طول قوس

فهرست مطالب

8.1 مقدمه
- 8.1.1 مقدمه‌ای بر طول قوس
- 8.1.2 مبانی حسابان طول قوس
8.2 سخنرانی
- 8.2.1 منحنی‌های پیوسته و یکتایی پارامتری‌سازی
8.3 مثال‌ها
8.4 تصاویر
تمرین‌ها

8.1 مقدمه

**شکل ۱.** یک منحنی گره‌ای نسبتاً پیچیده $r (t)$ . با وجود پیچیدگی آن، می‌توانیم طول منحنی را به‌صورت عددی با انتگرال‌گیری از روی بازه پارامتر محاسبه کنیم. در این حالت، قطر منحنی $14$ و طول آن در حال حاضر $1243$ است. در حالی که یک مارپیچ دوگانه DNA به عرض $10$ نانومتر است، طول کل DNA انسان حدود $2$ متر می‌باشد.

8.1.1 مقدمه‌ای بر طول قوس

در این سخنرانی واقعاً وارد حسابان می‌شویم زیرا هم از مشتق‌گیری و هم از انتگرال‌گیری برای محاسبه طول منحنی‌ها استفاده می‌کنیم. این واحد همچنین نقطه خوبی برای مرور برخی تکنیک‌های انتگرال‌گیری است. نتیجه نظری اصلی این است که اگر به‌صورت تکه‌ای پیوسته باشد، آنگاه می‌توانیم طول را محاسبه کنیم. از نظر ریاضی خواهیم دید که انتگرال ریمان $\int_{a}^{b} f (t) d t$ برای هر تابع پیوسته وجود دارد.

8.1.2 مبانی حسابان طول قوس

در دوره‌های حسابان تک‌متغیره، معمولاً فرض می‌شود که $f$ مشتق‌پذیر است که در این صورت اثبات بسیار ساده‌تر است. بنابراین، به نوعی می‌خواهیم در اینجا نشان دهیم که حسابان به آنالیز حقیقی منجر می‌شود که به مبانی هسته ریاضیات نیز نزدیک است. هم هنگام محاسبه مشتق‌ها و هم انتگرال‌ها از مفهوم «حد» استفاده می‌کنیم. وقتی طول یک منحنی را محاسبه می‌کنیم، آن را به قطعات کوچک تقسیم کرده و طول این قطعات را جمع می‌زنیم. اینکه این فرآیند یک نتیجه متناهی محدود می‌دهد به هیچ وجه بدیهی نیست. اگر به حرکت یک ذره گرده در یک سیال نگاه کنیم و طول را با ردیابی بازه‌های زمانی کوچک‌تر و کوچک‌تر محاسبه کنیم، طول در واقع به بی‌نهایت واگرا می‌شود.

**شکل ۲.** یک اسکن میکروسکوپ الکترونی رنگی از دانه‌های گرده گیاهان مختلف، مانند آفتابگردان. این تصویر توسط تأسیسات میکروسکوپ الکترونی دارتموث تهیه شده و در مالکیت عمومی قرار گرفته است. به هر حال، این ذرات الهام‌بخش سطوح نیز هستند.

8.2 سخنرانی

8.2.1 منحنی‌های پیوسته و یکتایی پارامتری‌سازی

در این سخنرانی فرض می‌کنیم که منحنی‌ها به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر هستند، به این معنی که سرعت پیوسته است. می‌نویسیم $r \in C^{1} ([a, b], ℝ^{d})$ . با داشتن یک منحنی پارامتری‌شده $r (t)$ تعریف‌شده روی بازه $I = [a, b]$ ، طول قوس آن به‌صورت زیر تعریف می‌شود: برای انتگرال به‌عنوان lim sup تعریف می‌شود (هنوز نمی‌دانیم که lim وجود دارد یا خیر)، $\int_{a}^{b} f (t) d t = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{S_{n}}{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{1}{n} \sum_{a \leq \frac{k}{n} < b} f (\frac{k}{n})$ این انتگرال ارشمیدس یک انتگرال ریمان خاص است. این انتگرال در شرط زیر صدق می‌کند: $min (f) \leq (b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f (t) d t \leq max (f) .$ قضیه مقدار میانی ایجاب می‌کند که $y \in [a, b]$ وجود دارد به‌طوری‌که: $f (y) = (b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f (t) d t .$ کمینه و بیشینه با قضیه مقدار کرانه‌ای بولتزانو وجود دارند. مرتبط با بولتزانو، قضیه هاینه-کانتور تضمین می‌کند که یک تابع پیوسته $f$ روی یک بازه بسته متناهی $[a, b]$ به‌طور یکنواخت پیوسته است: تابعی $M (t)$ وجود دارد که در شرط $lim_{t \to 0} M (t) = 0$ صدق می‌کند و برای هر $x, y \in [a, b]$ داریم $| f (x) - f (y) | \leq M | x - y |$ . شرط قوی‌تر، پیوستگی لیپشیتز است که $M (t) = M \cdot t$ برای یک ثابت $M$ می‌باشد. اثبات بعدی به‌طور کلی نشان می‌دهد که توابع پیوسته انتگرال‌پذیر ریمان هستند؛ lim sup در واقع یک حد است:

قضیه ۱. طول قوس وجود دارد و مستقل از پارامتری‌سازی است.

