قضیه استوکس

فهرست مطالب

32.1 مقدمه
- 32.1.1 قضیه استوکس
- 32.1.2 میراث استوکس: معادلات ماکسول
32.2 سخنرانی
- 32.2.1 آشکارسازی قدرت قضیه استوکس: کاربردها و زیبایی
32.3 مثال‌ها
32.4 ملاحظات
تمرینات
پیوست: کاربردها
الکترومغناطیس
دینامیک سیالات
- 32.4.12 قضیه هلمهولتز
آنالیز مختلط
- 32.4.13 قضیه گرین مختلط و جادوی تحلیلی

32.1 مقدمه

32.1.1 قضیه استوکس

قضیه استوکس قله‌ای در ریاضیات است. شما واقعاً زندگی نکرده‌اید قبل از اینکه از آن قله بالا رفته باشید. این قضیه ابتدا در یک زمینه فیزیکی توسعه یافت اما به دلایل دیگر مهم است. اولاً، جایی است که بسیاری از مفاهیم چندمتغیره در کنار هم قرار می‌گیرند: شامل منحنی‌ها، سطوح، ضرب نقطه‌ای و خارجی، مشتقات مختلف مانند ژاکوبین یا گرادیان، انتگرال‌ها یا تغییرات مختصات است. اگر بر این قضیه مسلط شوید، بر بخش بزرگی از این درس مسلط شده‌اید. این قضیه همچنین نمونه‌ای از یک روش در علم است: یک قضیه به حل مسائلی کمک می‌کند که در غیر این صورت غیرقابل دسترس بودند. ما انتگرال‌های زیادی را خواهیم دید که بدون این قضیه قابل محاسبه نیستند. همچنین، مانند کوهنوردی، رسیدن به قله چنین چیزی مهم رضایت‌بخش است. این قضیه همچنین زیبا است و بنابراین هنر.

**شکل 1.** قله **ماترهورن** در بخش جنوبی سوئیس. با شروع از کلبه هورنلی ( $3262$ متر، بردارها، خطوط، صفحات، منحنی‌ها، سطوح) به پناهگاه سولوی در ( $4003$ متر، نقاط بحرانی، لاگرانژ، انتگرال‌گیری) می‌رسید و به قله ( $4478$ متر، گرین، استوکس و گاوس) می‌رسید. منبع تصویر: ویکی‌مدیا، CC BY-SA).

32.1.2 میراث استوکس: معادلات ماکسول

اثبات این قضیه یک مسئله امتحانی بود که توسط جورج استوکس داده شد. جیمز کلرک ماکسول که دانشجوی آنجا بود بعداً از آن برای فرموله کردن معادلات ماکسول $d F = 0, d^{*} F = j$ برای میدان الکترومغناطیسی $F$ و بار-جریان $j$ استفاده کرد. وقتی فضا-زمان $ℝ^{4}$ به فضا و زمان تقسیم می‌شود، $4$ معادله وجود دارد. یکی از آنها $curl (E) = - \frac{\partial}{\partial t} B / c$ است. این توضیح می‌دهد که چگونه یک پتانسیل الکتریکی $\int_{C} E d r$ از تغییرات شار یک میدان مغناطیسی $B$ هنگام چرخاندن یک سیم $C$ پدید می‌آید و به ما امکان می‌دهد الکتریسیته را از حرکت تولید کنیم. وقتی معکوس شود، الکتریسیته را دوباره به انرژی مکانیکی تبدیل می‌کند. دفعه بعد که از یک موتور الکتریکی استفاده می‌کنید به قضیه استوکس فکر کنید!

