سطوح

فهرست مطالب

۵.۱ مقدمه
- ۵.۱.۱ درک سطوح
- ۵.۱.۲ توصیف سطوح
۵.۲ سخنرانی
۵.۳ مثال‌ها
تمرین‌ها

۵.۱ مقدمه

**شکل ۱.** بطری کلاین سطحی در فضای سه‌بعدی است. با این حال نمی‌توان آن را به‌عنوان یک سطح تراز یک تابع در نظر گرفت، زیرا نقاط خودتقاطعی دارد. اما می‌توانیم سطح را کاملاً پارامتری کنیم.

۵.۱.۱ درک سطوح

سطوح اشیایی با هم‌بُعد یک در یک فضا هستند. آن‌ها مهم‌اند زیرا می‌توانند فضا را تقسیم کنند. ما می‌توانیم آب را در یک بطری محصور کنیم. این برای هم‌بُعد دو ممکن نیست. نمی‌توانید آب را در یک منحنی محصور کنید. به همین ترتیب، اگر در فضای $4$ بعدی زندگی می‌کردید، نمی‌توانستید آب را در یک سطح دوبعدی ذخیره کنید. اما در سه بعد هم مسائل می‌توانند پیچیده شوند. سطوح بسته دوبعدی وجود دارند که هیچ فضایی را محصور نمی‌کنند. سعی کنید از یک بطری کلاین بنوشید!

۵.۱.۲ توصیف سطوح

یک سطح از نظر ریاضی به دو روش اساساً متفاوت توصیف می‌شود. یا به‌عنوان یک سطح تراز از یک تابع روی آن فضا داده می‌شود. یا می‌تواند تصویر یک نگاشت به نام پارامتری‌سازی باشد. این را از زمین که یک کره است می‌دانید. می‌توانیم بگوییم که یک کره مجموعه نقاطی است که فاصله ثابتی تا نقطه مرکزی آن دارند. یا می‌توانیم کره را پارامتری کنیم، مثلاً با استفاده از طول جغرافیایی و عرض جغرافیایی. یک صفحه گذرنده از $0$ را می‌توان یا به‌عنوان هسته ${x \in ℝ^{3} ∣ A x = 0}$ یک ماتریس $1 \times 3$ یعنی $A$ داد، یا به‌عنوان تصویر ${A x ∣ x \in ℝ^{2}}$ یک ماتریس $3 \times 2$ . روش اول $a x + b y + c z = 0$ را می‌نویسد. روش دوم صفحه را به‌صورت $v s + w t$ می‌نویسد، که $v$ و $w$ بردارهای ستونی $A$ هستند و $x = [s, t]^{T}$ پارامترها را می‌دهد.

۵.۲ سخنرانی

۵.۲.۱ خمینه‌های خطی و فضاها

اگر $A$ یک ماتریس باشد، فضای جواب یک دستگاه معادلات $A 𝐱 = b$ را یک خمینه خطی می‌نامند. این مجموعه جواب‌های $A 𝐱 = 0$ است که به گونه‌ای انتقال یافته که از یکی از نقاط بگذرد. برای مثال معادله $3 x + 2 y = 6$ خطی را در $ℝ^{2}$ توصیف می‌کند که از $(2, 0)$ و $(0, 3)$ می‌گذرد. جواب‌های $A x = 0$ یک فضای خطی تشکیل می‌دهند، به این معنی که می‌توانیم جواب‌ها را جمع یا مقیاس کنیم و باز هم جواب داشته باشیم. می‌توانیم آنچه گفته شد را این‌گونه بازگو کنیم که یک فضای خطی یک خمینه خطی است که شامل $0$ باشد. برای مثال، برای $x + 2 y + 3 z = 6$ یک صفحه به دست می‌آید که موازی با صفحه $x + 2 y + 3 z = 0$ است. اولی یک خمینه خطی (که فضای آفین نیز نامیده می‌شود) و دومی یک فضای خطی است. این فضای جواب برای $A 𝐱 = 0$ با $A = [1, 2, 3]$ و $𝐱 = [x, y, z]^{T}$ است. هر دو صفحه بر $n = [1, 2, 3]^{T}$ عمود هستند. برای یافتن معادله صفحه‌ای که از $3$ نقطه $P, Q, R$ می‌گذرد، $n = P Q \times P R = [a, b, c]^{T}$ را تعریف کنید، سپس $a x + b y + c z = d$ را بنویسید، که $d$ با جایگذاری یک نقطه به دست می‌آید. ضرب خارجی در اینجا به کار می‌آید.

۵.۲.۲ بردارهای نرمال و صفحه‌ها

مثال مهم زیر با $A = [a_{1}, \dots, a_{m}]$ در $M (1, m)$ سروکار دارد.

