قانون زنجیرهای

فهرست مطالب

16.1 مقدمه
16.2 سخنرانی
- 16.2.1 قاعده زنجیره‌ای چندمتغیره
- 16.2.2 توابع اسکالر و گرادیان
16.3 مثال‌ها
16.4 تصاویر

16.1 مقدمه

16.1.1 ساخت توابع پیچیده از توابع پایه

در حسابان، می‌توانیم از توابع پایه، توابع عمومی‌تری بسازیم. یک امکان، جمع توابع است مانند $f (x) + g (x) = x^{2} + \sin (x)$ . امکان دیگر، ضرب توابع است مانند $f (x) g (x) = x^{2} \sin (x)$ . امکان سوم، ترکیب توابع است مانند $f \circ g (x) = f (g (x)) = \sin^{2} (x)$ . ترکیب توابع غیرجابجایی است: $f \circ g \neq g \circ f$ . در واقع، داریم $g \circ f (x) = \sin (x^{2})$ که کاملاً با $f \circ g (x) = \sin^{2} (x)$ متفاوت است.

**شکل ۱.** $f : ℝ^{p} \to ℝ^{n}$ و $g : ℝ^{m} \to ℝ^{p}$ می‌توانند ترکیب شوند به $f (g) : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ .

16.1.2 قاعده زنجیره‌ای: از تک‌متغیره به ابعاد بالاتر

چگونه می‌توانیم نرخ تغییر یک تابع ترکیبی را بر حسب توابع پایه‌ای که از آن ساخته شده است بیان کنیم؟ برای مجموع دو تابع، قاعده جمع را داریم، برای ضرب، قاعده ضرب را داریم. معمولاً فقط می‌نویسیم یا و همیشه آرگومان را نمی‌نویسیم. همان‌طور که از حسابان تک‌متغیره می‌دانید، مشتق تابع ترکیبی با قاعده زنجیره‌ای داده می‌شود. این است . با جزئیات بیشتر با آرگومان، می‌توانیم بنویسیم . ما این را در اینجا به ابعاد بالاتر تعمیم می‌دهیم. به جای $\frac{d}{d x} f$ فقط می‌نویسیم $d f$ . این ماتریس ژاکوبی است که می‌شناسیم. اکنون، همان قاعده قبلی برقرار است $d f (g (x)) = d f (g (x)) d g (x)$ و این قاعده زنجیره‌ای در ابعاد بالاتر نامیده می‌شود. در سمت راست، حاصل‌ضرب ماتریسی دو ماتریس را داریم.

16.1.3 ابعاد و قاعده زنجیره‌ای

ببینیم چرا این از نظر ابعاد معقول است: $g : ℝ^{m} \to ℝ^{p}$ و $f :$ $ℝ^{p} \to ℝ^{n}$ ، آنگاه $d g (x) \in M (p, m)$ و $d f (g (x)) \in M (n, p)$ و $d f (g (x)) d g (x) \in M (n, m)$ که همان نوع ماتریسی است که $d (f \circ g)$ دارد زیرا $f \circ g (x)$ از $ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ نگاشت می‌کند، بنابراین همچنین $d (f \circ g) (x) \in M (n, m)$ . نام قاعده زنجیره‌ای از آنجا می‌آید که با توابعی سروکار دارد که به هم زنجیر شده‌اند.

16.2 سخنرانی

16.2.1 قاعده زنجیره‌ای چندمتغیره

با داشتن یک تابع مشتق‌پذیر $r : ℝ^{m} \to ℝ^{p}$ ، مشتق آن در $x$ ماتریس ژاکوبی $d r (x) \in M (p, m)$ است. اگر $f : ℝ^{p} \to ℝ^{n}$ تابع دیگری با $d f (y) \in M (n, p)$ باشد، می‌توانیم آن‌ها را ترکیب کرده و $f \circ r (x) = f (r (x)) : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ را تشکیل دهیم. ماتریس‌های $d f (y) \in$ $M (n, p)$ و $d r (x) \in M (p, m)$ در یک نقطه به حاصل‌ضرب ماتریسی $d f d r$ ترکیب می‌شوند. این ماتریس در $M (n, m)$ است. قاعده زنجیره‌ای چندمتغیره عبارت است از:

قضیه ۱. $d (f \circ r) (x) = d f (r (x)) d r (x)$ .

16.2.2 توابع اسکالر و گرادیان

برای $m = n = p = 1$ ، حالت حسابان تک‌متغیره، داریم و . به طور کلی، $d f$ اکنون یک ماتریس است نه یک عدد. با بررسی یک درایه ماتریس، به حالت $n = m = 1$ تقلیل می‌یابیم. در آن حالت، $f : ℝ^{p} \to ℝ$ یک تابع اسکالر است. در حالی که $d f$ یک بردار سطری است، ما بردار ستونی را تعریف می‌کنیم $\nabla f = d f^{T} = [f_{x_{1}}, f_{x_{2}}, \dots f_{x_{p}}]^{T} .$ اگر $r : ℝ \to ℝ^{p}$ یک خم باشد، می‌نویسیم به جای $d r (t)$ . نماد $\nabla$ همچنین "نابلا" خوانده می‌شود.¹ حالت خاص $n = m = 1$ عبارت است از:

قضیه ۲. .