32.2 سخنرانی

32.2.1 آشکارسازی قدرت قضیه استوکس: کاربردها و زیبایی

با توجه به یک سطح $C^{1}$ مانند $S = r (G)$ در $ℝ^{3}$ با استفاده از یک پارامتری‌سازی $r = [x, y, z]$ و یک میدان برداری $C^{1}$ مانند $F = [P, Q, R]$ ، می‌توانیم انتگرال شار $\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{G} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v .$ را تشکیل دهیم. برای $F = [P, Q, R]$ ، کرل به صورت $\nabla \times F = [R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}] .$ تعریف می‌شود. قضیه استوکس می‌گوید که اگر $C = r (I)$ مرز $S = r (G)$ باشد و $I$ طوری جهت‌دهی شود که $G$ در سمت چپ $C$ قرار گیرد، آنگاه

قضیه 1. $\iint_{S} curl (F) \cdot d S = \int_{C} F \cdot d r$ .

اثبات. کلید کار "فرمول مهم" زیر است $curl (F) (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) = F_{u} \cdot r_{v} - F_{v} \cdot r_{u} .$ این فرمول ساده است و در کلاس انجام می‌شود. حال میدان $\tilde{F} (u, v) = [\tilde{P}, \tilde{Q}] = [F (r (u, v)) \cdot r_{u} (u, v), F (r (u, v)) \cdot r_{v} (u, v)]$ را در صفحه $u v$ تعریف می‌کنیم. کرل دو بعدی $\tilde{F}$ برابر است با ${\tilde{Q}}_{u} - {\tilde{P}}_{v} = F_{u} \cdot r_{v} - F_{v} \cdot r_{u}$ همانطور که با استفاده از کلرو $r_{u v} = r_{v u}$ می‌توانیم ببینیم. قضیه استوکس اکنون نتیجه مستقیم قضیه گرین است که جلسه قبل اثبات شد.¹ ◻

**شکل 2.** چرخ پره‌ای کرل را اندازه می‌گیرد. مرز $C$ دارای $S$ "در سمت چپ" است. سطح شلوار یک "کوبوردیسم" را نشان می‌دهد. قطعاً باید دفعه بعد که زیرشلواری خود را می‌پوشید به استوکس فکر کنید!

32.3 مثال‌ها

مثال 1. مسئله: شار $F (x, y, z) = [0, 0, 8 z^{2}]^{T}$ را از نیمکره بالایی واحد $S$ با جهت‌گیری به سمت بیرون محاسبه کنید.
حل: سطح را به صورت $r (u, v) = [\cos (u) \sin (v), \sin (u) \sin (v), \cos (v)]^{T} .$ پارامتری می‌کنیم. از آنجا که $r_{u} \times r_{v} = - \sin (v) r$ ، این پارامتری‌سازی جهت‌گیری اشتباهی دارد! با این وجود ادامه می‌دهیم و فقط علامت را در پایان تغییر می‌دهیم. داریم $F (r (u, v)) = [0, 0, 8 \cos^{2} (v)]^{T}$ به طوری که $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 2} - [0, 0, 8 \cos^{2} (v)]^{T} \cdot [\cos (u) \sin^{2} (v), \sin (u) \sin^{2} (v), \cos (v) \sin (v)]^{T} d v d u$ انتگرال شار برابر است با $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 2} - 8 \cos^{3} (v) \sin (v) d v d u$ که برابر است با $2 π \cdot 8 \cos^{4} (v) / 4 |_{0}^{π / 2} = - 4 π .$ شار با جهت‌گیری به سمت بیرون $+ 4 π$ است. ما نمی‌توانستیم از قضیه استوکس در اینجا استفاده کنیم زیرا با شار کرل سروکار نداریم بلکه با خود شار $F$ سروکار داریم.

