دومین ساعتی

فهرست مطالب

28.1 کلمات کلیدی برای امتحان میان‌ترم دوم
28.2 امتحان میان‌ترم دوم (تمرین A)
28.3 امتحان میان‌ترم دوم (تمرین B)
28.4 امتحان میان‌ترم دوم

28.1 کلمات کلیدی برای امتحان میان‌ترم دوم

این یک چک‌لیست است. لیست خودتان را تهیه کنید. اما در اینجا یک چک‌لیست ارائه شده است که سعی دارد جامع باشد. مواردی را که می‌دانید علامت بزنید و مواردی را که به خاطر نمی‌آورید دوباره مرور کنید. شما باید موارد زیر را در نوک انگشتان خود داشته باشید.

28.1.1 مشتقات جزئی

$f_{x} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ مشتق جزئی
$L (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})$ تقریب خطی
$Q (x, y) = L (x_{0}, y_{0}) + f_{x x} (x - x_{0})^{2} / 2 + f_{y y} (y - y_{0})^{2} / 2 + f_{x y} (x - x_{0}) (y - y_{0})$ تقریب درجه دوم
$L (x, y)$ تخمینی از $f (x, y)$ در نزدیکی $f (x_{0}, y_{0})$ ارائه می‌دهد. نتیجه به صورت $f (x_{0}, y_{0}) + a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})$ است.
خط مماس: $a x + b y = d$ با $a = f_{x} (x_{0}, y_{0})$ ، $b = f_{y} (x_{0}, y_{0})$ ، $d = a x_{0} + b y_{0}$
صفحه مماس: $a x + b y + c z = d$ با $a = f_{x}$ ، $b = f_{y}$ ، $c = f_{z}$ ، $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$
تخمین $f (x, y, z)$ با $L (x, y, z)$ در نزدیکی $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$
$f_{x y} = f_{y x}$ قضیه کلرو، اگر $f_{x y}$ و $f_{y x}$ پیوسته باشند.
$r_{u} (u, v)$ ، $r_{v} (u, v)$ مماس بر سطح پارامتری شده توسط $r (u, v)$

28.1.2 معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

$f_{t} = f_{x x}$ معادله گرما
$f_{t t} - f_{x x} = 0$ معادله موج
$f_{x} - f_{t} = 0$ معادله انتقال
$f_{x x} + f_{y y} = 0$ معادله لاپلاس
$f_{t} + f f_{x} = f_{x x}$ معادله برگرز
$f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = 1$ معادله ایکونال
$f_{t} = f - x f_{x} - x^{2} f_{x x}$ بلک شولز

28.1.3 گرادیان

$\nabla f (x, y) = d f^{T} = [f_{x}, f_{y}]^{T}$ ، $\nabla f (x, y, z) = [f_{x}, f_{y}, f_{z}]^{T}$ ، گرادیان
$D_{v} f = \nabla f \cdot v$ مشتق جهتی
قاعده زنجیره‌ای
$\nabla f (x_{0}, y_{0})$ بر منحنی تراز $f (x, y) = c$ شامل $(x_{0}, y_{0})$ عمود است.
$\nabla f (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ بر سطح تراز $f (x, y, z) = c$ شامل $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ عمود است.
$\frac{d}{d t} f (x + t v) = D_{v} f$ با قاعده زنجیره‌ای
$(x - x_{0}) f_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (y - y_{0}) f_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (z - z_{0}) f_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0$ صفحه مماس
$f (x, y)$ در جهت $\nabla f / | \nabla f |$ افزایش می‌یابد. توابع به سمت بالا حرکت می‌کنند.
$f (x, y, z) = c$ تابع $z = g (x, y)$ را تعریف می‌کند، و $g_{x} (x, y) = - f_{x} (x, y, z) / f_{z} (x, y, z)$ مشتق ضمنی

