تعاریف، قضایا و اثبات‌ها

3.1 مقدمه

3.1.1 ریاضیات: علم جاودان

یکی از چیزهای واقعاً شگفت‌انگیز درباره ریاضیات این است که چارچوبی است که اگر چیزی در آن تثبیت شود، برای تمام ابدیت حقیقت باقی خواهد ماند. تمرکز بیشتر علوم به‌سرعت و غالباً تغییر می‌کند، کل پارادایم‌ها عوض می‌شوند. ریاضیات نیز البته تکامل می‌یابد. اما حقایق تثبیت‌شده تغییر نمی‌کنند. قضیه فیثاغورث که در سخنرانی اول اثبات کردیم، چیزی است که یک میلیون سال دیگر نیز همچنان درست خواهد بود. زبانی که با آن یک گزاره را توصیف می‌کنیم، تقریباً به‌طور قطع در چارچوب ریاضی آینده کاملاً تغییر خواهد کرد. اما خود گزاره فیثاغورث همچنان معتبر خواهد ماند.

3.1.2 تأثیر تعاریف دقیق

یکی از مهم‌ترین منابع سردرگمی، تعاریف شلخته هستند. ریاضیات از همان ابتدا بر تعاریف دقیق و بدون ابهام اصرار ورزیده است. ما این را در سخنرانی اول دیدیم. تعریف «بردار» به‌عنوان کمیتی با اندازه و جهت، نه تنها مبهم و نادرست است (چون بردار صفر را در بر نمی‌گیرد)، بلکه شما را به نوعی «درک» فریبنده می‌کشاند، چرا که همه ما از زندگی روزمره شهودی درباره اندازه (مانند «طول») و «جهت» داریم. حتی در «علوم سخت» نیز اغلب پیش می‌آید که از تعاریف شلخته استفاده شود. خب، نباید زیاد مغرور باشیم. به‌طور کلی، ارائه تعاریفی دقیق و در عین حال ظریف، کاری نسبتاً دشوار است. در فیزیک، مدت‌ها طول کشید تا مفاهیمی مانند «vis viva» کنار گذاشته شوند و با تعاریف دقیقی مانند تکانه یا انرژی جنبشی جایگزین گردند. این امیلی دو شاتله بود که اساساً در شفاف‌سازی تعاریف و تمایز تکانه $mv$ و انرژی $m{v}^2/2$ نقش داشت.

3.1.3 قضایا به‌عنوان سنگ بنای ریاضیات

ستون فقرات ریاضیات، قضایا هستند. این‌ها گزاره‌هایی هستند که با استفاده از دنباله‌ای دقیق از استدلال‌ها تأیید شده‌اند، جایی که هر گام یا یک گام منطقی پایه است یا از یک قضیه اثبات‌شده پیشین استفاده می‌کند. بسیار مهم است که هیچ قضیه نادرستی در این فرایند وجود نداشته باشد. در غیر این صورت، هر آنچه بر پایه آن بنا شده است فرو خواهد ریخت. ریاضیات مانند یک برنامه کامپیوتری بزرگ است که در آن رویه‌های منفرد، همان قضایا هستند. اگر یکی از رویه‌ها معیوب باشد، می‌تواند کل سیستم را از کار بیندازد. همواره این خطر وجود دارد که یک اثبات ناقص یا نادرست از آب درآید و تاریخ نشان داده است که این امر بارها و بارها رخ داده است. در بیشتر موارد، می‌توان گزاره را اصلاح کرد. گاهی اوقات، نمی‌توان آن را اصلاح کرد زیرا گزاره مثال‌های نقض دارد. در آن صورت، باید گزاره را تغییر داد یا تعاریف را به‌گونه‌ای تطبیق داد که درست شود. لاکاتوش در کتاب مشهور خود «اثبات‌ها و ابطال‌ها» این موضوع را در زمینه فرمول گوهر اویلر $V-E+F=2$ که در سخنرانی دوم دیدیم، به تصویر کشیده است. این جایی است که تعاریف شلخته برای مفهوم «چندوجهی» به گزاره‌های نادرست منجر شد و قضیه به مرور زمان نیاز به ترمیم پیدا کرد.

