات جزئی

یک تغییر مختصات $x \to f (x)$ در صفحه یک نگاشت $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ است. یک نقطه $(x_{1}, x_{2})$ به $(f_{1}, f_{2})$ نگاشته می‌شود. ما $\partial_{x_{k}}$ را برای مشتق جزئی نسبت به متغیر $x_{k}$ می‌نویسیم. برای مثال $\partial_{x_{1}} (x_{1}^{2} x_{2} + 3 x_{1} x_{2}^{3}) = 2 x_{1} x_{2} + 3 x_{2}^{3}$ .

$f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{l} f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ f_{2} (x_{1}, x_{2}) \end{array}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{ll} \partial_{x_{1}} f_{1} (x) & \partial_{x_{2}} f_{1} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{2} (x) & \partial_{x_{2}} f_{2} (x) \end{array}],$ جایی که $d f$ یک ماتریس به نام ماتریس ژاکوبی است. دترمینان آن ضریب اعوجاج در $x = (x_{1}, x_{2})$ نامیده می‌شود.

10.2.9 ماتریس ژاکوبی برای مختصات قطبی

برای مختصات قطبی، بدست می‌آوریم

$f [\begin{array}{l} r \\ θ \end{array}] = [\begin{array}{l} r \cos (θ) \\ r \sin (θ) \end{array}], d f [\begin{array}{l} r \\ θ \end{array}] = [\begin{array}{rr} \cos (θ) & - r \sin (θ) \\ \sin (θ) & r \cos (θ) \end{array}] .$ ضریب اعوجاج نگاشت قطبی $r$ است. از این در هنگام انتگرال‌گیری در مختصات قطبی استفاده خواهیم کرد.

10.2.10 جبر تبدیل‌های مختلط

اگر $f (z) = z^{2} + c$ با $c = a + i b, z = x + i y$ به صورت $f (x, y) = (x^{2} - y^{2} + a, 2 x y + b),$ نوشته شود، آنگاه $d f$ یک ماتریس $2 \times 2$ دوران-مقیاس است که متناظر با عدد مختلط می‌باشد. جبر $ℂ$ همان جبر ماتریس‌های دوران-مقیاس است.

10.2.11 تبدیل‌های فضایی و ژاکوبی

یک تغییر مختصات $x \to f (x)$ در فضا یک نگاشت $f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ است. ما محاسبه می‌کنیم $f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{l} f_{1} (x) \\ f_{2} (x) \\ f_{3} (x) \end{array}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{lll} \partial_{x_{1}} f_{1} (x) & \partial_{x_{2}} f_{1} (x) & \partial_{x_{3}} f_{1} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{2} (x) & \partial_{x_{2}} f_{2} (x) & \partial_{x_{3}} f_{2} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{3} (x) & \partial_{x_{2}} f_{3} (x) & \partial_{x_{3}} f_{3} (x) \end{array}] .$

ما $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ نوشتیم. دترمینان آن $\det (d T) (x)$ یک ضریب اعوجاج حجمی است.

10.2.12 اعوجاج حجمی در مختصات کروی

برای مختصات کروی، داریم ضریب اعوجاج $\det (d f (ρ, ϕ, θ)) = ρ^{2} \sin (ϕ)$ است.

10.3 مثال‌ها

مثال 1. نقطه‌ی $(x, y) = (- 1, 1)$ متناظر با عدد مختلط $z = - 1 + i$ است. مختصات قطبی آن $(r, θ) = (\sqrt{2}, 3 π / 4)$ می‌باشد. از آنجا که $z = r e^{i θ}$ ، بررسی می‌کنیم $z^{2} = (- 1 + i) (- 1 + i) = - 2 i$ که با ${(r e^{i θ})}^{2} = r^{2} e^{2 i θ} = 2 e^{6 π i / 4} .$ مطابقت دارد.

مثال 2.

$(x, y, z) = (1, 1, - \sqrt{2})$ متناظر با مختصات کروی $(ρ, ϕ, θ) = (2, 3 π / 4, π / 4)$ است.
نقطه‌ای که در مختصات کروی به صورت $(ρ, ϕ, θ) = (3, 0, π / 2)$ داده شده، نقطه‌ی $(0, 3, 0)$ است.

مثال 3.

مجموعه‌ی نقاط با $r = 1$ در $ℝ^{2}$ یک دایره تشکیل می‌دهد.
مجموعه‌ی نقاط با $ρ = 1$ در $ℝ^{3}$ یک کره تشکیل می‌دهد.
مجموعه‌ی نقاط با مختصات کروی $ϕ = 0$ نقاط روی محور مثبت $z$ هستند.
مجموعه‌ی نقاط با مختصات کروی $θ = 0$ یک نیم‌صفحه در صفحه‌ی $y z$ تشکیل می‌دهد.
مجموعه‌ی نقاط با $ρ = \cos (ϕ)$ یک کره تشکیل می‌دهد. در واقع، با ضرب هر دو طرف در $ρ$ ، داریم $ρ^{2} = ρ \cos (ϕ)$ که به معنای $x^{2} + y^{2} + z^{2} = z$ است، که پس از کامل کردن مربع برابر با $x^{2} + y^{2} + (z - 1 / 2)^{2} = 1 / 4$ می‌شود.

مثال 4. برای $A \in M (n, n)$ ، $f (x) = A x + b$ دارای $d f = A$ و ضریب $distortion$ برابر $\det (A)$ است.

