قضیه گرین

فهرست مطالب

31.1 مقدمه
31.2 سخنرانی
31.3 کاربردها
31.4 مثال‌ها
تمرین‌ها

31.1 مقدمه

31.1.1 مبانی الکترومغناطیس

ممکن است فیلم «ویل هانتینگ خوب» یا فیلم «مردی که بی‌نهایت را می‌دانست» را دیده باشید. فیلم اول از رامانوجان، شخصیت اصلی فیلم دوم، الهام گرفته شده است. برخلاف «ویل هانتینگ خوب» که کاملاً تخیلی است، داستان رامانوجان واقعی است. او یک ریاضیدان خودآموخته بود که اکتشافات شگفت‌انگیزی انجام داد. داستان قدیمی‌تری نیز وجود دارد که آن هم واقعی است. جورج گرین (۱۸۹۳-۱۸۴۱) یک ریاضیدان بریتانیایی بود که اولین بار چارچوبی ریاضی برای الکتریسیته و مغناطیس توصیف کرد و راه را برای کلرک ماکسول و لرد کلوین هموار ساخت.

31.1.2 قضیه دو بعدی گرین

قضیه‌ای که به آن خواهیم پرداخت، قضیه‌ای درباره میدان‌های برداری $F = [P, Q]$ در صفحه است. مشتق آن $d F$ کرل $F$ نامیده می‌شود که یک میدان اسکالر به صورت $Q_{x} - P_{y}$ است. این قضیه بیان می‌کند که $\iint_{G} d F d A = \int_{δ G} F \cdot d r$ این کاملاً مشابه است، زیرا دومی انتگرال $f$ در امتداد مرز $δ G$ از $I = [a, b]$ است.

**شکل 1.** ویل هانتینگ خوب و مردی که بی‌نهایت را می‌دانست.

31.1.3 قضیه یکپارچه‌ساز گرین

قضیه گرین اولین بار توسط کوشی توصیف شد. از آنجایی که گرین ابتدا قضیه گاوس را کشف کرد، نام‌گذاری این قضیه کمی عجیب است. با این حال، از آنجا که گرین اولین بار ساختار کلی قضایای انتگرالی را دید: انتگرال مشتق یک میدان روی یک خمینه برابر است با انتگرال میدان روی مرز. به طور خلاصه $\int_{G} d F = \int_{δ G} F$ . هنگام نگاه به اشیاء دو بعدی، مشتق یک میدان $F = [P, Q]^{T}$ برابر $Q_{x} - P_{y}$ است. مرز یک ناحیه صفحه‌ای، لبه آن است، یعنی منحنی که ناحیه را محدود می‌کند. مهم است که جهت‌گیری منحنی با جهت‌گیری ناحیه مطابقت داشته باشد. ما منحنی را به گونه‌ای طی می‌کنیم که ناحیه در سمت چپ ما قرار گیرد.

31.1.4 نمادگذاری برای میدان‌های برداری و فرم‌های دیفرانسیلی

یک نکته درباره نمادگذاری: ما اغلب $F$ را به عنوان یک میدان برداری سطری $F = [P, Q]$ می‌نویسیم. به این یک فرم $1$ -دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. از نظر فنی نوشتن حاصل‌ضرب ماتریسی $F d r$ به جای ضرب نقطه‌ای $F^{T} \cdot d r$ صحیح است. همچنین به یاد داشته باشید که $d f$ یک میدان برداری سطری و $\nabla f = d f^{T}$ یک میدان برداری ستونی است. همچنین در مورد نمادگذاری باید توجه داشت که مرسوم است توابع، میدان‌ها یا منحنی‌های پیوسته را $C^{0}$ و توابع، میدان‌ها یا منحنی‌هایی که به طور پیوسته مشتق‌پذیر هستند را $C^{1}$ بنامیم. ما در بیشتر موارد در حسابان فرض می‌کنیم که همه اشیاء حداقل به صورت تکه‌ای $C^{1}$ هستند. برای مثال، نواحی می‌توانند مربع باشند، اما نه ناحیه‌ای که توسط یک دانه برف کخ محدود شده باشد.

31.2 سخنرانی

31.2.1 قضیه گرین برای کرل و انتگرال‌های خطی

برای یک میدان برداری $C^{1}$ به صورت $F = [P, Q]$ در یک ناحیه $G \subset ℝ^{2}$ ، کرل به صورت $curl (F) = Q_{x} - P_{y}$ تعریف می‌شود. فرض کنید مرز $C$ از $G$ به گونه‌ای جهت‌دهی شده است که ناحیه $G$ در سمت چپ قرار دارد (به این معنی که اگر $r (t) = [x (t), y (t)]$ یک پارامترسازی باشد، آنگاه سرعت چرخیده در نزدیکی $r (t)$ از $G$ عبور می‌کند). قضیه گرین تضمین می‌کند که اگر $C$ از مجموعه‌ای متناهی از منحنی‌های هموار تشکیل شده باشد، آنگاه

قضیه 1. $\iint_{G} curl (F) d x d y = \int_{C} F (r (t)) \cdot d r (t)$ .