مثال 2. مسئله: مقدار $\int_{C} F \cdot d r$ چقدر است اگر $F = [\sin (\sin (x)) + z^{2}, e^{y} + x^{3} + y^{2}, \sin (y^{2}) + z^{2}]$ و $C$ چندضلعی واحد $(0, 0, 0) \to (1, 0, 0) \to (1, 1, 0) \to (0, 1, 0) \to (0, 0, 0) ?$ باشد؟ حل: از قضیه استوکس استفاده کنید. کرل $F$ برابر است با $[2 y \cos (y^{2}), 2 z, 3 x^{2}]$ . سطح $S : r (u, v) = [u, v, 0]$ با $0 \leq u \leq 1$ و $0 \leq v \leq 1$ دارای $C$ به عنوان مرز است. استوکس اجازه می‌دهد به جای آن $\iint_{S} curl (F) \cdot d S$ را محاسبه کنیم. از آنجا که $r_{u} \times r_{v} = [0, 0, 1]$ ، انتگرال شار برابر است با $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 3 u^{2} d v d u = 1.$ محاسبه انتگرال خطی دردناک‌تر بود.

مثال 3. مسئله: شار کرل $F (x, y, z) = [0, 1, 8 z^{2}]^{T}$ را از نیمکره بالایی $S$ با جهت‌گیری به سمت بیرون محاسبه کنید.
حل: عالی است، اینجا جایی است که می‌توانیم از قضیه استوکس استفاده کنیم $\iint_{S} curl (F) \cdot d S = \int_{C} F \cdot d r,$ که در آن $C$ منحنی مرزی است که می‌تواند با $r (t) = [\cos (t), \sin (t), 0]^{T}$ با $0 \leq t \leq 2 π$ پارامتری شود. قبل از پرداختن به محاسبه انتگرال خطی، خوب است بررسی کنیم که آیا میدان برداری یک میدان گرادیان است یا خیر. در واقع، می‌بینیم که $curl (F) = [0, 0, 0]$ . این بدان معناست که $F = \nabla f$ برای برخی پتانسیل $f$ که با قضیه اساسی انتگرال‌های خطی دلالت بر این دارد که $\int_{C} F \cdot d r = 0$ . اما یک لحظه صبر کنید، اگر کرل $F$ صفر است، آیا نمی‌توانستیم مستقیماً ببینیم که شار کرل از سطح صفر است؟ بله، می‌توانستیم قبلاً این را ببینیم: برای یک میدان گرادیان، شار کرل $F$ از یک سطح همیشه صفر است، به دلیل ساده اینکه کرل چنین میدانی صفر است.

مثال 4. مسئله: شار کرل $F (x, y, z) = [\sin (x y z), z e^{\cos (x + y)}, z x^{5} + z^{22}]$ از بیضیگون پایینی $S$ داده شده توسط $x^{2} / 4 + y^{2} / 9 + z^{2} / 16 = 1$ ، $z < 0$ چقدر است؟
حل: با قضیه استوکس، آن انتگرال خطی $\int_{C} F \cdot d r$ است. از طریق مرز $r (t) = [2 \cos (t), 3 \sin (t), 0]$ . اما در صفحه $x y$ با $z = 0$ ، میدان $F$ صفر است. نتیجه صفر است.

مثال 5. مسئله: شار کرل $F$ از یک بیضیگون $x^{2} / 4 + y^{2} / 9 +$ $z^{2} / 16 = 1$ چقدر است؟
حل: می‌توانیم بیضیگون را به دو قسمت برش دهیم تا دو سطح با مرز بدست آوریم. قسمت بالایی $S_{+} = {(x, y, z) \in S, z > 0}$ دارای مرز $C_{+} : r (t) =$ $[2 \cos (t), 3 \sin (t), 0]$ است که با جهت‌گیری سطح مطابقت دارد. قضیه استوکس می‌گوید که $\iint_{S_{+}} curl (F) \cdot d S = \int_{C_{+}} F \cdot d r .$ قسمت پایینی $S_{-} = {(x, y, z) \in S, z < 0}$ دارای مرز $C_{-} : r (t) = [2 \cos (t), - 3 \sin (t), 0]$ است که با جهت‌گیری قسمت پایینی مطابقت دارد. قضیه استوکس می‌گوید که $\iint_{S_{-}} curl (F) \cdot d S = \int_{C_{-}} F \cdot d r .$ با هم داریم $\int_{C_{-}} F \cdot d r + \int_{C_{+}} F \cdot d r = 0$ زیرا انتگرال‌های خطی فقط علامت‌های متفاوتی دارند. نتیجه صفر است.