3.2 سخنرانی

3.2.1 تجزیه به عوامل اول

قضایا گزاره‌های ریاضی هستند که می‌توان با ارائه یک اثبات، آن‌ها را تأیید کرد. یک اثبات تضمین می‌کند که قضیه درست است و در آینده نیز معتبر باقی می‌ماند.

بیایید به مثالی از یک قضیه نگاه کنیم. این قضیه پیشتر توسط اقلیدس اسکندرانی شناخته و اثبات شده بود. این قضیه با اعداد صحیح و اعداد اول سروکار دارد، اعداد صحیح مثبت بزرگ‌تر از $1$ که تنها بر ۱ یا خودشان بخش‌پذیرند. این قضیه می‌گوید که هر عدد صحیح مثبت، یا ۱ است، یا اول است، یا حاصل‌ضرب دو یا چند عدد اول است. برای فرمول‌بندی زیباتر قضیه، مفهوم حاصل‌ضرب را گسترش می‌دهیم و می‌گوییم که یک عدد اول، حاصل‌ضرب $k=1$ عدد اول است و عدد ۱ حاصل‌ضرب $k=0$ عدد اول است. همچنین می‌گوییم عدد $20=2\ast 2\ast 5$ حاصل‌ضرب $k=3$ عدد اول است، حتی با وجود اینکه عدد اول ۲ دو بار ظاهر می‌شود. این شبیه مولکول آب ${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}=\mathrm{H}\ast \mathrm{H}\ast \mathrm{O}$ است که شامل $k=3$ اتم می‌شود، زیرا هیدروژن $H$ دو بار و اکسیژن $O$ یک بار ظاهر می‌شود. اکنون، همان‌طور که هر مولکولی به اتم‌ها تجزیه می‌شود، هر عددی نیز به اعداد اول تجزیه می‌شود:

این یک گزاره قابل توجه است، زیرا بی‌نهایت عدد صحیح وجود دارد. بنابراین نمی‌توانیم یک فهرست بی‌نهایت را مرور کنیم و تک‌تک بررسی کنیم. ممکن است پیشینی چنین اتفاقی بیفتد که برای عددی بسیار بزرگ، مانند عدد فرما $F_{1000}=2^{\left(2^{1000}\right)}+1$، که حتی در جهان ما قابل نوشتن نیست،¹ این گزاره نقض شود.

3.2.2 اهمیت تعاریف روشن

برای آنکه چنین گزاره‌ای قابل تأیید یا ابطال باشد، ابتدا باید اطمینان حاصل کرد که اشیاء با تعاریف روشن توصیف شده‌اند. در جمله بالا، این بدان معناست که باید بدانیم «اعداد صحیح» چیستند، «حاصل‌ضرب» چیست و «اعداد اول» چه هستند. این به‌طور کلی هم مسئله‌ای دشوار است. بیشتر سردرگمی‌هایی که در طول تاریخ در علم رخ داده‌اند (و هنوز هم رخ می‌دهند!) بر پایه تعاریف شلخته بوده‌اند.²

3.2.3 فراتر از مثال‌ها به اثبات‌ها

هنگامی که تعاریف اجزای گزاره روشن شد، روشن‌سازی معنای آن سودمند است. ما با نگاه کردن به مثال‌ها شهود کسب می‌کنیم. برای نمونه می‌بینیم که $100=2\ast 2\ast 5\ast 5$ در واقع حاصل‌ضربی از اعداد اول است. همچنین می‌بینیم که $7$ یک عدد اول است. مثال‌ها عالی هستند، اما در این مرحله مهم است که درک کنیم:

بعداً در این دوره به این موضوع بازخواهیم گشت.

3.2.4 استقرای ریاضی

یکی از فنون مهم اثبات، اصل استقرای ریاضی است.³ این اصل بیشتر برای اعداد صحیح به کار می‌رود، اما همان‌طور که در سخنرانی دوم دیدیم، می‌تواند برای ماتریس‌ها نیز استفاده شود. این اصل برای گزاره‌های $S(n)$ که به یک عدد $n$ وابسته‌اند، به کار می‌رود.