مثال 5. ماتریس ژاکوبی و ضریب اعوجاج نگاشت $f (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{3} + x_{2}, x_{2}^{2} - \sin (x_{1})) .$ را بیابید. پاسخ: هر دو تبدیل و ژاکوبی را بنویسید: $f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2} \\ x_{2}^{2} - \sin (x_{1}) \end{matrix}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 3 x_{1}^{2} & 1 \\ - \cos (x_{1}) & 2 x_{2} \end{array}] .$ ماتریس ژاکوبی $\det (d f (x)) = 6 x_{1}^{2} x_{2} + \cos (x_{1})$ است.

10.4 تصاویر

10.4.1 پیچیدگی مندلبرو

فرض کنید $T : ℂ \to ℂ$ به صورت $z \to z^{2} + c$ تعریف شده باشد، که در آن $z = x + i y$ . مجموعه‌ی تمام $c = a + i b$ که برای آن‌ها تکرارهای $T^{n} (0)$ کراندار باقی می‌مانند، مجموعه‌ی مندلبرو $M$ نامیده می‌شود. برای $c = - 1$ داریم $T (0) = - 1$ ، $T^{2} (0) = T (- 1) = 0$ بنابراین $T^{n} (z)$ یا $0$ یا $- 1$ است. نقطه‌ی $c = - 1$ در $M$ قرار دارد. نقطه‌ی $c = 1$ می‌دهد $T (0) = 1$ ، $T^{2} (0) = 1^{2} = 1 = 2$ ، $T^{3} (0) = 2^{2} + 1 = 5$ . استقرا نشان می‌دهد که $T^{n} (0)$ همگرا نمی‌شود. نقطه‌ی $c = 1$ در $M$ نیست.

10.4.2 از مندلبرو به مندلبالب

اگر $T$ تبدیل در $ℝ^{3}$ باشد که در مختصات کروی با $T (x) = x^{2} + c$ داده شده است، که در آن $x^{2}$ مختصات کروی $(ρ^{2}, 2 ϕ, 2 θ)$ را دارد اگر $x$ دارای $(ρ, ϕ, θ)$ باشد. مشخص می‌شود که $T (x) = x^{8} + c$ یک هم‌تای خوب از مجموعه‌ی مندلبرو، یعنی مندلبالب را می‌دهد.

**شکل 4.** **مجموعه‌ی مندلبرو** $M = {c \in ℂ ∣ T (z) = z^{2} + c دارای T^{n} (0) کراندار}$ . ساختاری مشابه در فضای $ℝ^{3}$ وجود دارد که از مختصات کروی استفاده می‌کند. این منجر به **مجموعه‌ی مندلبالب** $B = {c \in ℝ^{3} ∣ T (x) = x^{8} + c دارای T^{n} (0) کراندار}$ می‌شود، که در آن $x^{8}$ مختصات کروی $(ρ^{8}, 8 ϕ, 8 θ)$ را دارد اگر $x$ دارای مختصات کروی $(ρ, ϕ, θ)$ باشد.

تمرین‌ها

تمرین 1.

مختصات قطبی $(x, y) = (- 1, \sqrt{3})$ را بیابید.
کدام نقطه مختصات قطبی $(r, θ) = (2, π / 4)$ را دارد؟
مختصات کروی نقطه‌ی $(x, y, z) = (1, 1, \sqrt{2})$ را بیابید.
کدام نقطه مختصات کروی $(ρ, θ, ϕ) = (3, π / 2, π / 3)$ را دارد؟

تمرین 2.

$T_{c}^{n} (0)$ را برای $c = (1 + i)$ و $n = 1$ ، $2$ ، $3$ محاسبه کنید. آیا $1 + i$ در مجموعه‌ی مندلبرو قرار دارد؟
عدد "چشم در برابر چشم" $i^{i}$ چیست؟ (می‌توانید از $z^{w} = e^{w \log (z)}$ استفاده کنید).

تمرین 3.

کدام سطح با $r = z$ توصیف می‌شود؟
هذلولی $x^{2} - y^{2} = 5$ را در مختصات قطبی توصیف کنید.
کدام سطح با $ρ \sin (ϕ) = ρ^{2}$ توصیف می‌شود؟
هذلولی‌وار $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ را در مختصات کروی توصیف کنید.

تمرین 4.

ماتریس ژاکوبی و ضریب اعوجاج تغییر مختصات $T (x, y) = (2 x + \sin (x) - y, x)$ (نگاشت چیریکوف) را محاسبه کنید.
ماتریس ژاکوبی و ضریب اعوجاج تغییر مختصات $T (x, y) = (1 - 1.4 x^{2} - y, 0.3 x)$ (نگاشت کلاسیک هنون) را محاسبه کنید.

پ.ن. هنگامی که تغییر مختصات نگاشت چیریکوف را بارها و بارها انجام دهید، می‌توان آشوب را مشاهده کرد. در مورد نگاشت هنون، یک جاذب غریب دیده می‌شود، یک شیء فراکتالی که مشابه منحنی کُخ که هفته‌ی گذشته دیدیم، بعدی بزرگتر از $1$ دارد.

تمرین 5.

بررسی کنید که مجموعه‌ی مندلبرو $M$ در مجموعه‌ی $| c | \leq 2$ محصور است. به عنوان یادآوری، این بدان معناست که باید نشان دهید که در این صورت $0 \to c \to c^{2} + c \to {(c^{2} + c)}^{2} + c \to \dots$ به بی‌نهایت میل می‌کند.
اختیاری: از همان استدلال برای دیدن اینکه مجموعه‌ی مندلبالب $B$ در مجموعه‌ی $| c | \leq 2$ محصور است، استفاده کنید.

دکارت: La Géometrie, 1637 (یک سال پس از تأسیس کالج هاروارد)↩︎
دی. ولز، کدام زیباترین است؟، Mathematical Intelligencer, 1988.↩︎