بررسی: حسابان در ابرفضا

۳۸.۱ هندسه‌ها

۳۸.۱.۱ ${ℝ}^4$ مبانی

فضای اقلیدسی چهاربعدی ${ℝ}^4=M(4,1)$ فضای بردارهای ستونی با چهار مؤلفه حقیقی $X=[x,y,z,w{]}^T$ است. اگر چنین بردار را به عنوان یک نقطه در نظر بگیریم، آن را به صورت $X=(x,y,z,w)$ نیز می‌نویسیم. ضرب نقطه‌ای $=$ ضرب داخلی مانند همیشه امکان تعریف طول $|X|=\sqrt{X\cdot X}$، فاصله $|X-Y|$ و زوایا $\cos (\alpha )=(X\cdot Y)/(|X||Y|)$ بین بردارها را فراهم می‌کند. دستگاه مختصات دکارتی اکنون چهار محور دارد که بر یکدیگر عمود هستند. از نظر تاریخی، از آنجا که ${ℝ}^4$ همچنین فضای کواترنیون‌ها است، مرسوم است که جهت‌های مختصاتی را به صورت $$1=[1,0,0,0],i=[0,1,0,0],j=[0,0,1,0],k=[0,0,0,1]$$ برچسب‌گذاری کنیم. برای مثال یک بردار $[3,4,5,1]$ سپس به صورت $3+4i+5j+k$ نیز نوشته می‌شود. با این حال ما شکل برداری را حفظ خواهیم کرد. در بخش آخر این سند به این موضوع بازخواهیم گشت که چرا کواترنیون‌ها طبیعی هستند.

۳۸.۱.۲ بعد هسته‌ها

هسته ماتریس $1\times 4$ $A=[a,b,c,d]$ ابرصفحه خطی $$ax+by+cz+dw=0$$ را تعریف می‌کند. این یک فضای خطی $3$-بعدی است. یک مثال ابرصفحه مختصاتی $x=0$ است که از همه نقاط $\{(0,y,z,w)\mid y,z,w\in ℝ\}$ تشکیل شده است. به طور کلی‌تر، فضای جواب $$ax+by+dz+dw=e$$ یک ابرصفحه افین است. هسته یک ماتریس $2\times 4$ به طور کلی، به عنوان اشتراک دو ابرصفحه، یک صفحه $2$-بعدی است که آن را فقط صفحه می‌نامیم. هسته یک ماتریس $3\times 4$ $A$ به طور کلی یک خط است. از نظر هندسی، این اشتراک سه ابرصفحه است.