اثبات.

برای دیدن استقلال از پارامتر، یک تغییر زمان $ϕ (t)$ با یک تابع هموار یکنوا $ϕ : [a, b] \to [ϕ (a), ϕ (b)]$ در نظر بگیرید. اگر $r (t)$ روی $[ϕ (a), ϕ (b)]$ و $R (t) = r (ϕ (t))$ روی $[a, b]$ دو پارامتری‌سازی باشند و آنگاه با جایگزینی، طول قوس $r (t)$ برابر است با که همان $\int_{a}^{b} F (t) d t$ ، یعنی طول قوس $R (t)$ است.
از (i) می‌توانیم فرض کنیم $[a, b] = [0, 1]$ . با پیوستگی یکنواخت، $M_{n} \to 0$ وجود دارند به‌طوری‌که اگر $| y - x | \leq 1 / n$ ، آنگاه $| f (y) - f (x) | \leq M_{n}$ . قضیه مقدار میانی برای هر $I_{k} = [x_{k}, x_{k + 1}] = [k / n, (k + 1) / n] \subset [0, 1],$ یک $y_{k} \in I_{k}$ می‌دهد به‌طوری‌که $\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (x) d x = f (y_{k}) / n$ . اکنون، $\int_{0}^{1} f (x) d x = (1 / n) \sum_{k} f (y_{k})$ و

◻

8.3 مثال‌ها

مثال ۱. طول قوس دایره $r (t) = [R \cos (t), R \sin (t)]$ با $t \in [0, 2 π]$ برابر است با

مثال ۲. طول قوس سهمی $r (t) = [t, t^{2} / 2]$ با $t \in [- 1, 1]$ برابر است با $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ . این انتگرال را در کلاس انجام خواهیم داد. نتیجه $\sqrt{2} + arcsinh (1)$ است.

مثال ۳. طول قوس منحنی $r (t) = [\log (t), \sqrt{2} t, t^{2} / 2]$ برای $t \in [1, 2]$ . برابر است با $\int_{1}^{2} \sqrt{1 / t^{2} + t^{2} + 2} d t = \int_{1}^{2} (t + 1 / t) d t = \log (2) + 3 / 2.$

8.4 تصاویر

**شکل ۳.** یک تقریب چندضلعی از یک منحنی، یک تقریب جمع ریمان از انتگرال طول را تولید می‌کند.

**شکل ۴.** یک تقریب جمع ریمان از یک تابع پیوسته در حد، «مساحت زیر منحنی» را تولید می‌کند.

**شکل ۵.** حرکت براونی مسیرهای پیوسته‌ای تولید می‌کند که مشتق‌پذیر نیستند. انتگرال طول قوس وجود ندارد.

تمرین‌ها

تمرین ۱. طول قوس منحنی $r (t) = [12 t, 8 t^{3 / 2}, 3 t^{2}],$ را بیابید که $t \in [0, 7]$ .

تمرین ۲. طول قوس چرخ‌زاد $r (t) = [t - \sin (t), 1 + \cos (t)]$ را از $0$ تا $2 π$ بیابید. چرخ‌زاد وارونه راه‌حل مشهور مسئله براخیستوکرون است، منحنی که یک توپ در طول آن سریع‌ترین فرود را دارد.

راهنمایی. ممکن است بخواهید از فرمول زاویه دوگانه $2 - 2 \cos (t) = 4 \sin^{2} (\frac{t}{2})$ استفاده کنید.

تمرین ۳. طول قوس گره $r (t) = [\sin (4 t), \sin (3 t), \cos (5 t), \cos (7 t)]$ را از $t = 0$ تا $t = 2 π$ به‌صورت عددی محاسبه کنید. با رسم تنها مختصات اول و استفاده از رنگ به‌عنوان مختصه چهارم، می‌توان دید که هیچ گره غیربدیهی در $ℝ^{4}$ وجود ندارد. شما نمی‌توانید بند کفشتان را در $ℝ^{4}$ ببندید!

تمرین ۴. رابطه بین و چیست؟ تفسیری از هر دو طرف ارائه دهید.

تمرین ۵. طول قوس زنجیره‌ای¹ $r (t) = [t, \cosh (t)]$ را بیابید، که در آن $\cosh (t) = (e^{t} + e^{- t}) / 2$ کسینوس هذلولوی است و $t \in [- 1, 1]$ .

راهنمایی. می‌توانید از اتحاد $\cosh^{2} (t) - \sinh^{2} (t) = 1$ استفاده کنید، که در آن $\sinh (t) =$ $(e^{t} - e^{- t}) / 2$ سینوس هذلولوی است. داریم ، .

گالیله اولین کسی بود که زنجیره‌ای را بررسی کرد. این منحنی‌ای است که یک طناب سنگین آویزان آزاد توصیف می‌کند، اگر نقاط انتهایی ارتفاع یکسانی داشته باشند. گالیله منحنی را با یک سهمی اشتباه گرفت. یوهانس برنولی در سال ۱۶۹۱ بود که شکل واقعی آن را پس از رقابتی شامل هویگنس، لایبنیتس و دو برنولی به‌دست آورد. نام «کاتناریان» (=منحنی زنجیره‌ای) اولین بار توسط هویگنس در نامه‌ای به لایبنیتس در سال ۱۶۹۰ به‌کار رفت.↩︎