انتگرال دوگانه

فهرست مطالب

22.1 مقدمه
22.2 سخنرانی
22.3 مثال‌ها
تمرین‌ها
پیوست: تصویرسازی داده‌ها: مونت کارلو

22.1 مقدمه

22.1.1 فراتر از یک‌بعدی: مساحت و انتگرال‌ها

هنگام انتگرال‌گیری از یک تابع پیوسته $f (x, y)$ بر روی یک دامنه دو بعدی $R \subset ℝ^{2}$ ، می‌توانیم دوباره مانند حالت یک بعدی از جمع‌های ریمان استفاده کنیم و به $\iint_{R} f (x, y) d A$ برسیم. یک حالت خاص از یک تابع پیوسته، تابع $f (x, y) = 1$ است. اگر $\iint_{R} 1 d A$ را انتگرال بگیریم، مساحت را به دست می‌آوریم. برخلاف حالت یک بعدی که یک دامنه فقط یک بازه است، در دو بعد می‌توانیم نواحی بسیار جالب‌تری داشته باشیم.

**شکل 1.** مساحت مجموعه ماندلبرو چقدر است؟ انتگرال $\iint_{R} f (x, y) d A$ تفسیری به عنوان حجم زیر نمودار $f$ دارد. اگر ارتفاع ثابت $1$ باشد، آنگاه حجم برابر است با مساحت $\iint_{R} 1 d A = | R |$ ناحیه $R$ . برای مجموعه ماندلبرو مساحتی کمی بالاتر از $1.5$ اندازه‌گیری می‌کنیم.

22.1.2 ابعاد بالاتر، انتگرال‌های بیشتر

انتگرال‌گیری در دو بعد یک نمونه اولیه خوب است. دانستن این وضعیت چندبعدی، به ما امکان می‌دهد تا نحوه انتگرال‌گیری در $3$ بعد یا بیشتر را نیز درک کنیم. هفته آینده یاد خواهیم گرفت که چگونه مساحت یک سطح را محاسبه کنیم. اما انتگرال‌های بعدی در ابعاد بالاتر نیز اهمیت دارند: اگر یک به اصطلاح $2$ -فرم $F$ را روی یک سطح دو بعدی انتگرال بگیریم، انتگرال‌های دوگانه به دست می‌آید. یک مثال از یک $2$ -فرم، میدان الکترومغناطیسی است که به عنوان "نور" نیز شناخته می‌شود. نظریه‌پردازان ریسمان در فضاهای با ابعاد بالاتر کار می‌کنند. سطحی که توسط یک ریسمان متحرک ردگیری می‌شود، یک سطح $2$ -بعدی به نام "ورقه-جهان" است. مساحت سطح آن کنش نامبو-گوتو نامیده می‌شود که نقش طول را در مکانیک کلاسیک ایفا می‌کند. این یک انتگرال دوگانه است.

22.1.3 حسابان، انتگرال‌گیری و ناشناخته‌ها

همانطور که ذرات در کوتاه‌ترین مسیرها به نام ژئودزیک حرکت می‌کنند، ریسمان‌ها در مسیرهایی حرکت می‌کنند که در آنها مساحت سطح کمینه می‌شود. با این حال، همه سوار قطار نظریه ریسمان نشده‌اند و این نظریه به یک بن‌بست منجر شد. ما هنوز نمی‌دانیم. در هر صورت، تلاش برای درک بلوک‌های سازنده اساسی فضا، زمان و ماده هیجان‌انگیز است. ما در زمان جالبی زندگی می‌کنیم که نظریه‌های بسیار موفقی مانند مدل استاندارد (SM)، مکانیک کوانتومی (QM) یا نسبیت عام (GR) اندازه‌گیری‌ها را با دقت فوق‌العاده‌ای مطابقت می‌دهند. نظریه‌های جالب دیگری نیز وجود دارند که فاقد تأیید تجربی هستند. با این حال، بدون شک حسابان و به طور خاص نظریه انتگرال‌گیری، در آینده نیز نقش مهمی ایفا خواهند کرد، هر آنچه در پیش باشد.

22.2 سخنرانی

22.2.1 انتگرال دوگانه و وجود آن

با توجه به یک ناحیه کراندار $R$ در $ℝ^{2}$ و یک تابع پیوسته $f (x, y) : R \to ℝ$ ، انتگرال ریمان $I = \iint_{R} f (x, y) d A$ را به عنوان حد $n \to \infty$ از $I_{n} = \sum_{(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \in R} f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \frac{1}{n^{2}}$ تعریف می‌کنیم. ناحیه کراندار $R$ به عنوان زیرمجموعه بسته‌ای از $ℝ^{2}$ تعریف می‌شود که توسط تعداد متناهی منحنی مشتق‌پذیر $R = {g_{1} \leq c_{1}, \dots, g_{k} \leq c_{k}}$ محدود شده است. همانطور که قبلاً در یک بعد بود، تعریف به گونه‌ای طراحی شده است که مستقل از جهتی که روی $R$ انتخاب می‌شود باشد. ما مانند جمع‌بندی یک صفحه گسترده انتگرال می‌گیریم. فقط تمام ورودی‌ها را جمع کنید. برای توجیه وجود حد، می‌توانیم دوباره از قضیه هاینه-کانتور استفاده کنیم که می‌گوید $f$ روی $R$ پیوسته است اگر و فقط اگر به طور یکنواخت پیوسته باشد. این بدان معناست که اعدادی مانند $M_{n} \to 0$ وجود دارند به طوری که اگر $| (x_{1}, y_{1}) - (x_{2}, y_{2}) | \leq 1 / n$ ، آنگاه $| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq M_{n}$ .