۳۸.۱.۳ گشت در ابرفضا: از کره‌ها تا ابرچنبره‌ها

یک ماتریس متقارن $4\times 4$ $B$، یک بردار سطری $A\in M(1,4)$ و یک ثابت $e$ ابرچهارگانه $X\cdot BX+AX=e$ را تعریف می‌کنند. برای یک ماتریس قطری $B=\mathrm{Diag}(a,b,c,d)$، این چهارگانه $$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+d{w}^2=e$$ را به دست می‌دهد. مثال‌ها عبارتند از $\mathbf{3}$-کره $x^2+y^2+z^2+w^2=1$، ابرسهمی‌گون $x^2+y^2+z^2=w$، $3$-استوانه $x^2+y^2+z^2=1$ که حاصلضرب یک $2$-کره و یک خط است. یا صفحه-استوانه $x^2+y^2=1$ که می‌توان آن را به عنوان حاصلضرب $1$-کره با یک $2$-صفحه دید. سه نوع ابرهذلولی‌گون مانند وجود دارد. می‌توان آن‌ها را با استفاده از شاخص مورس به عنوان برچسب، $\mathbf{1}$-ابر-ابرهذلولی‌گون، $\mathbf{2}$-ابر-ابرهذلولی‌گون و $\mathbf{3}$-ابر-ابرهذلولی‌گون نامید. هنوز $\mathbf{1}$-سهمی‌گون-هذلولی $x^2+y^2-z^2=w$ وجود دارد اما سطوح منحط‌تری مانند $x^2-y^2=w$ نیز هستند. چنبره دو بعدی ${𝕋}^2$ می‌تواند در اینجا به عنوان یک سطح درجه دوم تحقق یابد. این اشتراک $x^2+y^2=1$، $z^2+w^2=1$ است. این چنبره تخت است. ما نمی‌توانیم چنبره دو بعدی را به صورت تخت در فضای سه بعدی خود ${ℝ}^3$ تحقق بخشیم. در ابرفضا، این امکان‌پذیر است. همچنین یک چنبره سه بعدی ${𝕋}^3$ وجود دارد. برای به دست آوردن یک پارامتری‌سازی، با پارامتری‌سازی $2$-چنبره $$r(\varphi ,\theta )=[(3+\cos (\varphi ))\cos (\theta ),(3+\cos (\varphi ))\sin (\theta ),\sin (\varphi )]$$ شروع کنید، سپس دایره را گسترش دهید تا یک ابرچنبره به دست آید می‌بینید که برای هر $\psi$ ثابت یک $2$-چنبره داریم. می‌توانیم محاسبه کنیم $$4|dr|=18+6\cos (\varphi )+6\sin (\varphi )+\sin (2\varphi )$$ که همیشه مثبت است و بنابراین تأیید می‌کند که نگاشت از ${𝕋}^3$ به ${ℝ}^4$ به صورت موضعی یک‌به‌یک است. همچنین می‌توانیم به راحتی بررسی کنیم که اگر $\psi$ یا $\theta$ ثابت باشد، یک نسخه انتقال‌یافته و مقیاس‌شده از $2$-چنبره به دست می‌آید. اگر $\varphi$ ثابت باشد، $2$-چنبره تخت ذکر شده در بالا را به دست می‌آوریم.

۳۸.۱.۴ از منحنی‌ها تا ابرسطح‌ها: دیدن در ابرفضا

در حسابان تک متغیره، به نمودارهای $\{(x,y)\mid y=f(x)\}$ توابع یک متغیر نگاه می‌شود. در چندمتغیره، نمودارهای $\{(x,y,z)\mid z=f(x,y)\}$ توابع دو متغیر اضافه می‌شوند. نمودار یک تابع $w=f(x,y,z)$ اکنون یک فضای $3$-بعدی است. سهمی‌گون‌هایی مانند $w=x^2+y^2+z^2$ یا $w=x^2+y^2-z^2$ نمودار هستند. مثال دیگر ابرسطح زنگی سه بعدی $$w=f(x,y,z)={\pi }^{-3/2}{e}^{-x^2-y^2+z^2}$$ است، که در آن ثابت به گونه‌ای انتخاب شده است که ابرحجم $0\le w\le f(x,y,z)$ برابر با $1$ باشد. به دلایل واضح، معمولاً نمودار یک تابع از سه متغیر را رسم نمی‌کنیم زیرا باید در $4$ بعد رسم کنیم. اکنون، در ابرفضا، می‌توانیم این کار را انجام دهیم.

۳۸.۱.۵ پارامتری‌سازی با ابعاد بالاتر

فضاها را می‌توان به همان روشی که منحنی‌ها یا سطوح را در سه بعد پارامتری کردیم، پارامتری کرد. یک منحنی توسط چهار تابع حقیقی $x(t)$، $y(t)$، $z(t)$، $w(t)$ از یک متغیر تعریف می‌شود و به صورت $$r(t)=[x(t),y(t),z(t),w(t){]}^T$$ نوشته می‌شود. یک سطح توسط $$r(u,v)=[(x(u,v),y(u,v),z(u,v),w(u,v)]$$ پارامتری می‌شود. یک ابرسطح اکنون توسط $$r(u,v,t)=[x(u,v,t),y(u,v,t),z(u,v,t),w(u,v,t)]$$ تعریف می‌شود.