قضیه ۱. بردار $n = A^{T}$ بر صفحه $A x = d$ عمود است.

اثبات. دو نقطه $y$ و $z$ در صفحه داده شده‌اند. آن‌گاه داریم $A y = d$ و $A z = d$ . سپس $x = y - z$ برداری درون صفحه است. اکنون $A^{T} \cdot x = A x = A (y - z) = A y - A z = d - d = 0$ . این بدان معناست که $x$ بر بردار $A^{T}$ عمود است. ◻

در سه بعد، این بدان معناست که صفحه $a x + b y + c z = d$ یک بردار نرمال $A^{T} = n = [a, b, c]^{T}$ دارد. این را در ذهن داشته باشید، به‌ویژه به این دلیل که $ℝ^{3}$ خانه ماست.

۵.۲.۳ هسته و تصویر ماتریس‌ها

این نتیجه دوگانی بعدها به‌عنوان یک قضیه اساسی جبر خطی شناخته خواهد شد. برای مثال در برازش داده‌ها مهم خواهد بود. هسته یک ماتریس $A$ فضای خطی همه جواب‌های $A x = 0$ است. هسته شامل همه ریشه‌های $A$ است. تصویر یک ماتریس $A$ فضای خطی همه بردارهای ${A x}$ است. ما هسته را با $\ker (A)$ و تصویر را با $im (A)$ خلاصه می‌کنیم. بعداً به این باز خواهیم گشت.

قضیه ۲. تصویر $A^{T}$ بر هسته $A$ عمود است.

اثبات. اگر $x$ در هسته $A$ باشد، آن‌گاه $A x = 0$ . این بدان معناست که $x$ بر هر بردار سطری $A$ عمود است. اما این بدان معناست که $x$ بر بردار ستونی $A^{T}$ عمود است. پس $x$ بر تصویر $A^{T}$ عمود است. این خط استدلال را می‌توان معکوس کرد تا دید که اگر $x$ بر تصویر $A^{T}$ عمود باشد، آن‌گاه در هسته $A$ قرار دارد. ◻

۵.۲.۴ کاوش در سطوح غیرخطی

با داشتن یک تابع $f : ℝ^{n} \to ℝ$ ، مجموعه جواب ${f (x_{1}, \dots, x_{n}) = d}$ یک اَبَرسطح است. ما اغلب می‌گوییم "سطح" حتی اگر "سطح" برای $n = 3$ محفوظ باشد. ساده‌ترین سطوح غیرخطی خمینه‌های درجه دوم هستند $x \cdot B x + A x = d$ که با یک ماتریس متقارن $B$ ، یک بردار سطری $A$ و یک اسکالر $d$ تعریف می‌شوند. فرض می‌کنیم که $B$ ماتریس صفر نباشد، وگرنه در حالت یک خمینه خطی هستیم. همچنین می‌توانیم فرض کنیم $B$ متقارن باشد $B = B^{T}$ . برای نمادگذاری، می‌نویسیم $Diag (a, b, c) = [\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{matrix}]$ و $1 = Diag (1, 1, 1)$ .

۵.۲.۵ بیضی‌گون‌ها

برای $B = 1$ ، $A = 0$ و $d = 1$ کره $| x |^{2} = 1$ به دست می‌آید. در $ℝ^{2}$ ، یک کره یک دایره $x^{2} + y^{2} = 1$ است. در سه بعد کره آشنای $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ را داریم. یک بیضی‌گون عمومی‌تر با $B = Diag (1 / a^{2}, 1 / b^{2}, 1 / c^{2})$ به صورت $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ است. با تقاطع دادن با $x = 0$ یا $y = 0$ یا $z = 0$ ، ردپاهایی را می‌بینیم که همگی بیضی هستند.

**شکل ۲.** کره $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ و مثالی از یک بیضی‌گون $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ .

۵.۲.۶ هذلولی‌گون‌ها

برای $B = Diag (1, 1, - 1)$ و $d = 1$ ، یک هذلولی‌گون یک‌پارچه $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ به دست می‌آید. برای $B = Diag (1, 1, - 1)$ و $d = - 1$ ، یک هذلولی‌گون دوپارچه $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ به دست می‌آید. یک هذلولی‌گون عمومی‌تر به شکل $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} - z^{2} / c^{2} = d$ با $d \neq 0$ است. تقاطع با $z = 0$ در حالت یک‌پارچه یک دایره و در حالت دوپارچه هیچ چیز نمی‌دهد. ردپاهای $x = 0$ یا $y = 0$ هر دو هذلولی هستند.