32.4 ملاحظات

32.4.1 قضیه استوکس در ابعاد بالاتر

سمت چپ فرمول مهم (که کرل را "وارد" می‌کند)² فقط در سه بعد تعریف می‌شود. اما سمت راست نیز در $ℝ^{n}$ معنا دارد. این $tr ((d F)^{*} d r)$ است، که در آن $*$ قاب $2$ را به اندازه $90$ درجه می‌چرخاند. قضیه استوکس برای سطوح $2$ بعدی برای $ℝ^{n}$ اگر $n \geq 2$ کار می‌کند. برای $n = 2$ ، با $x (u, v) = u$ ، $y (u, v) = v$ داریم همانی $tr ((d F)^{*} d r) = Q_{x} - P_{y}$ که قضیه گرین است. استوکس ساختار کلی دارد، که در آن $δ F$ یک مشتق از $F$ و $δ G$ مرز $G$ است.

قضیه 2. استوکس برای میدان‌های $F$ و $S$ دو بعدی در $ℝ^{n}$ برای $n \geq 2$ برقرار است.

32.4.2 قضایای انتگرال: ساده‌سازی آمار در ابعاد بالا

چرا به $ℝ^{n}$ علاقه‌مندیم و نه فقط $ℝ^{3}$ ؟ یک مثال این است که سطوح دو بعدی به عنوان "مسیرهایی" ظاهر می‌شوند که یک رشته متحرک در $11$ بعد رد می‌کند. شاید مهم‌تر این باشد که آماردانان بنا به تعریف در فضاهای با ابعاد بالا کار می‌کنند. هنگام کار با $n$ نقطه داده، در $ℝ^{n}$ کار می‌شود. چرا باید به قضایایی مانند استوکس در آمار اهمیت دهید؟ در واقع، قضایای انتگرال به طور کلی اجازه می‌دهند محاسبات را ساده کنیم. همانطور که در قضیه گرین دیدیم، هنگام محاسبه مجموع تمام کرل‌ها، خنثی‌سازی‌هایی در داخل رخ می‌دهد. قضایای انتگرال "این خنثی‌سازی‌ها را می‌بینند" و اجازه می‌دهند از چیزهایی که مهم نیستند عبور کرده و نادیده بگیریم.

32.4.3 تعمیم انتگرال‌های خطی و انتگرال‌های شار: فراتر از ضرب خارجی

قضیه اساسی انتگرال‌های خطی $\int_{a}^{b} tr (d f (r (t)) d r (t)) d t = f (r (b)) - f (r (a))$ همچنین در $ℝ^{n}$ برقرار است. انتگرال شار $\iint_{G} tr (F^{*} (r (u, v)) d r (u, v)) d u d v$ مشابه انتگرال خطی در دو بعد است. وقتی به این شکل نوشته شود، به ضرب خارجی نیاز نداریم. و هنوز به زبان فرم‌های دیفرانسیلی نیاز نداریم.

