جهان گسسته

36.1 مقدمه

36.1.1 میدان‌ها، نیروها و جهان‌های کوانتومی

معادلات ماکسول $$\boxed{dF=0,d^{\ast }F=j}$$ امکان به دست آوردن میدان الکترومغناطیسی $F$ را از جریان $j$ فراهم می‌کنند. میدان گرانشی از طریق قانون گاوس $$\boxed{d^{\ast }F=\rho }$$ از چگالی جرم $\rho$ تعیین می‌شود. با $-\mathrm{\Delta }=d^{\ast }d$، معادله شرودینگر حرکت ذرات کوانتومی را توصیف می‌کند. در فضایی با مشتق $d$، نور، ماده و یک سیستم تناوبی از اتم‌ها وجود دارد.

36.1.2 مقادیر ویژه لاپلاسین و تحول کوانتومی

یک شیء مهم در حسابان لاپلاسین $\mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}(f))$ است که برابر است با $\mathrm{\Delta }f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}$. برای گراف‌ها، این ماتریس کیرشهف $K=d^{\ast }d$ است، که در آن $d^{\ast }$ ماتریس ترانهاده $d$ است. ماتریس $K=d^{\ast }d$ یک ماتریس مربعی با مقادیر ویژه غیرمنفی است. هر ستون را با $K{e}_v$ بسازید که در آن $e_v$ یک بردار پایه است. $1$-فرم $d{e}_v$ به یک یال متصل به $v$ مقدار $-1$ را نسبت می‌دهد. سپس $d^{\ast }d{e}_v$ تابعی روی رئوس است که به یک رأس، منفی درجه رأس و به هر گره متصل مقدار $1$ را نسبت می‌دهد. معادله شرودینگر با $$u(t)=U(t)u(0)=e^{-itK/\hslash h}u(0).$$ حل می‌شود. می‌توانید آن را با موارد زیر مشاهده کنید:

36.2 سخنرانی

36.2.1 فرم‌های گراف: گرادیان، کرل و استوکس گسسته

یک $\mathbf{0}$-فرم $f$ روی یک گراف $G=(V,E)$ تابعی روی رئوس $V$ است. ما آن را تابع اسکالر نیز می‌نامیم. یک $\mathbf{1}$-فرم تابعی روی یال‌های جهت‌دار $E$ است که $F(a,b)=-F(b,a)$ را ارضا می‌کند. به طور غیررسمی، مانند پیوستار، ما یک $1$-فرم را به عنوان یک میدان برداری در نظر می‌گیریم. گرادیان $$F(a,b)=df(a,b)=f(b)-f(a)$$ یک $0$-فرم $f$ یک $1$-فرم $F$ است. کرل یک میدان برداری $F$ یک $\mathbf{2}$-فرم است. این تابعی روی مثلث‌های $(a,b,c)$ است که با $$dF(a,b,c)=F(a,b)+F(b,c)+F(c,a)$$ داده می‌شود که می‌توان آن را به عنوان انتگرال خطی در امتداد مرز مثلث در نظر گرفت. هنگام توصیف $p$-فرم‌ها برای ، جهت‌گیری اهمیت دارد. برای ثابت کردن آن، فقط رئوس $V$ را شماره‌گذاری کنید و سپس جهت یک یال $(a,b)$ را با یا جهت یک مثلث $(a,b,c)$ را اگر انتخاب کنید. قضیه استوکس گسسته $${\iint }_S\mathrm{curl}(F)\cdot dS={\int }_{C}F\cdot dr$$ به ما گفت که مجموع کرل‌های $F$ روی مثلث‌های یک سطح $S$ برابر است با انتگرال خطی $F$ در امتداد مرز $C$ از $S$.

36.2.2 قضیه واگرایی گسسته

یک گراف چهاروجهی مجموعه‌ای از چهار گره است که همگی به یکدیگر متصل هستند. یک $\mathbf{3}$-فرم روی یک گراف $G$ تابعی روی زیرگراف‌های چهاروجهی $x$ از $G$ است. یک مثال واگرایی $𝒅𝑭\mathbf{(}𝒙\mathbf{)}$ یک $\mathbf{2}$-فرم $𝑭$ است که به عنوان مجموع مقادیر $F(y)$ مثلث‌های $y\subset x$ محصور کننده چهاروجهی $x$ تعریف می‌شود. مانند پیوستار، جهت‌گیری نقش دارد. در اینجا قضیه واگرایی گسسته برای یک جامد $G$ که توسط چهاروجهی‌های $x$ ساخته شده است و در آن سطح مرزی $S$ از مثلث‌ها تشکیل شده است، آورده شده است:

راهنما: با استقرا نسبت به تعداد چهاروجهی‌ها اثبات کنید. ابتدا بررسی کنید که اگر $G$ یک چهاروجهی واحد باشد، این تعریف واگرایی است. سپس ببینید وقتی یک چهاروجهی جدید اضافه می‌شود چه اتفاقی می‌افتد.

