شهود

9.1 مقدمه

9.1.1 جوهر شهود

شهود مفهومی مرموز در روانشناسی است. از یک مکتب روانشناسی متفاوت بپرسید یا به فرهنگ دیگری بروید و شهود به روش‌های متفاوتی درک خواهد شد. گاهی حتی به معنویت یا دین مرتبط می‌شود. در ریاضیات، شهود خوب معمولاً به عنوان توانایی "کسب بینش" یا "دیدن ساختارها" در نظر گرفته می‌شود، گاهی توانایی "خلاق بودن". یک تلاش برای تعریف، "درک بدون استدلال آگاهانه" است. شهود همچنین می‌تواند خطرناک باشد. برای مثال، یک استدلال شهودی یک اثبات نیست، حتی اگر ممکن است در نهایت به یک اثبات دقیق منجر شود. متفکران بسیار شهودی گاهی خودفریب نیز هستند. این موضوع با وجود اثبات‌های بسیار شهودی از مسائل باز بزرگ نشان داده می‌شود، اما معمولاً به سادگی اشتباه هستند.

9.1.2 شهود ریاضی

پس شهود چیست؟ رنه دکارت سعی کرد آن را در رساله خود "قوانین هدایت ذهن" که بین 1619 و 1628 نوشته شده است، فرموله کند. قانون 12 در آن سند می‌گوید: "سرانجام باید از تمام کمک‌های فهم، تخیل، حس و حافظه استفاده کنیم، ابتدا به منظور داشتن یک شهود متمایز از گزاره‌های ساده". بنابراین برای دکارت، شهود مؤلفه‌های مختلفی از جمله فهم، تخیل، حس و حافظه دارد. این یک مفهوم نسبتاً مدرن است. یک دانشمند کامپیوتر می‌تواند استدلال کند که کامپیوترها از قبل می‌توانند شهودی باشند: اثبات فقط با شواهد است، اما برای مثال در شطرنج دیده‌ایم که کامپیوترها از هر بازیکن شطرنج انسانی پیشی گرفته‌اند. آخرین تلاش‌های قهرمانان جهان شطرنج برای برنده شدن در برابر یک ماشین شکست خورد. از آن زمان، مسابقات شطرنج انسان-ماشین همگی انواعی با امتیاز هستند که در آن انسان یک مزیت قابل توجه دریافت می‌کند. و شطرنج بازی‌ای است که شهود در آن مهم است.¹

9.2 سمینار

9.2.1 شهود در منظر تاریخی

با وجود تمام آنچه در مقدمه گفته شد، در ریاضیات مهم است که درباره اشیاء، تعاریف، قضایا و اثبات‌ها "شهود" به دست آوریم. یک راه برای دیدن شهود این است که آن را به عنوان یک ابزار حافظه‌ای ببینیم که امکان درک چیزها را به گونه‌ای فراهم می‌کند که بهتر به خاطر سپرده شوند. همچنین به ما نکاتی می‌دهد که کجا باید مراقب باشیم. نتایج غیرشهودی نیز می‌توانند در زمینه‌های دیگر به شهود منجر شوند. مثالی از نظریه احتمال، نتیجه غیرشهودی است که اگر کلاسی با $23$ دانشجو داشته باشید، احتمال اینکه دو نفر تولد یکسانی داشته باشند بیش از نصف است. این پارادوکس تولد است. در واقع، احتمال اینکه هیچ‌کدام تولد یکسانی نداشته باشند برابر است با $$(365/365)(364/365)\cdots (343/365)=0.4927.$$ حال، وقتی این را دیدید، درباره تصادفات شهود به دست آورده‌اید. آنها خیلی بیشتر از آنچه ما معقول می‌دانیم اتفاق می‌افتند. اکنون می‌توانیم از این به نفع خود استفاده کنیم و الگوریتم‌هایی طراحی کنیم که اگر دو رویداد برخورد کنند، نتیجه‌ای به ما بدهند. این برای مثال در رمزنگاری استفاده شده است. می‌توانیم الگوریتم‌هایی طراحی کنیم که می‌توانند یک قفل را خیلی سریع‌تر از آنچه ممکن می‌دانیم باز کنند.²

9.2.2 نقش شهود در ریاضیات

حال، به جای گفتن چگونگی به دست آوردن شهود، شاید بهتر است به مواردی نگاه کنیم که شهود شکست می‌خورد. سپس این می‌تواند معکوس شود و به ما اجازه دهد درک شهودی خود را ارتقا دهیم. ما دام‌های شهود را با نشان دادن اینکه مفاهیم شهودی می‌توانند گمراه‌کننده باشند، نشان خواهیم داد. می‌توانیم "قضایای نادرست" را بیان کنیم که باور داریم درست هستند اما نادرستند. با مفهوم "پیوستگی" شروع می‌کنیم که یک تعریف شهودی می‌گوید: "می‌توانیم نمودار یک تابع پیوسته را بدون بلند کردن قلم رسم کنیم". البته، نمی‌توانیم با این تعریف برای اثبات قضایا کار کنیم. با این حال، یک مفهوم شهودی خوب است و نوعی "درک اولیه" را فراهم می‌کند. اگر می‌خواهید درک خود را از پیوستگی آزمایش کنید، از خود بپرسید آیا تابع $f(x)=x\sin (1/x)$ در همه جا پیوسته است یا خیر.