32.4.4 قضیه استوکس، هندسه و کمینه‌سازی

استوکس با «میدان‌ها» و «فضا» سروکار دارد. چه اتفاقی می‌افتد اگر میدان خود فضا باشد، یعنی اگر $F^{*} = d r$ ؟ این جالب توجه است. برای $m = 1$ و $F = d r^{T}$ ، آنگاه $\int_{a}^{b} | d r |^{2} d t$ انتگرال کنش در فیزیک است. یک اصل مَوپِرتْیوِس عمومی تضمین می‌کند که این با طول کمان $\int_{a}^{b} | d r | d t$ معادل است به این معنا که کمینه‌سازی طول کمان بین دو نقطه معادل با کمینه‌سازی انتگرال کنش (که بیشتر شبیه انرژی‌ای است که برای رفتن از نقطه اول به نقطه دوم استفاده می‌شود) است. حال، در دو بعد داریم $\iint_{G} tr (d r^{T} d r) d u d v .$ می‌توانیم این را با $\iint_{G} \det (d r^{T} d r) d u d v$ مقایسه کنیم که کنش نامبو-گوتو نامیده می‌شود و شبیه مساحت سطح $\iint_{G} \sqrt{\det (d r^{T} d r)} d u d v$ است که کنش پولیاکوف نیز نامیده می‌شود. طبیعت تمایل به کمینه‌سازی دارد. ذرات آزاد در کوتاه‌ترین مسیرها حرکت می‌کنند و طول کمان را کمینه می‌کنند. مَوپِرتْیوِس می‌گوید که کمینه‌سازی طول یک مسیر معادل با کمینه‌سازی است که اساساً انرژی جنبشی یکپارچه یا مصرف سوخت برای رفتن از $A$ به $B$ است. برای هدف کمینه‌سازی، این برای کنش‌های دو بعدی نیز کار می‌کند. کمینه‌سازی مساحت سطح $\iint_{G} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ در میان تمام سطوحی که دو منحنی یک بعدی را به هم متصل می‌کنند، معادل با کمینه‌سازی $\iint_{G} | r_{u} \times r_{v} |^{2} d u d v$ است. همچنین در ابعاد بالاتر، نامبو-گوتو و پولیاکوف معادل هستند.

تمرین‌ها

تمرین 1. از استوکس برای یافتن $\int_{C} F \cdot d r$ استفاده کنید، که در آن $F (x, y, z) = [12 x^{2} y, 4 x^{3}, 12 x y + e^{(e^{z})}]$ و $C$ منحنی تقاطع پارابولوئید هذلولوی $z = y^{2} - x^{2}$ و استوانه $x^{2} + y^{2} = 1$ است، که در جهت خلاف عقربه‌های ساعت از بالا دیده می‌شود.

تمرین 2. انتگرال شار $\iint_{S} curl (F) \cdot d S$ را ارزیابی کنید، که در آن $F (x, y, z) = [x e^{y^{2}} z^{3} + 2 x y z e^{x^{2} + z}, x + z^{2} e^{x^{2} + z}, y e^{x^{2} + z} + z e^{x}]^{T}$ و $S$ بخشی از بیضی‌گون $x^{2} + y^{2} / 4 + (z + 1)^{2} = 2$ ، $z > 0$ است که جهت‌گیری آن به گونه‌ای است که بردار نرمال به سمت بالا اشاره می‌کند.

تمرین 3. انتگرال خطی $\int_{C} F d r$ را بیابید، که در آن $C$ دایره‌ای به شعاع $3$ در صفحه $x z$ است که از نقطه $(0, 1, 0)$ به صفحه نگاه کرده و در جهت خلاف عقربه‌های ساعت جهت‌گیری شده است، و $F$ میدان برداری $F (x, y, z) = [4 x^{2} z + x^{5}, \cos (e^{y}), - 4 x z^{2} + \sin (\sin (z))]^{T}$ است. از یک سطح مناسب $S$ که $C$ را به عنوان مرز دارد استفاده کنید.

تمرین 4. انتگرال شار $\iint_{S} curl (F) \cdot d S$ را بیابید، که در آن $F (x, y, z) = [y + 2 \cos (π y) e^{2 x} + z^{2}, x^{2} \cos (z π / 2) - π \sin (π y) e^{2 x}, 2 x z + (z - 1)^{22}]^{T}$ و $S$ سطح پارامتری شده توسط $r (s, t) = [(1 - s^{1 / 3}) \cos (t) - 4 s^{2}, (1 - s^{1 / 3}) \sin (t), 5 s]^{T}$ با $0 \leq t \leq 2 π$ ، $0 \leq s \leq 1$ است و جهت‌گیری آن به گونه‌ای است که بردارهای نرمال به سمت بیرون خار اشاره می‌کنند.