36.2.3 واگرایی صفر کرل گسسته

همچنین دیده‌ایم که واگرایی کرل یک میدان برداری $F$ صفر است: داشتیم $$\mathrm{curl}(F)=[R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y]$$ و گرفتن مشتق $x$ از $R_y-Q_z$ برابر است با $R_{yx}-Q_{zx}$، مشتق $y$ از $P_z-R_x$ برابر است با $P_{zy}-R_{xy}$ و مشتق $z$ از $Q_x-P_y$ برابر است با $Q_{xz}-P_{yz}$. جمع کردن همه آنها $0$ می‌دهد. در حالت گسسته حتی ساده‌تر است. با یک $1$-فرم $F$ روی یال‌های یک گراف شروع کنید. سپس کرل‌ها را تشکیل دهید، که توابعی روی مثلث‌ها هستند، سپس همه این کرل‌ها را جمع کنید. بررسی کنید:

36.2.4 فرم‌های p و استوکس گسسته

قضیه استوکس عمومی تفاوت چندانی ندارد. یک $𝒑$-سیمپلکس در $G$ یک زیرگراف کامل با $p+1$ گره است. این بدان معناست که همه به یکدیگر متصل هستند. یک $𝒑$-فرم تابعی روی مجموعه $p$-سیمپلکس‌های $x$ در $G$ است. مقدار تابع اگر دو عنصر جابه‌جا شوند تغییر می‌کند. به عنوان مثال،

36.2.5 مشتق خارجی گسسته: پادتقارنی و نابودی دوگانه

مشتق خارجی یک $p$-فرم $F$، $(p+1)$-فرم $$dF(x_0,\dots ,x_{p+1})=\sum _{j=0}^{p+1}(-1{)}^{j}F(x_0,\dots ,{\hat{x}}_j,\dots x_{p+1})$$ است.

36.2.6 استوکس روی گراف‌ها: انتگرال‌گیری جزء به جزء

قضیه استوکس عمومی بیان می‌کند که برای یک گراف $m$-بعدی $G$ با مرز $S$ و یک $(m-1)$-فرم $F$ داریم

36.3 گرانش

36.3.1 گرانش گسسته و لاپلاسین

معادلات نیوتن $$\frac{d^2}{d{t}^2}{x}_k=-\sum _{j}G{m}_j/|x_k-x_j{|}^2$$ با ثابت گرانشی $G$ حرکت تعداد محدودی نقطه جرم با موقعیت‌های $x_k(t)\in {ℝ}^3$ و جرم $m_k$ را توصیف می‌کنند. این قوانین کلاسیک بر حرکت سیارات در منظومه شمسی ما، ستارگان در یک کهکشان یا کهکشان‌ها در یک خوشه کهکشانی حاکم هستند. در حالی که نسبیت این تصویر نیوتنی را کمی اصلاح می‌کند و تصحیحاتی ایجاد می‌کند که برای مثال در پیشروی حضیض عطارد آشکار می‌شود، نظریه نیوتنی به طرز شگفت‌آوری دقیق است. گاوس نیروی گرانشی مربع معکوس $F$ را از $\mathrm{div}(F)=4\pi \sigma$ استخراج کرد، که در آن $\sigma$ چگالی جرم است. در حالی که واگرایی معمولاً یک $2$-فرم را به یک $3$-فرم نگاشت می‌کند، الحاقی $d^{\ast }$ گرادیان $d$ است. در ${ℝ}^3$ معادل است. اکنون، $$L=\mathrm{div}\circ \mathrm{grad}=d^{\ast }d:{\mathrm{\Lambda }}^0\to {\mathrm{\Lambda }}^0$$ لاپلاسین کیرشهف نامیده می‌شود. بنابراین قانون گاوس گرانش معادله پواسون $$\boxed{LV=4\pi \sigma },$$ است، که در آن $V$ پتانسیل گرانشی، یک $0$-فرم است. از آنجایی که $d^{\ast }=0$ روی $0$-فرم‌ها، می‌توانیم همچنین بنویسیم $L=d{d}^{\ast }+d^{\ast }d$. گرانش کلاسیک از چگالی جرم $\sigma$ پتانسیل گرانشی $V$ و در نتیجه میدان گرانشی را به عنوان یک گرادیان $F=dV$ به دست می‌آورد:

36.4 الکترومغناطیس

36.4.1 ماکسول گسسته با جریان‌ها

معادلات ماکسول هنگامی که در فضا-زمان چهاربعدی ${ℝ}^4$ نوشته شوند، زیباتر می‌شوند. در آن صورت تنها دو معادله وجود دارد. اولی $dF=0$ است که از $F=dA$ و $d^2=0$ آشکار است. دومی $d^{\ast }F=4\pi j$ است، که در آن $j$ $\mathbf{4}$-جریان است که هم چگالی بار $\sigma$ و هم جریان الکتریکی $i$ را رمزگذاری می‌کند. اکنون $dF=0$ در یک ناحیه‌ی همبند ساده دلالت بر این دارد که $F=dA$، که در آن $A$ یک پتانسیل الکترومغناطیسی است. اگر $d^{\ast }A=0$ (که همیشه می‌توان با افزودن یک گرادیان به $A$ به آن دست یافت) معادله پواسون $$LA=(d{d}^{\ast }+d^{\ast }d)A=4\pi j.$$ را به دست می‌آوریم. این به طور کامل معادلات ماکسول را رمزگذاری می‌کند؛ می‌توانیم آن را در یک شبکه‌ی گسسته نیز بررسی کنیم. الکترومغناطیس کلاسیک در جهانی با چگالی بار و جریان $j$ میدان $F=dA$ است، که در آن $A$ از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