اثبات. کافی است قضیه را به طور جداگانه برای $F = [0, Q]$ یا $F = [P, 0]$ و برای نواحی $G$ که هم «از پایین به بالا» هستند اثبات کنیم $G = B = {a \leq x \leq b, c (x) \leq y \leq d (x)}$ و هم «از چپ به راست» $G = L = {c \leq y \leq d, a (y) \leq x \leq b (y)} .$ برای $F = [P, 0]$ ، از یک انتگرال پایین به بالا استفاده کنید، جایی که دو انتگرال عمودی در امتداد $r (t) = [b, t]$ و $r (t) = [a, t]$ صفر هستند. انتگرال‌های در امتداد $r (t) = [t, c (t)]$ و $r (t) = [t, d (t)]$ به دست می‌دهند برای $F = [Q, 0]$ ، از یک انتگرال چپ به راست استفاده کنید، جایی که انتگرال‌های پایین و بالا صفر هستند و در آن با هم، $F = [0, Q] + [P, 0]$ را بنویسید، از محاسبه اول برای $[P, 0]$ و محاسبه دوم برای $[0, Q]$ استفاده کنید. به طور کلی، $G$ را در امتداد یک شبکه کوچک برش دهید تا هر بخش از هر دو نوع باشد. هنگام جمع کردن انتگرال‌های خطی، فقط مرز باقی می‌ماند. ◻

**شکل 2.** برای اثبات، ناحیه را به نواحی «از پایین به بالا» و «از چپ به راست» برش دهید. برش‌های داخلی حذف می‌شوند.

31.2.2 روش شبکه‌بندی

برای دیدن اینکه می‌توانیم $G$ را به نواحی از هر دو نوع برش دهیم، ابتدا دستگاه مختصات را کمی بچرخانید تا هیچ قطعه خط افقی یا عمودی در مرز ظاهر نشود. این ممکن است زیرا فرض می‌کنیم مرز از تعداد متناهی قطعه هموار تشکیل شده است. اکنون همچنین از یک شبکه کمی چرخیده برای خرد کردن ناحیه به قطعات کوچکتر استفاده کنید. اکنون وضعیتی داریم که هر قطعه به شکل $G = {(x, y) ∣ c (x) \leq y \leq d (x)} = {(x, y) ∣ a (y) \leq x \leq b (y)},$ است، که در آن $a$ ، $b$ ، $c$ ، $d$ توابع تکه‌ای هموار هستند.

**شکل 3.** حالتی که از پایین به بالا انتگرال می‌گیریم و حالتی که از چپ به راست انتگرال می‌گیریم.

31.2.3 میدان‌های پایستار در دو بعد

گرین تضمین می‌کند:

قضیه 2. اگر $F$ در $ℝ^{2}$ غیرچرخشی باشد، آنگاه $F$ یک میدان گرادیان است.

31.2.4 مسیر در مقابل کرل: هم‌ارزی در دو بعد

چهار ویژگی وجود دارد که اگر $F$ در $ℝ^{2}$ مشتق‌پذیر باشد، معادل هستند:

$F$ یک میدان گرادیان است،
$F$ خاصیت حلقه بسته را دارد،
$F$ خاصیت استقلال از مسیر را دارد، و
$F$ غیرچرخشی است.

در سمینار اثبات دیدیم که میدان برداری گردابی $F = [- y, x] / (x^{2} + y^{2})$ یک مثال نقض برای یک قضیه کلی‌تر است اگر میدان در نقطه‌ای مشتق‌پذیر نباشد.

31.3 کاربردها

31.3.1 قضیه گرین برای محاسبه مساحت

قضیه گرین امکان محاسبه مساحت‌ها را فراهم می‌کند. اگر $curl (F) = 1$ و $C$ منحنی باشد که ناحیه $G$ را محصور می‌کند، آنگاه برای مثال، با $F = [- y, x] / 2$ و $r (t) = [a \cos (t), b \sin (t)]$ ، آنگاه مساحت بیضی $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ است.

31.3.2 مساحت محصور شده توسط r(t) با استفاده از قضیه گرین

مساحت ناحیه محصور شده توسط $r (t) = [\cos (t), \sin (t) + \cos (22 t) / 22]$ چقدر است؟ $F (x, y) = [0, x]$ را در نظر بگیرید. انتگرال خطی برابر است با $\int_{0}^{2 π} [0, \cos (t)] \cdot [- \sin (t), \cos (t) - \sin (22 t)] d t = π .$

31.3.3 پلانیمتر: قضیه گرین در عمل

پلانیمتر یک کامپیوتر آنالوگ است که مساحت نواحی را محاسبه می‌کند. این به دلیل قضیه گرین کار می‌کند. بردار $F (x, y)$ یک بردار واحد عمود بر پایه دوم $(a, b) \to (x, y)$ است اگر $(0, 0) \to (a, b)$ پایه دوم باشد. با توجه به $(x, y)$ ، $(a, b)$ را با تقاطع دو دایره پیدا می‌کنیم. جادو در این است که کرل $F$ ثابت $1$ است. محاسبه زیر با کمک کامپیوتر این را اثبات می‌کند:

**شکل 4.** پلانیمتر یک کامپیوتر آنالوگ است که امکان محاسبه مساحت یک ناحیه محصور شده توسط یک منحنی را فراهم می‌کند. پلانیمتر مکانیکی را در کلاس خواهیم دید.