**شکل 3.** مسئله 32.4 یک مسئله خاردار است! قطعاً باید این را با شخص دیگری بحث کنید.

تمرین 5. فرض کنید $S$ سطح $x^{22} + y^{8} + z^{6} = 100$ و $F = [e^{e^{22 z}}, 22 x^{2} y z, x - y - \sin (z x)]$ است. توضیح دهید چرا $\iint_{S} curl (F) \cdot d S = 0$ .

پیوست: کاربردها

32.4.5 نواحی همبند ساده و میدان‌های پایستار

یک ناحیه $E$ در $ℝ^{n}$ را همبند ساده می‌نامند اگر همبند باشد و برای هر حلقه بسته $C$ در $E$ یک تغییر شکل پیوسته $C_{s}$ از $C$ درون $G$ وجود داشته باشد به طوری که $C_{0} = C$ و $C_{1} (t) = P$ یک نقطه باشد. برای مثال، $C (t) = [\cos (t), \sin (t), 0]$ را می‌توان در $E = ℝ^{3}$ به یک نقطه با $C_{s} (t) = [(1 - s) \cos (t), (1 - s) \sin (t), 0]$ تغییر شکل داد زیرا $C_{1} (t) = P = [0, 0, 0]$ برای همه $t$ است. هر فضای اقلیدسی $ℝ^{n}$ همبند ساده است. ناحیه $G = {x^{2} + y^{2} > 0} \subset ℝ^{3}$ همبند ساده نیست زیرا دایره $C : r (t) = [\cos (t), \sin (t), 0]$ که به دور محور $z$ می‌پیچد را نمی‌توان درون $G$ به یک نقطه جمع کرد. ناحیه $G = {x^{2} + y^{2} + z^{2} > 0} \subset ℝ^{3}$ همبند ساده است، اما $G = {x^{2} + y^{2} > 0}$ در $ℝ^{2}$ همبند ساده نیست. به یاد داشته باشید که $F$ را غیرچرخشی می‌نامیدند اگر $curl (F) = 0$ در همه جا باشد.

قضیه 3. اگر $F$ روی یک $E$ همبند ساده غیرچرخشی باشد، آنگاه $F = \nabla f$ در $E$ .

اثبات. از آنجایی که $E$ همبند ساده است و $curl (F) = 0$ ، هر حلقه بسته $C$ را می‌توان با یک سطح $S = ⋃_{0 \leq s \leq 1} C_{s}$ که مرز $C$ را دارد پر کرد. قضیه استوکس می‌دهد $\int_{S} F \cdot d r = \iint_{S} curl (F) \cdot d S = 0.$ ویژگی حلقه بسته دلالت بر استقلال از مسیر دارد. یک تابع پتانسیل $f$ را می‌توان با تثبیت یک نقطه پایه $p$ در $E$ به دست آورد، سپس برای هر نقطه دیگر $x$ یک مسیر $C_{p x}$ که از $p$ به $x$ می‌رود تعریف می‌کنیم. تابع پتانسیل $f$ سپس به صورت $f (x) = \int_{C_{p x}} F \cdot d r$ تعریف می‌شود. ◻

32.4.6 دامنه‌های غیر همبند ساده و میدان‌های پایستار

میدان $F (x, y, z) = [- y / (x^{2} + y^{2}), x / (x^{2} + y^{2}), 0]$ در همه جا به جز روی محور $z$ تعریف شده است. دامنه $E$ ، جایی که $F$ تعریف شده است، همبند ساده نیست. هیچ تابع سراسری $f$ که پتانسیل برای $F$ باشد وجود ندارد.

32.4.7 همبندی ساده در توپولوژی

مفهوم «همبندی ساده» در توپولوژی مهم است. اولین مسئله هزاره حل شده، حدس پوانکاره، اکنون یک قضیه است. این می‌گوید که یک خمینه $3$ بعدی که همبند ساده است از نظر توپولوژیکی معادل با $3$ -کره ${x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1} \subset ℝ^{4}$ است. در دو بعد، این نتیجه از مدت‌ها قبل شناخته شده بود، زیرا ساختار خمینه‌های همبند $2$ بعدی شناخته شده است.