28.1.4 نقاط بحرانی

$\nabla f (x, y) = [0, 0]^{T}$ ، نقطه بحرانی یا نقطه ایستا
$D = f_{x x} f_{y y} - f_{x y}^{2} = \det (d f)$ ممیز، مفید در آزمون مشتق دوم
$f (x_{0}, y_{0}) \geq f (x, y)$ در همسایگی $(x_{0}, y_{0})$ بیشینه محلی
$f (x_{0}, y_{0}) \leq f (x, y)$ در همسایگی $(x_{0}, y_{0})$ کمینه محلی
$\nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y)$ ، $g (x, y) = c$ ، یا $\nabla g = 0$ معادلات لاگرانژ
آزمون مشتق دوم: $\nabla f = (0, 0)$ ، $D > 0$ ، $f_{x x} < 0$ بیشینه محلی، $\nabla f = (0, 0)$ ، $D > 0$ ، $f_{x x} > 0$ کمینه محلی، $\nabla f = (0, 0)$ ، $D < 0$ نقطه زینی
$f (x_{0}, y_{0}) \geq f (x, y)$ در همه جا، بیشینه سراسری
$f (x_{0}, y_{0}) \leq f (x, y)$ در همه جا، کمینه سراسری
$f$ یک تابع مورس است اگر هشین $H = d^{2} f$ در هر نقطه بحرانی معکوس‌پذیر باشد.

28.1.5 انتگرال‌های دوگانه

$\iint_{R} f (x, y) d y d x$ انتگرال دوگانه
$\int_{a}^{b} \int_{c (x)}^{d (x)} f (x, y) d y d x$ ناحیه از پایین به بالا
$\int_{c}^{d} \int_{a (y)}^{b (y)} f (x, y) d x d y$ ناحیه از چپ به راست
$\iint_{R} f (r, θ) r d r d θ$ مختصات قطبی
$\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ مساحت سطح
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y$ فوبینی
$\iint_{R} 1 d x d y$ مساحت ناحیه $R$
$\iint_{R} f (x, y) d x d y$ حجم علامت‌دار جسم محدود شده توسط نمودار $f$ و صفحه $x y$

28.1.6 انتگرال‌های سه‌گانه

$∭_{R} f (x, y, z) d z d y d x$ انتگرال سه‌گانه
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{u}^{v} f (x, y, z) d z d y d x$ انتگرال روی جعبه مستطیلی
$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \int_{h_{1} (x, y)}^{h_{2} (x, y)} f (x, y) d z d y d x$ ناحیه نوع I
$∭_{R} f (r, θ, z) r d z d r d θ$ انتگرال در مختصات استوانه‌ای
$∭_{R} f (ρ, θ, ϕ) ρ^{2} \sin (ϕ) d ρ d ϕ d θ$ انتگرال در مختصات کروی
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{u}^{v} f (x, y, z) d z d y d x = \int_{u}^{v} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y, z) d x d y d z$ فوبینی
$V = ∭_{E} 1 d z d y d x$ حجم جسم $E$
$M = ∭_{E} f (x, y, z) d z d y d x$ جرم جسم $E$ با چگالی $f$

28.1.7 توصیه‌های کلی

هنگام انتگرال‌گیری در ابعاد بالاتر، ناحیه را رسم کنید.
اگر انتگرال کار نکرد، دستگاه‌های مختصات دیگر را در نظر بگیرید.
اگر انتگرال کار نکرد، تغییر ترتیب انتگرال‌گیری را در نظر بگیرید.
برای صفحات مماس، ابتدا گرادیان $[a, b, c]^{T}$ را محاسبه کنید، سپس ثابت را تعیین کنید.
هنگام بررسی مسائل مربوط به نقشه‌های ارتفاعی، به گرادیان توجه کنید.