31.4 مثال‌ها

مثال 1. مسئله: $F (x, y) = [x^{2} - 4 y^{3} / 3, 8 x y^{2} + y^{5}]$ را در امتداد مرز مستطیل $[0, 1] \times [0, 2]$ با جهت خلاف عقربه‌های ساعت محاسبه کنید.
راه‌حل: از آنجایی که $curl (F) = Q_{x} - P_{y} = 8 y^{2} + 4 y^{2} = 12 y^{2}$ داریم $\int_{C} F \cdot d r = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} 12 y^{2} d y d x = 32.$

مثال 2. مسئله: انتگرال خطی میدان برداری $F (x, y) = [\begin{matrix} x + y \\ 3 x + 3 y^{2} \end{matrix}]$ را در امتداد مرز $C$ از جزیره کخ درجه دوم پیدا کنید. $C$ با جهت خلاف عقربه‌های ساعت، جزیره $G$ را که دارای $289$ مربع واحد است، محصور می‌کند.
راه‌حل: $curl (F) = 2$ ، بنابراین $\iint_{G} 2 d A = 2 Area (G) = 578.$

**شکل 5.** جزایر کخ ساخته شده توسط یک **سیستم لیندن مایر**، یک گرامر بازگشتی. با $F + F + F + F$ شروع می‌شود و بازگشت $F \to F - F + F + F F F - F - F + F$ . [ $F =$ "حرکت به جلو به اندازه $1$ "، $+ =$ "چرخش به اندازه $90$ درجه"، $- =$ "چرخش به اندازه $(- 90)$ درجه".]

تمرین‌ها

تمرین 1. انتگرال خطی $\int_{C} F \cdot d r$ را با $F = [- 11 y + 3 x^{2} \sin (y) + e^{7777 \sin (x^{6})}, 11 x + x^{3} \cos (y) + 2 y e^{22 \sin (y)}]^{T}$ در امتداد یک مثلث $C$ که رئوس $(0, 0)$ ، $(7, 0)$ و $(7, 11)$ را به ترتیب به $(0, 0)$ بازمی‌گرداند، محاسبه کنید.

تمرین 2. یک مسئله کلاسیک می‌خواهد مساحت ناحیه محدود شده توسط هیپوسایکلوئید $r (t) = [4 \cos^{3} (t), 4 \sin^{3} (t)], 0 \leq t \leq 2 π .$ را محاسبه کند. ما نمی‌توانیم این کار را مستقیماً و به راحتی انجام دهیم. حدس بزنید از کدام قضیه استفاده کنید، سپس از آن استفاده کنید!

Exercise 3. Find $\int_{C} [\sin (\sqrt{1 + x^{3}}), 7 x] \cdot d r,$ where $C$ is the boundary of the region $K (n)$ . You see in the picture $K (0)$ , $K (1)$ , $K (2)$ , $K (3)$ , $K (4)$ . The first $K (0)$ is an equilateral triangle of length $1$ . The second $K (1)$ is $K (0)$ with $3$ equilateral triangles of length $1 / 3$ added. $K (2)$ is $K (1)$ with $3 \times 4^{1}$ equilateral triangles of length $1 / 9$ added. $K (3)$ is $K (2)$ with $3 \times 4^{2}$ of length $1 / 27$ added and $K (4)$ is $K (3)$ with $3 \times 4^{3}$ triangles of length $1 / 81$ added. What is the line integral in the Koch Snowflake limit $K = K (\infty)$ ? The curve $K$ is a fractal of dimension $\log (4) / \log (3) = 1.26 \dots$ .

**Figure 6.** The first $4$ approximations of the Koch curve.

Exercise 4. Given the scalar function $f (x, y) = x^{5} + x y^{4}$ , compute the line integral of $F (x, y) = [5 y - 3 y^{2}, - 6 x y + y^{4}] + \nabla (f)$ along the boundary of the Monster region given in the picture. There are four boundary curves, oriented as shown in the picture: a large ellipse of area $16$ , two circles of area $1$ and $2$ as well as a small ellipse (the mouth) of area $3$ . "Mike" from Monsters, Inc. warns you about orientations!

Exercise 5. Let $C$ be the boundary curve of the white Yang part of the Yin-Yang symbol in the disc of radius $6$ . You can see in the image that the curve $C$ has three parts, and that the orientation of each part is given. Find the line integral of the vector field $F (x, y) = [- y + \sin (e^{x}), x]^{T}$ along $C$ . There are three separate line integrals.

**Figure 7.** Hypocycloid, Monster and Yin-Yang