الکترومغناطیس

32.4.8 مکسول-فارادی و استوکس: تولید الکتریسیته از مغناطیس

معادله مکسول-فارادی در الکترومغناطیس، میدان الکتریکی $E$ و میدان مغناطیسی $B$ را با معادله دیفرانسیل جزئی $curl (E) =$ $- \frac{d}{d t} B$ مرتبط می‌کند. با توجه به یک سطح $S$ ، انتگرال شار $\iint_{S} B \cdot d S$ شار مغناطیسی $B$ از طریق سطح نامیده می‌شود. اگر معادله مکسول-فارادی را انتگرال بگیریم، می‌بینیم که $\iint_{S} curl (E) \cdot d S$ برابر است با منفی نرخ تغییر شار مغناطیسی $- \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S$ . قضیه استوکس اکنون تضمین می‌کند که $\iint_{S} curl (E) \cdot d S = \int_{C} E \cdot d r$ انتگرال خطی میدان الکتریکی در امتداد مرز است. اما این پتانسیل الکتریکی یا ولتاژ است. می‌بینیم:

ما می‌توانیم با تغییر شار مغناطیسی یک پتانسیل الکتریکی تولید کنیم.

32.4.9 تغییرات شار و تولید الکتریسیته

تغییر شار مغناطیسی می‌تواند به روش‌های مختلفی رخ دهد. ما می‌توانیم با استفاده از جریان متناوب یک میدان مغناطیسی متغیر تولید کنیم. این نحوه کار ترانسفورماتورها است. راه دیگر برای تغییر شار این است که یک سیم را در یک میدان مغناطیسی ثابت بچرخانیم. این اصل دینامو است:

**شکل 4.** دینامو، پیاده‌سازی شده با استفاده از ردیاب پرتو پووری. جریان الکتریکی با حرکت دادن یک سیم در یک میدان مغناطیسی ثابت تولید می‌شود.

32.4.10 قضیه استوکس و شار دوقطبی

میدان برداری $A (x, y, z) = \frac{[- y, x, 0]}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}}$ پتانسیل برداری یک میدان مغناطیسی $B = curl (A)$ نامیده می‌شود. تصویر برخی خطوط جریان این میدان دوقطبی مغناطیسی $B$ را نشان می‌دهد.
مسئله: شار $B$ را از طریق نیم‌کره پایینی $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ، $z \leq 0$ که به سمت پایین جهت‌گیری شده است بیابید.
راه‌حل: از آنجایی که انتگرالی از تاو میدان برداری $A$ داریم، از قضیه استوکس استفاده می‌کنیم و $A (r (t))$ را در امتداد منحنی مرزی $r (t) = [\cos (t), - \sin (t), 0]$ انتگرال می‌گیریم. اول از همه، $A (r (t)) = [\sin (t), \cos (t), 0]$ داریم. سرعت است. انتگرال $\int_{0}^{2 π} - 1 d t = - 2 π$ است.

**شکل 5.** شار میدان مغناطیسی $B$ از طریق یک سطح را می‌توان با استوکس با محاسبه انتگرال خطی پتانسیل برداری $A$ محاسبه کرد.

32.4.11 E و B: معادلات مکسول به طور خلاصه

در اینجا هر چهار معادله مکسول جادویی برای میدان الکتریکی $E$ و میدان مغناطیسی $B$ مربوط به چگالی بار $σ$ و جریان الکتریکی $j$ آورده شده است. ثابت $c$ سرعت نور است. (با استفاده از مختصات مناسب، می‌توان فرض کرد $c = 1$ .) $div (E) = 4 π σ, div (B) = 0, c \cdot curl (E) = - B_{t}, c \cdot curl (B) = E_{t} + 4 π j .$