3.2.5 مثالی برای استفاده از استقرای ریاضی

در اینجا یک مثال است:

3.2.6 بازگویی قضیه تجزیه به عوامل اول

بیایید به قضیه اعداد اول در بالا نگاه کنیم. برای اینکه این را به گزاره‌ای تبدیل کنیم که بتوانیم از $n$ به $n+1$ تعمیم دهیم، گزاره را به شکل زیر تغییر می‌دهیم:

3.2.7 اثبات قضیه تجزیه به عوامل اول با استقرا

$S(2)$ درست است، زیرا $\{2\}$ تنها شامل یک عدد است که اول می‌باشد. اکنون فرض کنید $S(n)$ درست باشد، به این معنا که گزاره برای $n$ برقرار است، ثابت کنید که $S(n+1)$ درست است. دو حالت وجود دارد: اگر $n+1$ اول باشد، آنگاه $S(n+1)$ درست است. اگر $n+1$ اول نباشد، آنگاه $n=ab$ که در آن $a$ و $b$ اعدادی بزرگ‌تر از $1$ اما کوچک‌تر از $n$ هستند. بنا به فرض استقرا، هر دو $a$ و $b$ به اعداد اول تجزیه می‌شوند: $a=p_1{p}_2\dots p_k$ و $b=q_1{q}_2\dots q_l$ که در آن $p_j$ و $q_j$ اعداد اول هستند. بنابراین، $n+1=p_1{p}_2\dots p_k{q}_1{q}_2\dots q_l$.

3.2.8 درک محدودیت‌های قضایای ریاضی: پرهیز از زیاده‌روی و تفسیر نادرست

درک گزاره و عدم زیاده‌روی در آن مهم است. ما اثبات نکرده‌ایم که هر عدد صحیح دارای تجزیه‌ای یکتا به عوامل اول است. این موضوع برای اقلیدس شناخته‌شده نبود (او شاید حتی به آن فکر هم نکرده بود). این تنها ۲۰۰۰ سال بعد توسط گاوس اثبات شد. یک اشتباه رایج که در اثبات‌های ریاضی رخ می‌دهد این است که فرد قضیه‌ای را نقل می‌کند که شناخته‌شده است، اما دامنه آن را بیش از حد گسترش می‌دهد یا یکی از مفروضات را فراموش می‌کند.

3.2.9 نوآوری ریاضی از طریق اشتباهات

اگر فکر می‌کنید چنین اشتباهاتی تنها برای تازه‌کارها رخ می‌دهد، این‌طور نیست. لئونارد اویلر، که احتمالاً بزرگ‌ترین ریاضیدان تمام اعصار است، زمانی تلاش کرد قضیه آخر فرما را با کار کردن در دستگاه‌های عددی گسترش‌یافته مانند $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ که همه اعداد به فرم $a+\sqrt{-3}b$ هستند، اثبات کند، جایی که $a,b$ اعداد صحیح هستند. می‌بینید که می‌توان چنین اعدادی را مانند اعداد صحیح جمع و ضرب کرد و در همان رده باقی ماند. اثبات اقلیدس همچنین نشان می‌دهد که یک تجزیه به عوامل اول وجود دارد. اما تجزیه‌های اول متفاوتی می‌توانند وجود داشته باشند. یک مثال $4=2\ast 2=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$ است. اشتباه مشابهی توسط گابریل لامه انجام شد که در سال ۱۸۴۷ اثباتی برای قضیه آخر فرما اعلام کرد مبنی بر اینکه برای $n\ge 3$، هیچ جوابی برای $x^n+y^n=z^n$ وجود ندارد مگر اینکه $xyz=0$. ایده نبوغ‌آمیز لامه تجزیه $x^n+y^n$ به عوامل خطی با استفاده از اعدادی بود که در شرط ${\xi }^n=1$ صدق می‌کنند، که اصطلاحاً ریشه‌های واحد نامیده می‌شوند. در اینجا نیز، اقلیدس نشان می‌دهد که تجزیه به عوامل اول وجود دارد، اما در اینجا نیز یکتا نیست. این اشتباه در واقع بسیار مهم بود. این امر به «نظریه ایده‌آل‌ها» توسط ارنست کومر انجامید که امکان اثبات قضیه آخر فرما را در موارد خاصی فراهم کرد.