اثبات. $\frac{d}{d t} f (x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{p} (t))$ حد $h \to 0$ از است که (قاعده زنجیره‌ای $1$ بعدی) در حد $h \to 0$ مجموع می‌شود.

اثبات حالت کلی: فرض کنید $h = f \circ r$ . درایه $i j$ ماتریس ژاکوبی $d h (x)$ برابر است با $d h_{i j} (x) = \partial_{x_{j}} h_{i} (x) = \partial_{x_{j}} f_{i} (r (x))$ . حالت درایه $i j$ با $t = x_{j}$ و $h_{i} = f$ به حالتی تقلیل می‌یابد که $r (t)$ یک خم و $f (x)$ یک تابع اسکالر است. این همان حالتی است که قبلاً اثبات کرده‌ایم. ◻

16.3 مثال‌ها

مثال ۱. فرض کنید یک کفشدوزک روی دایره‌ای راه می‌رود $r (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ و $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ دما در موقعیت $(x, y)$ است، آنگاه $f (r (t))$ نرخ تغییر دما است. می‌توانیم بنویسیم $f (r (t)) = \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t) = \cos (2 t) .$ اکنون، $d / d t f (r (t)) = - 2 \sin (2 t)$ . گرادیان $f$ و سرعت عبارتند از اکنون

**شکل ۲.** اگر $f (x, y)$ یک ارتفاع باشد، نرخ تغییر $d / d t f (r (t))$ افزایش ارتفاعی است که حشره در واحد زمان بالا می‌رود. این بستگی دارد به اینکه حشره با چه سرعتی راه می‌رود و در کدام جهت نسبت به گرادیان $\nabla f$ حرکت می‌کند.

16.4 تصاویر

16.4.1 توان از پتانسیل: یک ارتباط قاعده زنجیره‌ای

حالت $n = m = 1$ بسیار مهم است. قاعده زنجیره‌ای $d / d t f (r (t)) =$ می‌گوید که نرخ تغییر انرژی پتانسیل $f (r (t))$ در موقعیت $r (t)$ برابر است با ضرب نقطه‌ای نیرو $F = \nabla f (r (t))$ در آن نقطه و سرعتی که با آن حرکت می‌کنیم. سمت راست توان $=$ نیرو ضربدر سرعت است. ما بعداً از این در قضیه اساسی انتگرال‌های خطی استفاده خواهیم کرد.

16.4.2 آشوب از طریق مشتقات: نمای لیاپانوف و آنتروپی در نگاشت‌های تکراری

اگر $f, g : ℝ^{m} \to ℝ^{m}$ ، آنگاه $f \circ g$ دوباره یک نگاشت از $ℝ^{m}$ به $ℝ^{n}$ است. همچنین می‌توانیم یک نگاشت را تکرار کنیم مانند $x \to f (x) \to f (f (x)) \to f (f (f (x))) \dots$ مشتق $d f^{n} (x)$ طبق قاعده زنجیره‌ای حاصل‌ضرب $d f (f^{n - 1} (x)) \dots d f (f (x)) d f (x)$ از ماتریس‌های ژاکوبی است. عدد $λ (x) = \underset{n \to \infty}{lim sup} (1 / n) \log (| d f^{n} (x) |)$ نمای لیاپانوف نگاشت $f$ در نقطه $x$ نامیده می‌شود. این مقدار آشوب، یعنی "وابستگی حساس به شرایط اولیه" $f$ را اندازه‌گیری می‌کند. تخمین این اعداد از نظر ریاضی دشوار است. حتی برای مثال‌های ساده‌ای مانند نگاشت چیریکوف $f ([x, y]) = [2 x - y + c \sin (x), x],$ می‌توان آنتروپی مثبت $S (c)$ را اندازه‌گیری کرد. یک حدس از سینایی می‌گوید که آنتروپی نگاشت برای $c$ بزرگ مثبت است. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهند که این آنتروپی $S (c) = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} λ (x, y) d x d y / (4 π^{2})$ در شرط $S (x) \geq \log (c / 2)$ صدق می‌کند. این حدس همچنان باز است.²

16.4.3 معادلات همیلتون و پایستگی انرژی

اگر $H (x, y)$ تابعی به نام همیلتونی باشد و $- H_{x} (x, y)$ ، آنگاه $d / d t H (x (t), y (t)) = 0$ . این می‌تواند به عنوان پایستگی انرژی تفسیر شود. می‌بینیم که یک معادله دیفرانسیل همیلتونی همیشه انرژی را حفظ می‌کند. برای آونگ، $H (x, y) = y^{2} / 2 - \cos (x)$ ، داریم یا .