28.1.8 قضایا

کلرو، تیلور، فوبینی، قضیه جزیره، حجم‌های کره و گوی، قضیه مورس، قاعده زنجیره‌ای، قضیه گرادیان، تغییر متغیر

28.1.9 افراد

کلرو، فوبینی، لاگرانژ، فرما، ریمان، ارشمیدس، همیلتون، اویلر، تیلور، مورس، هوپف، تائو، پولیا، ریمان

28.2 امتحان میان‌ترم دوم (تمرین A)

شما فقط به این جزوه و چیزی برای نوشتن نیاز دارید. لطفاً هرگونه مواد دیگر و وسایل الکترونیکی را کنار بگذارید. کد افتخار را به خاطر داشته باشید.
لطفاً خوانا بنویسید و جزئیات را ارائه دهید. به جز مسائل 28.2 و 28.3، ما می‌خواهیم جزئیات را ببینیم، حتی اگر پاسخ برای شما واضح باشد.
سعی کنید به سوال در همان صفحه پاسخ دهید. در پشت هر صفحه نیز فضا وجود دارد.
اگر مسئله‌ای را در جای دیگری تمام کردید، لطفاً در صفحه مسئله مشخص کنید تا آن را پیدا کنیم.
شما 75 دقیقه برای این امتحان فرصت دارید.

ارشمیدس آرزوی موفقیت می‌کند. متأسفانه او نمی‌تواند به ما بپیوندد زیرا "مشغول اثبات یک قضیه جدید است". او همین الان سلفی خود را برای ما فرستاد. اوه، این سلبریتی‌ها!

مسئله 28A.1 (10 نمره):

(4 نمره) ثابت کنید که اگر $x^{3}$ گنگ باشد، آنگاه $x$ گنگ است.
(3 نمره) ثابت کنید یا رد کنید: حاصلضرب دو عدد صحیح فرد، فرد است.
(3 نمره) ثابت کنید یا رد کنید: مجموع دو عدد صحیح فرد، فرد است.

مسئله 28A.2 (10 نمره، هر سوال یک نمره):

نام معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی $f_{t t} = f_{x x}$ چیست؟
سری $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / k! = 1 + x + x^{2} / 2! + x^{3} / 3! + \dots$ یک تابع را نشان می‌دهد. کدام تابع؟
فرمول مشتق‌گیری ضمنی برای $f (x, y (x)) = 1$ به صورت است.
نام تابع $f (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s}$ چیست؟
در یک جزیره دایره‌ای، دقیقاً $3$ بیشینه و یک کمینه برای ارتفاع $f$ وجود دارد. با فرض اینکه $f$ یک تابع مورس است، چند نقطه زینی وجود دارد؟
کدام ریاضیدان اولین بار مقدار حجم گوی $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1$ را پیدا کرد؟
درست یا نادرست: مشتق جهتی $f$ در جهت $\nabla f (x) / | \nabla f (x) |$ در نقطه‌ای که $\nabla f$ صفر نیست، منفی است.
معادله یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی را حل می‌کند. کدام یک؟
فرمول مساحت سطح یک سطح $S$ که با $r (u, v)$ روی یک دامنه $R$ پارامتری شده است، چیست؟
ضریب انتگرال‌گیری (= ضریب اعوجاج) هنگام رفتن به مختصات کروی $(ρ, ϕ, θ)$ چیست؟

مسئله 28A.3 (10 نمره، هر سوال دو نمره):

منحنی‌های تراز یک تابع مورس $f$ را می‌بینیم. دایره عبوری از $A B C$ گاهی به عنوان یک قید $g (x, y) = x^{2} + y^{2} = 1$ عمل می‌کند. در تمام سوالات، ما فقط نقاطی را از $A$ ، $B$ ، $C$ ، $D$ ، $E$ ، $F$ ، $G$ ، $H$ ، $I$ ، $J$ ، $K$ ، $L$ ، $M$ انتخاب می‌کنیم.