دینامیک سیالات

32.4.12 قضیه هلمهولتز

اگر $F$ میدان سرعت سیال و $C$ یک منحنی بسته باشد، آنگاه $\int_{C} F \cdot d r$ گردش $F$ در امتداد $C$ نامیده می‌شود. تاو $F$ ورتکس $F$ نامیده می‌شود. یک خط ورتکس یک خط جریان از $curl (F)$ است. با توجه به یک منحنی $C$ ، می‌توانیم هر نقطه در $C$ را در امتداد میدان ورتکس جاری کنیم. این یک لوله ورتکس $S$ تولید می‌کند. شار ورتکس از طریق یک سطح $S$ قدرت ورتکس $F$ از طریق $S$ است. قضیه استوکس دلالت بر قضیه هلمهولتز دارد.

قضیه 4. اگر $C_{s}$ در امتداد $F$ جریان یابد، آنگاه $\int_{C_{s}} F \cdot d r$ ثابت می‌ماند.

اثبات. فرض کنید $C$ یک منحنی بسته و $C_{s} (t)$ منحنی پس از جاری شدن آن با استفاده از یک پارامتر تغییر شکل $s$ باشد. تغییر شکل یک سطح لوله‌ای $S = ⋃_{s = 0}^{t} C_{s}$ تولید می‌کند که مرز $C$ و $C_{t}$ را دارد. از آنجایی که تاو $F$ همیشه مماس بر سطح $S$ است، شار تاو $F$ از طریق $S$ صفر است. قضیه استوکس دلالت دارد که $\int_{C} F \cdot d r - \int_{C_{s}} F \cdot d r = 0.$ علامت منفی به این دلیل است که جهت‌گیری $C_{s}$ با جهت‌گیری $C$ متفاوت است اگر سطح باید در سمت چپ باشد. ◻

**شکل 6.** قضیه هلمهولتز تضمین می‌کند که گردش در امتداد یک لوله شار ثابت است. این یک کاربرد مستقیم قضیه استوکس است: زیرا تاو $F$ مماس بر لوله است، هیچ شاری از طریق لوله وجود ندارد.

آنالیز مختلط

32.4.13 قضیه گرین مختلط و جادوی تحلیلی

یک کاربرد قضیه گرین زمانی به دست می‌آید که در صفحه مختلط $ℂ$ انتگرال‌گیری کنیم. با فرض تابع $f (z) = u (z) + i v (z)$ از $ℂ \to ℂ$ و یک مسیر بسته $C$ که با $r (t) = x (t) + i y (t)$ در $ℂ$ پارامتری شده است، انتگرال مختلط را به صورت تعریف می‌کنیم. این عبارت برابر است با این دو انتگرال خطی هستند. بخش حقیقی $F =$ $[u, - v]$ و بخش موهومی $F = [v, u]$ است. فرض کنید $C$ ناحیه $G$ را محدود می‌کند، آن‌گاه قضیه گرین می‌گوید که انتگرال اول برابر است با $\iint_{G} (- v_{x} - u_{y}) d x d y$ و انتگرال دوم برابر است با $\iint_{G} (u_{x} - v_{y}) d x d y$ . اکنون مشخص می‌شود که برای توابع خوش‌رفتار مانند چندجمله‌ای‌ها، معادلات دیفرانسیل کوشی-ریمان برقرار هستند، به طوری که این انتگرال‌های خطی صفر می‌شوند. بنابراین داریم:

قضیه ۵. اگر $f$ یک چندجمله‌ای و $C$ یک حلقه بسته باشد، آن‌گاه $\int_{C} f (z) d z = 0$ .

ریاضی‌دانان می‌گویند: "میدان را از $ℝ^{3}$ به $ℝ^{2}$ در امتداد پارامتری‌سازی بازگرداندیم".↩︎
من "فرمول مهم" را از اندرو کاتن-کلی در سال ۲۰۰۹ یاد گرفتم: http://www.math.harvard.edu/archive/21a_fall_09/exhibits/stokesgreen ↩︎