⁴

3.2.10

البته، ما باید به هر قیمتی تلاش کنیم از اشتباهات در محصول نهایی پرهیز کنیم. اویلر قطعاً با خلق حجم عظیمی از ریاضیات که برای تمام ابدیت حقیقت باقی خواهد ماند، این حق را به دست آورد که مرتکب برخی اشتباهات شود. اما اشتباهات می‌توانند بسیار ابتدایی‌تر باشند. در اینجا یک مثال زیبا از پولیا آورده شده است:⁵

اثبات: فرض استقرا روشن است، زیرا برای $n=1$، همه اسب‌ها همرنگ هستند. اکنون فرض کنید که این گزاره برای همه گروه‌های $n$ تایی اسب درست باشد. $n+1$ اسب را در نظر بگیرید و اولی را کنار بگذارید. این‌ها $n$ اسب هستند، بنابراین همه همرنگ‌اند. حالا اولی را برگردانید و آخری را کنار بگذارید. باز هم $n$ اسب داریم، بنابراین همه همرنگ‌اند. در نتیجه همه همرنگ هستند.

در اینجا چند سرگرمی دیگر:

3.2.11 اثبات قضیه فوق!!

اثبات: هیچ گربه‌ای بی‌دم نیست. گربه‌ای که دم دارد، یک دم بیشتر از هیچ گربه‌ای دارد. هیچ گربه‌ای هشت دم ندارد. بنابراین، گربه‌ها نه دم دارند.

3.2.12

برای تعریف زیر از «اعداد اول» از:⁶

عدد اول عددی است بدون هیچ مقسوم‌علیه‌ای.
جعبه‌های شکلات همیشه شامل یک عدد اول هستند
تا هر تعداد آدمی که حاضر باشند،
یکی مجبور شود آن یکی اضافی را بردارد.

3.2.13 درک استقرای ریاضی و بی‌نهایت: بینش‌هایی از ترانه «بطری‌های آبجوی الف-نول»

چرا استقرا را از $n=1$ شروع می‌کنیم و نه از انتهای دیگر؟ آهنگ زیر دلیل آن را توضیح می‌دهد: (فقط به عنوان کمی پیش‌زمینه برای درک آهنگ: الف-نول $={\mathrm{\aleph }}_0$ کاردینالیتی اعداد طبیعی $\mathbb{N}$ است. ${\mathrm{\aleph }}_1$ کاردینالیتی بزرگتر بعدی است. کاردینالیتی اعداد حقیقی $ℝ$ برابر $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ است (همانطور که استدلال قطری کانتور نشان می‌دهد اعداد حقیقی قابل شمارش نیستند) که کاردینالیتی تمام زیرمجموعه‌های اعداد طبیعی است. کانتور نشان داده بود که بی‌نهایت‌های متفاوتی وجود دارند. ذهن زیبایی مانند کانتور البته پرسید که آیا بی‌نهایتی بین این دو بی‌نهایت وجود دارد.

گزاره $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$ فرضیه پیوستار است که به اختصار CH نامیده می‌شود. کار پل کوهن و کورت گودل در دهه شصت نشان می‌دهد که نمی‌توان این گزاره یا نقیض آن را از نظریه مجموعه‌های ZFC (یک سیستم اصول موضوعه از ریاضیات استاندارد ما که از آن می‌توان اصول پئانو شامل اصل استقرا را استخراج کرد) اثبات کرد. کانتور برای مدت طولانی تلاش کرد CH را اثبات کند، بی‌فایده. اکنون می‌دانیم که تلاش‌های او برای اثبات این از ابتدا محکوم به شکست بود. این امکان همیشه وجود دارد. این امکان وجود دارد (هرچند بسیار غیرمحتمل) که نتوانیم اثبات کنیم که هر عدد زوج بزرگتر از 2 مجموع دو عدد اول است، حتی در صورتی که درست باشد!⁷ مسئله فرضیه پیوستار اولین مسئله از مسائل هیلبرت در سال 1900 بود.

الف-نول بطری آبجو روی دیوار،
الف-نول بطری آبجو،
یکی را برمی‌داری و می‌گردانی،
الف-نول بطری آبجو روی دیوار.

3.2.14 طنز ریاضی: برداشت ر. اینسلی از معنای 'Q.E.D.'

و این هم نقل قول دیگری از اینسلی:

در انتهای یک اثبات می‌نویسید Q.E.D،

که مخفف

Quod Erat Demonstrandum

آنطور که کتاب‌ها می‌خواهند باور کنید نیست، بلکه مخفف Quite Easily Done است.

تمرین‌ها