کدام نقاط تحت قید $g (x, y) = 1$ کمینه‌های محلی $f$ هستند؟
کدام نقاط تحت قید $g (x, y) = 1$ بیشینه‌های محلی $f$ هستند؟
در کدام نقاط داریم $f_{x} (x, y) \cdot f_{y} (x, y) \neq 0$ ؟
در کدام نقاط $| \nabla f (x, y) |$ بیشینه است؟
در کدام نقاط $| \nabla f (x, y) |$ کمینه است؟

مسئله 28A.4 (10 نمره):

(5 نمره) صفحه مماس بر سطح $f (x, y, z) = x^{2} y - x^{3} + y^{2} + z^{4} x y = - 13$ را در نقطه $(2, - 1, 1)$ پیدا کنید.
(5 نمره) $f (2.001, - 0.99, 1.1)$ را با تقریب خطی تخمین بزنید.

مسئله 28A.5 (10 نمره):

(5 نمره) تقریب درجه دوم $Q (x, y)$ تابع $f (x, y) = 5 + x + y + x^{2} + 3 y^{2} + \sin (x y) + e^{x}$ را در $(x, y) = (0, 0)$ پیدا کنید.
(5 نمره) مقدار $f (0.001, 0.02)$ را با استفاده از تقریب درجه دوم تخمین بزنید.

مسئله 28A.6 (10 نمره):

(8 نمره) نقاط بحرانی تابع $f (x, y) = x^{2} - y^{3} + 2 x + 3 y$ را با استفاده از آزمون مشتق دوم طبقه‌بندی کنید.
(2 نمره) آیا تابع $f (x, y)$ دارای کمینه سراسری یا بیشینه سراسری است؟

مسئله 28A.7 (10 نمره):

با استفاده از روش بهینه‌سازی لاگرانژ، پارامترهای $(x, y)$ را پیدا کنید که برای آنها مساحت یک طاق $f (x, y) = 2 x^{2} + 4 x y + 3 y^{2}$ کمینه شود، در حالی که محیط $g (x, y) = 8 x + 9 y = 33$ ثابت است.

مسئله 28A.8 (10 امتیاز):

(5 امتیاز) ممان اینرسی $I = \iint_{G} (x^{2} + y^{2}) d y d x$ ربع $G = {x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \leq 0}$ را بیابید.
(5 امتیاز) انتگرال دوگانه $\int_{1}^{e} \int_{\log (x)}^{1} \frac{y}{e^{y} - 1} d y d x$ را محاسبه کنید که در آن $\log$ لگاریتم طبیعی است.

مسئله 28A.9 (10 امتیاز):

انتگرال $∭_{E} f (x, y, z) d z d y d x$ تابع $f (x, y, z) = x + (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{4}$ را روی جسم $E = {(x, y, z) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4, z \geq 0}$ بیابید.

مسئله 28A.10 (10 امتیاز):

مساحت سطح $r (x, y) = [\begin{matrix} 2 x \\ y \\ \frac{x^{3}}{3} + y \end{matrix}]$ را با $0 \leq x \leq 2$ و $0 \leq y \leq x^{3}$ بیابید.

28.3 آزمون دوم (تمرین B)

مسئله 28B.1 (10 امتیاز):

(4 امتیاز) می‌دانید که عدد صحیح مثبت $n^{5}$ فرد است. ثابت کنید که $n$ فرد است.
(3 امتیاز) ثابت کنید یا رد کنید: اگر $a$ و $b$ گنگ باشند، آنگاه $a b$ گنگ است.
(3 امتیاز) ثابت کنید یا رد کنید: اگر $a$ و $b$ گنگ باشند، آنگاه $a + b$ گنگ است.