**شکل ۳.** نگاشت $f ([x, y]) = [x^{2} - x / 2 - y, x]$ یک **نگاشت هنون** است. ما چند مدار را می‌بینیم. نگاشت $f ([x, y]) = [2 x - y + 4 \sin (x), x]$ در سمت راست در اولین امتحان ساعتی ظاهر شد. چنبره $𝕋^{2} = ℝ^{2} / (2 π ℤ)^{2}$ با یک "دریای تصادفی" آبی پر شده است که شامل "جزایر پایدار" قرمز است.

16.4.4 قاعده زنجیره‌ای معکوس‌ها را باز می‌کند

قاعده زنجیره‌ای برای به‌دست آوردن مشتق توابع معکوس مفید است. مانند که سپس نتیجه می‌دهد

16.4.5 مشتق‌گیری ضمنی: یافتن شیب مرموز

فرض کنید $f (x, y) = x^{3} y + x^{5} y^{4} - 2 - \sin (x - y) = 0$ یک خم باشد. نمی‌توانیم $y$ را حل کنیم. با این حال، می‌توانیم فرض کنیم $f (x, y (x)) = 0$ . مشتق‌گیری با استفاده از قاعده زنجیره‌ای نتیجه می‌دهد بنابراین در مثال بالا، نقطه $(x, y) = (1, 1)$ روی خم قرار دارد. اکنون $g_{x} (x, y) =$ $3 + 5 - 1 = 7$ و $g_{y} (x, y) = 1 + 4 + 1 = 6$ . بنابراین، . این مشتق‌گیری ضمنی نامیده می‌شود. می‌توانیم با آن مشتق تابعی را که شناخته شده نبود محاسبه کنیم.

16.4.6 راه‌حل‌های تضمینی: قضیه تابع ضمنی

قضیه تابع ضمنی تضمین می‌کند که یک تابع ضمنی مشتق‌پذیر $g (x)$ در نزدیکی یک ریشه $(a, b)$ از یک تابع مشتق‌پذیر $f (x, y)$ وجود دارد.

قضیه ۳. اگر $f (a, b) = 0$ ، $f_{y} (a, b) \neq 0$ آنگاه یک $c > 0$ و یک تابع $g \in C^{1} ([b - c, b + c])$ وجود دارد به طوری که $f (x, g (x)) = 0$ .

برهان. بگذارید $c$ چنان کوچک باشد که برای $x \in [a - c, a + c]$ ثابت، تابع $y \in [b - c, b + c] \to h (y) = f (x, y)$ دارای ویژگی $h (b - c) < 0$ و $h (b + c) > 0$ و در $[b - c, b + c]$ باشد. قضیه مقدار میانی برای $h$ اکنون یک ریشه یکتای $z = g (x)$ از $h$ را در نزدیکی $b$ تضمین می‌کند. فرمول قاعده زنجیره‌ای بالا سپس تضمین می‌کند که برای $a - c < x < a + c$ ، خارج قسمت تفاضلی $[g (x + h) - g (x)] / h$ که برای $g$ نوشته شده است، حدی برابر با $- f_{x} (x, g (x)) / f_{y} (x, g (x))$ دارد. ◻

پی‌نوشت: ما می‌توانیم ریشه $h$ را با اعمال گام‌های نیوتن به دست آوریم. تیلور (که در کلاس بعدی دیده می‌شود) نشان می‌دهد که خطا در هر گام به توان دو می‌رسد. گام نیوتن $T (y) = y - d h (y)^{- 1} h (y)$ همچنین در ابعاد دلخواه کار می‌کند. می‌توان قضیه تابع ضمنی را صرفاً با اثبات اینکه $Id - T = d h^{- 1} h$ یک انقباض است ثابت کرد و سپس از قضیه نقطه ثابت باناخ برای به دست آوردن نقطه ثابت $Id - T$ که ریشه $h$ است استفاده نمود.

**شکل ۵.** اگر نگاشت $f ([x, y]) = [x^{2} - x^{4} - y, x]$ را بارها و بارها اعمال کرده و نقاط را رسم کنیم، یک **مدار** به دست می‌آوریم. چنین سیستم‌های دینامیکی ساده‌ای عمدتاً درک نشده‌اند. کدام نقاط به بی‌نهایت فرار نمی‌کنند؟ مرز این مجموعه چیست. اثبات اینکه ناحیه‌هایی وجود دارند که محدود می‌مانند دشوار است و نیازمند "قضایای تابع ضمنی سخت" می‌باشد. روش نیوتن اجازه می‌دهد تا در اثبات این امر به چنگ‌اندازی دست یابیم، جایی که گام نیوتن بر فضاهایی از توابع اعمال می‌شود. برخی از دشوارترین تحلیل‌هایی که بشر برای مقابله با مسائل ریاضی ابداع کرده است در این نگاشت به ظاهر ساده $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ به کار می‌آید.

واحدهای ۱۶ و ۱۷ با یکدیگر در روز چهارشنبه تدریس می‌شوند. تمامی تکالیف در واحد ۱۷ قرار دارد.

ریشه‌شناسی می‌گوید که این نماد الهام‌گرفته از یک چنگ مصری یا فنیقی است.↩︎
برای تولید مدارها، به http://www.math.harvard.edu/~knill/technology/chirikov/ مراجعه کنید.↩︎