9.2.3 ماهیت گمراه‌کننده شهود

با شروع از کوشی و با فشار شدید وایرشتراس، پیوستگی با استفاده از تعریف بدنام $ϵ-\delta$ به طور دقیق تعریف می‌شود: $f$ در $x$ پیوسته است، اگر برای هر یک وجود داشته باشد به طوری که اگر $|x-y|\le \delta$، آنگاه $|f(x)-f(y)|\le ϵ$. با استفاده از نمادهای کمی‌ساز ریاضی فانتزی‌تر $\mathrm{\forall }$ (برای همه) و $\mathrm{\exists }$ (وجود دارد) و $\Rightarrow$ (نتیجه می‌دهد) و $ϵ$ (عضوی از) می‌توانید دوستان خود را تحت تأثیر قرار دهید (و خوانندگان و نمره‌دهندگان را آزار دهید) با نوشتن این واقعیت که این تعریف اصلاً شهودی نیست و بیشتر دانشجویان این "اپسیلون‌تیک" را فقط از طریق ارعاب یاد می‌گیرند، با تغییر زیر توسط اد نلسون³ نشان داده می‌شود. ما آن را اولین تمرین خود قرار می‌دهیم:

9.2.4 تعریف پیوستگی فراتر از شهود

در سخنرانی دوشنبه دیدیم که چگونه یک تقریب چندضلعی از یک منحنی امکان محاسبه طول کمان یک منحنی را فراهم می‌کند. در اینجا اولین "ضد-قضیه" است. وظیفه شما این است که بفهمید چه اشکالی دارد.

9.2.5 به چالش کشیدن درک شهودی ما

ما محیط یک دایره را با تقریب چندضلعی محاسبه می‌کنیم. عبارت زیر از این شهود استفاده می‌کند که اگر یک چندضلعی به یک منحنی نزدیک باشد، طول آن به منحنی نزدیک است:

9.2.6 محیط دایره بازبینی شده

این منجر به ضد-قضیه زیر می‌شود:⁴ یک منحنی صفحه‌ای پیوسته تابعی است به صورت $t\to r(t)=[x(t),y(t)]$، که در آن هر دو تابع $x(t),y(t)$ توابع پیوسته هستند.

9.2.7 طول کمان منحنی‌های پیوسته

همچنین می‌توانیم فکر کنیم که طول کمان یک منحنی پیوسته متناهی است.

9.2.8 به چالش کشیدن منحنی‌های پیوسته

اگر یک منحنی $t\to r(t)=[x(t),y(t)]$ این خاصیت را داشته باشد که $x(t)$ و $y(t)$ کراندار بمانند و ناپیوستگی پرشی نداشته باشند، فکر می‌کنیم که منحنی پیوسته است.

9.2.9 شانه شیطان

یک مثال نقض شانه شیطان است: $r(t)=[t,\sin (1/t)]$ برای $t\in [0,1]$. این ناپیوستگی پرشی ندارد و کراندار است. تابع در $t=0$ تعریف نشده است، اما می‌توانیم $r(0)=[0,0]$ را تعریف کنیم تا در هر جای $[0,1]$ تعریف شده باشد.

9.2.10 پیوستگی و مشتق‌پذیری

در نهایت، می‌توانیم فکر کنیم:

9.2.11 تابع وایرشتراس

یک مثال نقض توسط وایرشتراس ارائه شد. به آن تابع وایرشتراس می‌گویند. جی.اچ. هاردی در سال 1916 ثابت کرد که تابع $$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-n}\cos \left(a^{n}x\right)$$ هیچ نقطه مشتق‌پذیری ندارد اگر .

9.2.12 چالش قضیه مورلی

بیایید به قضیه مورلی در هندسه صفحه‌ای نگاه کنیم. این قضیه می‌گوید که در هر مثلث، نقاط تقاطع سه‌بخش‌های زاویه یک مثلث متساوی‌الاضلاع را تشکیل می‌دهند. آیا می‌توانید اثباتی پیدا کنید؟ تلاش نکنید. بدون جستجوی آن، یافتن یک اثبات شهودی بسیار بسیار سخت است.

9.2.13 پیوستگی $x\sin (1/x)$: نگاهی دقیق‌تر

در نهایت به سؤال اولیه بازمی‌گردیم که آیا تابع $$f(x)=x\sin (1/x)$$ پیوسته است. پاسخ بله است. تابع $g(x)=\sin (1/x)$ پیوسته نیست زیرا می‌توانیم $x=1/(\pi /2+2k\pi )$ را به طور دلخواه کوچک پیدا کنیم که برای آن تابع $g(x)=1$ است و $x=1/(2k\pi -\pi /2)$ را به طور دلخواه کوچک پیدا کنیم که برای آن تابع $g(x)=-1$ است. با این حال، برای تابع $f(x)$ می‌توانیم بگوییم که $|f(x)|\le |x|$. بنابراین، اگر $x$ کوچک باشد، $|f(x)|$ نیز کوچک است. اگر می‌خواهید شهود خود را با عبارات رسمی بررسی کنید: با توجه به هر می‌توانیم یک (یعنی $\delta =ϵ$) پیدا کنیم به طوری که اگر $|x|\le \delta$ آنگاه $|f(x)|\le ϵ$.

تمرینات