۳۸.۱.۶ تبدیل‌ها در ${ℝ}^4$

یک تغییر مختصات توسط یک نگاشت از ${ℝ}^4$ به ${ℝ}^4$ که توسط چهار تابع مشتق‌پذیر داده می‌شود تعریف می‌گردد: $$r(u,v,s,t)=[x(u,v,s,t),y(u,v,s,t),z(u,v,s,t),w(u,v,s,t)].$$ ما قبلاً پارامتری‌سازی $$r(\varphi ,{\theta }_1,{\theta }_0)=[\cos (\varphi )\cos ({\theta }_1),\cos (\varphi )\sin ({\theta }_1)\sin (\varphi )\cos ({\theta }_2),\sin (\varphi )\sin ({\theta }_2)]$$ از واحد $\mathbf{3}$-کره $=$ ابرکره $$x^2+y^2+z^2+w^2=1$$ را دیده‌ایم. از آنجا که $z=x^2+y^2+z^2$ یک استوانه است، یک دستگاه مختصات استوانه‌ای طبیعی در چهار بعد نیز وجود دارد. این دستگاه توسط $$r(\rho ,\varphi ,\theta ,w)=[\rho \sin (\varphi )\cos (\theta ),\rho \sin (\varphi )\sin (\theta ),\rho \cos (\varphi ),w]$$ داده می‌شود. اگر ماتریس ژاکوبی را بنویسیم و دترمینان را محاسبه کنیم، مانند مختصات کروی ${\rho }^2\sin (\varphi )$ به دست می‌آید.

۳۸.۲ میدان‌ها

۳۸.۲.۱ فرم‌های دیفرانسیلی در ${ℝ}^4$

یک تابع اسکالر $f(x,y,z,w)$ همچنین یک $0$-فرم نامیده می‌شود. یک میدان برداری با $F=[P,Q,R,S{]}^T$ نشان داده می‌شود و یک $\mathbf{1}$-فرم $F=[P,Q,R,S]$ به صورت $$F=Pdx+Qdy+Rdz+Sdw$$ نوشته می‌شود. یک $\mathbf{2}$-فرم $F$ دارای $6$ مؤلفه است: $$F=Adxdy+Bdxdz+Cdxdw+Pdydz+Qdydz+Rdzdw.$$ یک $\mathbf{3}$-فرم دوباره چهار مؤلفه دارد $$Pdydzdw+Qdxdzdw+Rdxdydw+Sdxdydz$$ و یک $\mathbf{4}$-فرم دوباره کاملاً توسط یک تابع اسکالر $f$ تعیین می‌شود زیرا $$F=fdxdydzdw.$$

۳۸.۲.۲ مشتقات خارجی فرم‌ها

مشتقات خارجی با استفاده از قانون ضدجابجایی مانند $$dxdy=-dydx\text{و}df=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz+f_{w}dw$$ محاسبه می‌شوند و این را به عبارت‌هایی مانند گسترش می‌دهیم. برای یک $1$-فرم $$F=Pdx+Qdy+Rdz+Sdw$$ داریم که به عبارتی با $6$ جمله ساده می‌شود. این به این دلیل است که هر جمله مانند $P_{yz}dzdydx$ با جمله‌ای مانند $P_{zy}dydzdx$ جفت می‌شود که حذف می‌شوند. برای یک $2$-فرم داریم که به ساده می‌شود. برای یک $3$-فرم $$F=Pdydzdw+Qdzdwdx+Rdwdxdy+Sdxdydz$$ داریم $$dF=(P_x-Q_y+R_z-S_w)dxdydzdw.$$