۳۶.۵ مکانیک کوانتومی

۳۶.۵.۱ میدان کوانتومی گسسته بر روی گایا

در این آخرین تکلیف، با یک جهان کوچک $G$ سروکار داریم. آن را گایا می‌نامیم، ایزد نخستین زمین. در اساطیر یونانی، گایا دختر آیتر خدای هوا و همرا الهه‌ی نور بود. ما فقط میدان گرانشی، میدان الکترومغناطیسی روی $G$ و چند کوانتا را ایجاد می‌کنیم، بنابراین در این جهان ماده و نور وجود خواهد داشت. اما ریاضیات آن دقیقاً مانند جهانی است که در آن زندگی می‌کنیم: میدان گرانشی کلاسیک با زبان گاوس توصیف می‌شود که دیدیم به قانون گرانش نیوتن منجر می‌شود. میدان الکترومغناطیسی مطابق با ماکسول، اما مستقیماً در فضا-زمان فرمول‌بندی می‌شود. همچنین کمی به مکانیک کوانتومی نگاه می‌کنیم، زیرا مقادیر ویژه و بردارهای ویژه‌ی لاپلاسین $L$ هنگام بررسی معادله‌ی ویلر-دویت، یک معادله‌ی شرودینگر مستقل از زمان در فضا-زمان، نقش ایفا می‌کنند.

۳۶.۵.۲ تحول زمانی روی شبکه‌های گسسته

معادله‌ی شرودینگر وابسته به زمان، همانطور که در مقدمه ذکر شد، قابل مطالعه است. برای گراف‌ها، این یک معادله‌ی دیفرانسیل معمولی است.

۳۶.۶ فراتر

۳۶.۶.۱ از کوارک‌ها تا کیهان

بقیه به عهده‌ی شماست: باقی می‌ماند که اجزای فرمیونی ماده (کوارک‌ها (سازنده‌ی مزون‌ها و باریون‌ها) و همچنین لپتون‌ها) و بوزون‌ها (فوتون‌ها، گلوئون‌ها، بوزون‌های برداری و هیگز) و همچنین چند جزئیات دیگر به نام مدل استاندارد گنجانده شوند. از تکلیف شکایت نکنید، یک دانشجوی سابق $22$ یک تکلیف با ${10}^{222}$ گره را در کمتر از $7$ روز حل کرده است...

تمرین‌ها

مختصری از جبر خطی

۳۶.۶.۲ هندسه‌ی گایا

در گایا، فضای $0$-فرم‌ها $4$-بعدی، فضای $1$-فرم‌ها $5$-بعدی و فضای $2$-فرم‌ها $2$-بعدی است.

۳۶.۶.۳ گرادیان‌ها، کرل‌ها و همبندی

ماتریس دیراک $D=d+d^{\ast }$ را در سمت چپ و لاپلاسین $$L=D^2=d{d}^{\ast }+d^{\ast }d$$ را در سمت راست می‌بینیم. $4$ ستون اول شامل بلوک $d_0:{\mathrm{\Lambda }}^0\to {\mathrm{\Lambda }}^1$ است که گرادیان است، بلوک بالایی در $5$ ستون میانی $d_0^{\ast }$، واگرایی است. بلوک پایینی $d_1:{\mathrm{\Lambda }}_1\to {\mathrm{\Lambda }}_2$ کرل است. بلوک در $2$ ستون آخر $d_1^{\ast }:{\mathrm{\Lambda }}^2\to {\mathrm{\Lambda }}^1$ است که هر یک از مثلث‌ها روی $3$ یال مجاور تأثیر می‌گذارد. عدد $b_0$ بعد هسته‌ی $L_0$ است. به آن عدد بتی $0$-ام گفته می‌شود و تعداد مؤلفه‌های همبندی $G$ را می‌شمارد (ما جهان چندگانه نداریم)، عدد $b_1$ تعداد "حفره‌ها" است، هیچ کدام وجود ندارد. گایا همبند ساده است.

۳۶.۶.۴ از گرادیان‌ها تا کیرشهف

گرادیان $d$ یک ماتریس است که یک تابع روی رئوس را به یک تابع روی یال‌ها نگاشت می‌کند. این یک ماتریس $|E|\times |V|$ است. در Mathematica، می‌توانید $d^{\ast }$ را با "ماتریس وقوع" به دست آورید. توجه داشته باشید که Mathematica بین گراف‌های جهت‌دار و بدون جهت تمایز قائل می‌شود و گرادیان ترانهاده‌ی $d$ است. برای محاسبه‌ی ماتریس کیرشهف $K$، باید از گراف بدون جهت استفاده کنید. سپس $K=d^{\ast }d$. در اینجا مثالی برای تأیید $K=d^{\ast }d=\mathrm{divgrad}$ آورده شده است.