مسئله 28B.2 (10 امتیاز، هر زیرمسئله یک امتیاز):

نام معادله دیفرانسیل $f_{t} = f_{x x}$ چیست؟
چه فرضیاتی باید برقرار باشد تا $f_{x y} = f_{y x}$ صادق باشد؟
گرادیان $\nabla f (x_{0})$ به $f (x) = c$ با $c = f (x_{0})$ مربوط است. کدام رابطه؟
تقریب خطی $f$ در $x_{0}$ برابر است با $L (x) = f (x_{0}) + \dots$ . فرمول را کامل کنید.
فرض کنید $f$ روی $g = c$ دارای ماکزیمم باشد، آنگاه یا $\nabla f = λ \nabla g$ ، $g = c$ برقرار است یا ...
کدام ریاضیدان فرمول تغییر ترتیب انتگرال‌گیری را اثبات کرد؟
درست یا نادرست: بردار گرادیان $\nabla f (x)$ همان $d f (x)$ است.
معادله $u_{t} + u u_{x} = u_{x x}$ نمونه‌ای از یک معادله دیفرانسیل است. ما دو نوع اصلی (هر کدام یک مخفف سه حرفی) دیده‌ایم. این معادله از کدام نوع است؟
فرمول طول کمان یک منحنی $C$ چیست؟
ضریب انتگرال‌گیری $| d ϕ |$ هنگام رفتن به مختصات قطبی چیست؟

مسئله 28B.3 (10 امتیاز، 2 امتیاز برای هر زیرمسئله):

منحنی‌های تراز یک تابع مورس $f$ را می‌بینیم. فقط نقاط $A$ - $J$ را انتخاب کنید.

کدام نقطه بحرانی با ممیز $D = \det (d^{2} f) < 0$ است.
در کدام نقطه $f_{x} > 0$ ، $f_{y} = 0$ است؟
در کدام نقطه $f_{x} > 0$ ، $f_{y} > 0$ است؟
کدام $(x_{0}, y_{0})$ نقاط بحرانی $f$ هنگام اعمال قید $g (x, y) = y = y_{0}$ هستند؟
کدام $(x_{0}, y_{0})$ نقاط بحرانی $f$ هنگام اعمال قید $g (x, y) = x = x_{0}$ هستند؟

مسئله 28B.4 (10 امتیاز):

(5 امتیاز) صفحه مماس بر سطح $x y z + x^{5} y + z = 11$ را در $(1, 2, 3)$ بیابید.
(5 امتیاز) در نزدیکی $(x, y) = (1, 2)$ ، می‌توانیم $z = g (x, y)$ را بنویسیم. $g_{x} (1, 2)$ ، $g_{y} (1, 2)$ را بیابید.

مسئله 28B.5 (10 امتیاز):

تقریب درجه دوم $f (x, y, z) = 1 + x + y^{2} + z^{3} + \sin (x y z)$ را در $(0, 0, 0)$ بیابید.
$f (0.01, 0.03, 0.05)$ را با استفاده از تقریب خطی تخمین بزنید.

مسئله 28B.6 (10 امتیاز):

(8 امتیاز) نقاط بحرانی تابع $f (x, y) = x^{12} + 12 x^{2} + y^{12} + 12 y^{2}$ را با استفاده از آزمون مشتق دوم طبقه‌بندی کنید.
(2 امتیاز) آیا $f$ دارای کمینه مطلق است؟ آیا $f$ دارای بیشینه مطلق است؟

مسئله 28B.7 (10 امتیاز):

در بالای یک ساختمان MIT یک گنبد راداری به شکل یک کلاهک کروی وجود دارد. افراد داخلی آن را "گنبد رادار ستاره مرگ" می‌نامند. می‌دانیم که با ارتفاع $h$ و شعاع پایه $r$ ، حجم و مساحت سطح به صورت $V = π r h^{2} - π h^{3} / 3$ ، $A = 2 π r h = π$ داده می‌شود. این منجر به مسئله پیدا کردن اکسترمم $f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{3}}{3}$ تحت قید $g (x, y) = 2 x y = 1$ می‌شود. کمینه $f$ را روی این قید با استفاده از روش لاگرانژ بیابید!