۳۸.۲.۳ عملگرهای دیفرانسیلی روی میدان‌ها

گرادیان یک تابع $f(x,y,z,w)$ به صورت $$\mathrm{\nabla }f(x,y,z,w)=d{f}^T=[f_x,f_y,f_z,f_w{]}^T$$ تعریف می‌شود. کرل یک میدان برداری $F(x,y,z,w)=[F_1,F_2,F_3,F_4{]}^T$ ابرمیدان $$dF=[F_{12},F_{13},F_{14},F_{23},F_{24},F_{34}{]}^T$$ است، که در آن ما فقط یک ترتیب لغت‌نامه‌ای انتخاب کرده‌ایم و در آن $F_{ij}={\partial }_{x_j}{F}_i-{\partial }_{x_i}{F}_j$. ابرکرل یک ابرمیدان برداری $$F(x,y,z,w)=[F_{12},F_{13},F_{14},F_{21},F_{23},F_{34}]$$ یک $3$-فرم است اما می‌تواند دوباره با یک میدان برداری $$dF=[F_{234},F_{134},F_{124},F_{123}{]}^T$$ مرتبط شود. واگرایی یک میدان برداری $F=[P,Q,R,S]$ یک $4$-فرم $$(P_x+Q_y+R_z+S_w)dxdydzdw$$ است اما می‌تواند دوباره با یک میدان اسکالر مرتبط شود.

۳۸.۲.۴ روابط بین عملگرهای دیفرانسیلی

در اینجا برخی از ویژگی‌هایی که قبلاً دیده‌ایم آورده شده است. گرادیان $\mathrm{\nabla }f=d{f}^T$ بر سطح تراز $f(x,y,z,w)=c$ عمود است. کرل گرادیان صفر است. ابرکرل کرل صفر است. واگرایی ابرکرل صفر است. واگرایی گرادیان لاپلاسین است (با استفاده از شناسایی‌ها، نگاشت واگرایی می‌تواند با الحاقی $-d^{\ast }$ شناسایی شود). قاعده زنجیره‌ای است.

۳۸.۲.۵ انتگرال‌گیری در ${ℝ}^4$

انتگرال خطی یک میدان برداری $F$ در امتداد یک منحنی $C$ به صورت است. انتگرال شار یک میدان برداری $F$ در امتداد یک سطح $2$-بعدی یک انتگرال شار است. انتگرال ابرشار یک ابرمیدان $F$ در امتداد یک سطح. انتگرال ابرحجم یک تابع $f$ بر روی یک جسم جامد $G$ به صورت $${⨌}_{G}f(x,y,z,w)dxdydzdw$$ است.

38.3 قضایا

38.3.1 قضیه بنیادی برای انتگرال‌های خطی در ${ℝ}^4$

قضیه بنیادی انتگرال‌های خطی به صورت زیر است:

38.3.2 قضیه استوکس

قضیه استوکس بیان می‌کند که برای یک سطح $S$ و $1$-فرم $F$:

38.3.3 قضیه استوکس با ابعاد بالاتر

قضیه ابراستوکس تضمین می‌کند که برای یک ابرسطح $S$ و یک $2$-فرم $F$، شار ابرکرل $F$ از طریق $G$ (یک انتگرال $3$بعدی) برابر با شار $F$ از طریق سطح مرزی $S$ (یک انتگرال $2$بعدی) است:

38.3.4 قضیه واگرایی

قضیه واگرایی تضمین می‌کند که برای یک $3$-فرم (که به عنوان یک میدان برداری $F$ شناسایی می‌شود) و یک جسم جامد $G$ با ابرسطح مرزی $S$، داریم:

38.4 چهارتایی‌ها

38.4.1 گروه‌های لی: از خمیر تا ذرات

ابرفضا ${ℝ}^4$ ویژه است: این تنها فضای اقلیدسی است که در آن کره واحد یک گروه لی ناآبلی است. یک گروه لی $G$ یک خمینه^۱ $r({ℝ}^m)\subset {ℝ}^n$ است که بر روی آن یک عمل گروهی $x\ast y$ وجود دارد به طوری که برای هر $y$، نگاشت‌های $x\to x\ast y$ و $x\to y\ast x$ نگاشت‌های هموار بر روی $G$ هستند. برای داشتن یک گروه $(G,\ast )$ باید خاصیت $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ برقرار باشد و یک $\mathbf{1}$-عنصر $1\ast x=x\ast 1=x$ وجود داشته باشد به طوری که هر عنصر $x$ دارای معکوس $x^{-1}$ باشد که $x\ast x^{-1}=1$ را برآورده کند. دایره $$\{x^2+y^2=1\}=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}$$ نمونه‌ای از یک گروه است. این ضرب آبلی است اگر $x\ast y=y\ast x$ برای همه $x,y\in G$ باشد. صفحه مختلط $ℂ={ℝ}^2$ به عنوان تنها فضای اقلیدسی ${ℝ}^n$ مشخص می‌شود که در آن کره واحد ${𝕋}^1=\{|x|=1\}$ یک گروه لی آبلی است. چرا گروه‌های لی؟ آنها خمیری هستند که ذرات بنیادی از آن پخته می‌شوند! برای مثال، الکترومغناطیس از ${𝕋}^1$ ساخته شده است.

38.4.2 از بردارها تا یک جبر تقسیم

می‌توان یک بردار در ${ℝ}^4$ را به صورت $$v=a+ib+jc+kd$$ نیز نوشت که در آن $i$، $j$، $k$ نمادهایی هستند. همیلتون متوجه شد که با تعریف $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1,$$ فضای $4$-بعدی به یک جبر تبدیل می‌شود. یک جبر یک فضای خطی است که همچنین دارای یک ضرب است. اکنون ما قبلاً $M(2,2)$، فضای ماتریس‌های $2\times 2$ را داریم که یک جبر $4$-بعدی است، اما جبری که همیلتون پیدا کرد یک جبر تقسیم است: هر عنصر غیرصفر را می‌توان معکوس کرد. این برای $M(2,2)$ صادق نیست. برای مثال، ماتریسی که در آن همه عناصر $1$ هستند غیرصفر است اما معکوس‌پذیر نیست.

38.4.3 مبانی چهارتایی: مزدوج و نرم

جبری که همیلتون از طریق روابط $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$ تعریف کرد، جبر چهارتایی $ℍ$ نامیده می‌شود. اگر $$\overline{v}=a-ib-jc-kd,$$ آنگاه $|v{|}^2=v\cdot v=v\overline{v}$، که در آن سمت راست یک ضرب چهارتایی است. به راحتی می‌توان بررسی کرد که $|vw|=|v||w|$. دلیل این است که چهارتایی‌های $v$ را می‌توان به عنوان ماتریس‌های مختلط $2\times 2$ تحقق بخشید: اگر آنگاه $|v|=\det (A(v))$ و $A(v)A(w)=A(vw)$. هوش مصنوعی مورد علاقه شما به بررسی سریع این هویت آخر کمک می‌کند.

38.4.4 جبرهای تقسیم

یک جبر با خاصیت $|v\ast w|=|v||w|$ یک جبر تقسیم نرم‌دار است. با قضایای هورویتز و فروبنیوس، تنها چهار عدد وجود دارد: اعداد حقیقی $ℝ$، اعداد مختلط $ℂ$، چهارتایی‌ها $ℍ$ و هشت‌تایی‌ها $𝕆$. برای یک جبر تقسیم شرکت‌پذیر، کره واحد یک گروه لی است. از آنجایی که کره واحد $ℝ$ فقط دو نقطه دارد، دایره $1$-بعدی $\{|z|=1\}\subset ℂ$ و کره $3$-بعدی واحد $\{|z|=1\}\subset ℍ$ تنها کره‌هایی هستند که گروه‌های لی هستند. یک نمونه غیرجابجایی‌پذیر منحصربه‌فرد وجود دارد، کره $3$-بعدی، و یک نمونه جابجایی‌پذیر همبند منحصربه‌فرد، کره $1$-بعدی.