**شکل ۳.** هذلولی‌گون یک‌پارچه $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ و هذلولی‌گون دوپارچه $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ .

۵.۲.۷ سهمی‌گون‌ها

برای $B = Diag (1, 1, 0)$ ، $A = [0, 0, - 1]$ و $d = 0$ سهمی‌گون $x^{2} + y^{2} = z$ و برای $B = Diag (1, - 1, 0)$ ، $A = [0, 0, - 1]$ و $d = 0$ سهمی‌گون هذلولی $x^{2} - y^{2} = z$ به دست می‌آید. می‌توانیم سهمی‌گون‌ها را با تقاطع دادن با $x = 0$ یا $y = 0$ تشخیص دهیم تا سهمی‌ها را ببینیم. تقاطع سهمی‌گون بیضوی $x^{2} + y^{2} = z$ با $z = 1$ یک بیضی می‌دهد. تقاطع سهمی‌گون هذلولی $x^{2} - y^{2} = z$ با $z = 1$ یک هذلولی می‌دهد.

**شکل ۴.** یک سهمی‌گون بیضوی $z = x^{2} + y^{2}$ و سهمی‌گون هذلولی $z = x^{2} - y^{2}$ .

۵.۲.۸ سطوح خاص

اگر $B = Diag (1, 1, - 1)$ و $d = 0$ ، یک مخروط $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$ به دست می‌آید. برای $B = Diag (1, 1, 0)$ و $d = 1$ استوانه $x^{2} + y^{2} = 1$ را داریم.

**شکل ۵.** مخروط $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ و استوانه $x^{2} + y^{2} = 1$ .

۵.۲.۹ نکته جانبی: ساختارهای جبری و نیروها

$1$ -کره $S^{1} = {x^{2} + y^{2} = 1} \subset ℝ^{2}$ و $3$ -کره $S^{3} = {x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1} \subset ℝ^{4}$ دارای یک ضرب هستند: $S^{1}$ در اعداد مختلط $ℂ = {x + i y}$ و $S^{3}$ در کواترنیون‌ها $ℍ = {x + i y + j z + k w}$ قرار دارند. $1$ -کره گروه پیمانه‌ای برای الکترومغناطیس است، $3$ -کره (که $S U (2)$ نیز نامیده می‌شود) مسئول نیروی ضعیف است. هیچ کره اقلیدسی دیگری ضربی برای آن وجود ندارد که $x \to x * y$ هموار باشد. مایکل عطیه زمانی اشاره کرد که این ویژگی جبری ممکن است تصادفی نباشد و مسئول ساختار مدل استاندارد ذرات بنیادی (یکی از دقیق‌ترین نظریه‌هایی که تا کنون توسط بشر ساخته شده) باشد. نیروی قوی با کنش مجموعه‌ای از ماتریس‌های $3 \times 3$ یعنی $S U (3)$ روی $ℍ$ ظاهر می‌شود. عطیه پیشنهاد کرد که گرانش می‌تواند به اکتونیون‌ها $𝕆$ مربوط باشد. در آنجا $S^{7} = {| x | = 1} \subset$ $ℝ^{8}$ همچنان یک ضرب دارد، اما دیگر شرکت‌پذیر نیست. فهرست جبرهای تقسیم نرم‌دار $ℝ$ ، $ℂ$ ، $ℍ$ و $𝕆$ .¹

۵.۲.۱۰ سطوح چندجمله‌ای: واریته‌ها

با داشتن یک چندجمله‌ای $p$ از $n$ متغیر، می‌توان به سطح ${p (x) = 0}$ نگاه کرد. آن را یک واریته می‌نامند.

**شکل ۶.** نمونه‌های بیشتری از **واریته‌ها**، مجموعه‌های جواب معادلات چندجمله‌ای. در سمت چپ، **رویه مکعبی** $x^{3} - 3 x y^{2} - z = 0$ به نام **زین میمونی** را می‌بینیم. در سمت راست، **چنبره** $(3 + x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 16 (x^{2} + y^{2}) = 0$ که نمونه‌ای از یک **منیفلد درجه چهار** است.

**شکل ۷.** واریته $x^{4} - x^{2} + y^{2} + z^{2} = d$ برای $d = - 0.02$ ، $d = 0$ و $d = 0.02$ .

5.3 نمونه‌ها

نمونه ۱. پ: صفحه $Σ$ شامل خط $x = y = z$ و نقطه $P = (3, 4, 5)$ را بیابید.