مسئله 28B.8 (10 امتیاز):

$\iint_{R} 5 / (x^{2} + y^{2}) d x d y$ را بیابید که در آن $R$ ناحیه $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25$ ، $y^{2} > x^{2}$ است.

مسئله 28B.9 (10 امتیاز):

$f (x, y, z) = z$ را روی جسم $E$ محدود شده توسط و $x + y + z = 1$ انتگرال بگیرید.

مسئله 28B.10 (10 امتیاز):

مساحت سطح $r (x, y) = [\begin{matrix} 2 y \\ x \\ \frac{y^{3}}{3} + x \end{matrix}]$ با $0 \leq y \leq 2$ و $0 \leq x \leq y^{3}$ چقدر است؟

28.4 آزمون دوم

مسئله 28.1 (10 امتیاز):

(3 امتیاز) ثابت کنید یا رد کنید که حاصل ضرب یک عدد گویا و یک عدد گنگ، گنگ است.
(3 امتیاز) ثابت کنید یا رد کنید که حاصل ضرب دو عدد گنگ، گنگ است.
(2 امتیاز) ثابت کنید یا رد کنید که حاصل ضرب دو عدد به شکل $4 k - 1$ عددی به شکل $4 k - 1$ است.
(2 امتیاز) ثابت کنید یا رد کنید که حاصل ضرب دو عدد به شکل $4 k + 1$ عددی به شکل $4 k + 1$ است.

مسئله 28.2 (10 امتیاز، هر سوال یک امتیاز):

نام معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی $f_{t} = f f_{x}$ چیست؟
سری $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots$ یک تابع را نشان می‌دهد. کدام تابع؟
فرمول مشتق‌گیری ضمنی برای $f (x, y, z (x)) = 1$ برابر است با $z_{x} (x) = \dots \dots$ .
مسئله محاسبه مقدار $ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s}$ برای $s = 2$ مسئله $\dots \dots$ نامیده می‌شود.
آیا ممکن است یک تابع مورس روی $2$ -کره $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ دارای $3$ بیشینه، $1$ کمینه و $3$ نقطه زینی باشد؟
چه کسی ثابت کرد که می‌توان ترتیب انتگرال‌گیری را روی یک مستطیل تغییر داد؟ نتیجه قضیه نامیده می‌شود.
شما پیشرفت را با یک تابع مورس $f$ در یک فضای داده $ℝ^{n}$ اندازه‌گیری می‌کنید. شما در نقطه‌ای قرار دارید که نقطه بحرانی نیست. برای بزرگتر کردن $f$ باید پارامترها را در کدام جهت تغییر دهید؟
تابع $f (x, t) = \sin (x + t) + \sin (x - t)$ جواب یکی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پایه است. کدام یک؟
ضریب اعوجاج تغییر مختصات $r : ℝ^{3} \to ℝ^{3}, (x, y, z) \to (3 x, 4 y, 7 z)$ چیست؟
شما در الیزیوم، یک زیستگاه مصنوعی چنبره‌ای شکل هستید که در آن تابع ارتفاع تپه‌ها یک تابع مورس است. $5$ تپه (بیشینه) و $2$ گودال (کمینه) وجود دارد. در الیزیوم چند نقطه زینی وجود دارد؟

مسئله 28.3 (10 امتیاز، هر سوال یک امتیاز):

منحنی‌های تراز یک تابع مورس $f$ را می‌بینیم. در هر سوال، دقیقاً یک نقطه از $A$ ، $B$ ، $C$ ، $D$ ، $E$ ، $F$ ، $G$ ، $H$ ، $I$ ، $J$ ، $K$ ، $L$ را انتخاب می‌کنیم. نقاط ممکن است چندین بار ظاهر شوند و برخی نقاط ممکن است ظاهر نشوند.