پاسخ: $Σ$ شامل $Q = (0, 0, 0)$ و $R = (1, 1, 1)$ است و بنابراین بردارهای $v = [1, 1, 1]^{T}$ و $w = [3, 4, 5]^{T}$ را شامل می‌شود. ضرب خارجی $v$ و $w$ برابر $[1, - 2, 1]^{T}$ است. این بردار بر $Σ$ عمود است. بنابراین، معادله به صورت $x - 2 y + z = d$ است، که در آن $d$ با قرار دادن نقطه $(3, 4, 5)$ به‌دست می‌آید. این کار $d = 0$ را می‌دهد، پس $x - 2 y + z = 0$ .

نمونه ۲. آیا می‌توانیم رویه $x^{2} + 2 x + y^{2} - 4 y - z^{2} + 6 z = 0$ را شناسایی کنیم؟ کامل کردن مربع معادله $x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 4 y + 4 - z^{2} + 6 z - 9 = 1 + 4 - 9 = - 4.$ به دست می‌دهد. اکنون $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} - (z - 3)^{2} = - 4$ است. این یک هذلولی‌گون دوپاره است که مرکز آن در $(- 1, 2, 3)$ قرار دارد.

نمونه ۳. برخورد دادن مخروط $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ با صفحه $y = 1$ یک هذلولی $z^{2} - x^{2} = 1$ می‌دهد. برخورد با $z = 1$ یک دایره $x^{2} + y^{2} = 1$ می‌دهد. برخورد با $z = x + 1$ سهمی $y^{2} = 2 x + 1$ را می‌دهد. از آنجا که برش یک مخروط می‌تواند هذلولی، بیضی یا سهمی را به‌عنوان مقطع ایجاد کند، به این‌ها مقاطع مخروطی گفته می‌شود.

نمونه ۴. حالت منیفلدهای درجه دوم تکین حتی غنی‌تر است: $x^{2} - y^{2} = 1$ یک هذلولی‌گون استوانه‌ای است، $x^{2} - y^{2} = 0$ اجتماع دو صفحه $x - y = 0$ و $x + y = 0$ است. رویه $x^{2} = 1$ اجتماع دو صفحه موازی است، رویه $x^{2} = 0$ یک صفحه است.

تمرین‌ها

تمرین ۱.

منحنی $2 x^{2} + 4 x + 2 y^{2} + 2 = 0$ چه نوع منحنی است؟
رویه $x^{2} + y^{2} - 4 y + z^{2} + 8 z = 100$ چه رویه‌ای است؟
فرض کنید $(x, y, z)$ مجموعه نقاطی باشد که $| [x, y, z]^{T} \times [1, 1, 1]^{T} | = 1$ است. این مجموعه را توصیف کنید.

تمرین ۲.

وقتی سهمی‌گون هذلولی $x^{2} - y^{2} = z$ را با یک صفحه برخورد دهید، چه نوع منحنی‌هایی می‌توانید به‌دست آورید؟
بررسی کنید اگر هذلولی‌گون $S : x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ را با $S$ که $90$ درجه حول محور $x$ چرخیده است برخورد دهید، چه چیزی به‌دست می‌آید.

تمرین ۳. صفحات مشخصی بیابید که برخورد آنها با هذلولی‌گون $x^{2} + 2 y^{2} - z^{2} = 1$ یک بیضی، هذلولی یا سهمی تولید کند.

تمرین ۴. معادله صفحه‌ای را بیابید که بر سه کره واحد با مراکز $(3, 4, 5)$ ، $(1, 1, 1)$ ، $(2, 3, 4)$ مماس باشد.

تمرین ۵. یک تابع مشخص $f (x, y, z)$ از سه متغیر بسازید به‌طوری که یک سطح تراز $f (x, y, z) = c$ یک پرتزل باشد، یعنی رویه‌ای با سه حفره. راهنمایی: رویه $g * h = 0$ اجتماع رویه‌های $g = 0$ و $h = 0$ است. اکنون، $g * h = c$ می‌تواند رویه‌هایی ایجاد کند که در آنها چیزها به‌خوبی چسبانده شده‌اند. اگر باید رویه‌ای را در وب یا ادبیات جستجو کنید، باید مرجع را ذکر کنید. می‌توانید از رایانه برای آزمایش استفاده کنید، یا سپس استراتژی خود را با کلمات توصیف کنید.

**شکل ۸.** در پرتزل پخته شده در سمت راست، ما از یک چندجمله‌ای $f (x, y, z)$ با درجه $12$ استفاده کرده‌ایم. یک مسئله در هندسه جبری یافتن «چندجمله‌ای با کوچکترین درجه» است که کار کند و سپس یافتن ظریف‌ترین چندجمله‌ای.

سخنرانی ۲۰۱۰ آتیا را ببینید (https://www.youtube.com/watch?v=zCCxOE44M_M).↩︎