کدام نقطه یک بیشینه موضعی است؟
کدام نقطه یک کمینه موضعی است؟
کدام نقطه یک نقطه زینی است؟
کدام نقطه یک کمینه موضعی $f$ تحت قید $g (x, y) = y = 0$ است؟
کدام نقطه یک بیشینه موضعی $f$ تحت قید $g (x, y) = y = 0$ است؟
در کدام نقطه $| \nabla f (x, y) |$ در بین تمام نقاط بیشینه است؟
در کدام نقطه $f_{x} (x, y)$ مثبت و $f_{y} (x, y) = 0$ است؟
در کدام نقطه $f_{y} (x, y)$ مثبت و $f_{x} (x, y) = 0$ است؟
در کدام نقطه هر دو $f_{x} (x, y)$ و $f_{y} (x, y)$ مثبت هستند؟
در کدام نقطه هر دو $f_{x} (x, y)$ و $f_{y} (x, y)$ منفی هستند؟

مسئله 28.4 (10 امتیاز):

(5 امتیاز) ابرصفحه مماس $a x + b y + c z + d w = e$ را بر ابرسطح $f (x, y, z, w) = x y^{2} z^{2} + w = 2$ در نقطه $(x_{0}, y_{0}, z_{0}, w_{0}) = (2, - 1, - 1, 0)$ بیابید.
(5 امتیاز) $f (2.001, - 0.9, - 1.01, 0.07)$ را با تقریب خطی تخمین بزنید.

مسئله 28.5 (10 امتیاز):

(6 امتیاز) نقاط بحرانی تابع $f (x, y) = 3 - 3 x + x^{2} - 3 y + x y + y^{2}$ را با استفاده از آزمون مشتق دوم طبقه‌بندی کنید.
(2 امتیاز) آیا تابع $f (x, y)$ دارای کمینه مطلق است؟
(2 امتیاز) آیا تابع $f (x, y)$ دارای بیشینه مطلق است؟

مسئله 28.6 (10 امتیاز):

(4 امتیاز) تقریب درجه دوم $Q (x, y)$ تابع $f (x, y) = 3 - 3 x + x^{2} - 3 y + x y + y^{2}$ را در $(x_{0}, y_{0}) = (1, 1)$ بیابید. ما این تابع را قبلاً در مسئله 28.5 دیده‌ایم.
(3 امتیاز) آیا این تابع $f$ یک تابع مورس است؟
(3 امتیاز) مقدار $f (1.03, 0.2)$ را با استفاده از تقریب درجه دوم تخمین بزنید.

مسئله 28.7 (10 امتیاز):

با استفاده از روش بهینه‌سازی لاگرانژ، پارامترهای $(x, y)$ را بیابید که برای آنها $f (x, y) = 3 - 3 x + x^{2} - 3 y + x y + y^{2}$ تحت قید $g (x, y) = x^{2} + y^{2} = 2$ بیشینه یا کمینه است.

مسئله 28.8 (10 امتیاز):

(5 امتیاز) انتگرال $I = \iint_{G} e^{x^{2} + y^{2}} d y d x$ ناحیه حلقوی $G = {1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4}$ را محاسبه کنید.
(5 امتیاز) انتگرال دوگانه $\int_{1}^{3} \int_{0}^{9 - x^{2}} \frac{y^{2}}{\sqrt{9 - y} - 1} d y d x$ را محاسبه کنید.

مسئله 28.9 (10 امتیاز):

انتگرال

$∭_{E} (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} d z d y d x$ را برای $E = {(x, y, z) ∣ 4 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9, x^{2} + y^{2} < z^{2}}$ محاسبه کنید.

مسئله 28.10 (10 امتیاز):

مساحت سطح سطح $r (u, v) = [\begin{matrix} 2 v \cos (u) \\ 2 v \sin (u) \\ u^{2} \end{matrix}]$ را روی ناحیه $R = {u^{2} + v^{2} \leq 9}$ محاسبه کنید.