قضیه 1. برای $f$ پیوسته روی یک ناحیه کراندار $R$ ، $\iint_{R} f d x d y$ وجود دارد.

اثبات. در هر مکعب $Q_{i j} = {i / n \leq x \leq (i + 1) / n, j / n \leq y \leq (j + 1) / n} \cap R$ $a_{i j} = min_{(x, y) \in Q_{i j}} f (x, y)$ و $b_{i j} = max_{(x, y) \in Q_{i j}} f (x, y)$ را تعریف کنید. از آنجایی که فرض شد مرز توسط مجموعه‌ای از منحنی‌ها داده شده است که طول کمان کل متناهی $L$ دارند، تعداد مکعب‌های $Q_{i j}$ که با مرز $C$ تلاقی می‌کنند توسط $4 L n$ محدود می‌شود (یک منحنی به طول 1 حداکثر می‌تواند 4 مربع را لمس کند). همچنین $F = max_{(x, y) \in R} | f (x, y) |$ را تعریف کنید. با $K_{n} = 4 L F / n$ داریم: $A_{n} - K_{n} \leq I_{n} \leq B_{n} + K_{n}$ که در آن $A_{n} = \sum_{i, j} a_{i j} / n^{2}$ و $B_{n} = \sum_{i, j} b_{i j} / n^{2}$ و $K_{n}$ مراقب مکعب‌های $Q_{i j}$ است که با مرز $R$ تلاقی می‌کنند و بنابراین فقط به صورت جزئی مشارکت دارند. فرض کنید $I$ حد بالایی $I_{n}$ باشد. داریم $B_{n} - A_{n} \leq M_{n} n^{2} / n^{2} = M_{n} \to 0$ و همچنین $K_{n} \to 0$ به طوری که $| I_{n} - I | \leq M_{n} + K_{n} \to 0$ . ◻

22.2.2 قضیه فوبینی

ما به ندرت انتگرال‌ها را با استفاده از جمع‌های ریمان ارزیابی می‌کنیم. خوشبختانه می‌توان یک انتگرال دوگانه را به انتگرال‌های تکی کاهش داد. این کار را می‌توان برای نواحی پایه‌ای انجام داد که از دو نوع ناحیه تشکیل شده‌اند: نواحی "از پایین به بالا" $R = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, c (x) \leq y \leq d (x)}$ یا نواحی "از چپ به راست" $R = {(x, y) ∣ a (y) \leq x \leq b (y), c \leq y \leq d} .$ با برش یک ناحیه کلی به قطعات کوچکتر مانند تقاطع با مکعب‌های به اندازه کافی کوچک $Q_{i, j}$ که در بالا تعریف شد، می‌توانیم هر ناحیه را به صورت اتحادی از چنین نواحی پایه‌ای بنویسیم: برای $n$ به اندازه کافی بزرگ، هر $Q_{i j} \cap R$ یک ناحیه پایه‌ای است. اکنون می‌توانیم انتگرال را در حالت اول به صورت $\int_{a}^{b} [\int_{c (x)}^{d (x)} f (x, y) d y] d x$ و در حالت دوم به صورت $\int_{c}^{d} [\int_{a (y)}^{b (y)} f (x, y) d x] d y$ تعریف کنیم. آیا این یکسان است؟ این با فوبینی پاسخ داده می‌شود، که قبلاً از آن استفاده کرده‌ایم. فرض کنید $R$ یک مستطیل باشد $R = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, c \leq y \leq d} .$ در اینجا قضیه فوبینی آمده است:

**شکل 2.** نواحی "از پایین به بالا" و "از چپ به راست".

قضیه 2. $\iint_{R} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} [\int_{c}^{d} f (x, y) d y] d x = \int_{c}^{d} [\int_{a}^{b} f (x, y) d x] d y .$

اثبات. ابتدا یک تغییر مختصات انجام دهید تا $R = [0, 1] \times [0, 1]$ به دست آید، سپس $R$ را با $n^{2}$ مکعب $Q_{i j}$ به طول ضلع $1 / n$ بپوشانید. برای هر $y$ یک تابع یکنواخت پیوسته $x \to f (x, y)$ و برای هر $x$ یک تابع یکنواخت پیوسته $y \to f (x, y)$ داریم و ثابت‌های $M_{n}$ برای همه کار می‌کنند: $M_{n} \to 0$ وجود دارد به طوری که اگر $| x_{1} - x_{2} | < 1 / n$ و $| y_{1} - y_{2} | < 1 / n$ ، آنگاه $| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq M_{n}$ . اکنون از نماد $A \sim_{c} B$ استفاده کنید اگر $| A - B | \leq c$ و به دست آورید به طور مشابه، می‌توانیم نشان دهیم $\iint_{R} f (x, y) d A \sim_{3 M_{n}} \int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} f (x, y) d x] d y$ . ◻

22.2.3 زمانی که فوبینی شکست می‌خورد

بدون پیوستگی، فوبینی نادرست است: مثال استاندارد در شکل (22.3) نشان داده شده است:

اثبات. به طوری که و ◻

22.2.4 نمادگذاری چند-شاخصی و انتگرال‌های با ابعاد بالاتر

انتگرال‌ها در ابعاد بالاتر به همین ترتیب تعریف می‌شوند. ما بعداً به طور خاص حالت سه بعدی را پوشش خواهیم داد. اجازه دهید فعلاً فقط تعریف را اضافه کنیم. با توجه به یک ناحیه $m$ بعدی $R$ در $ℝ^{m}$ و یک $f : ℝ^{m} \to ℝ$ پیوسته، با استفاده از نمادگذاری چند-شاخصی $x = (x_{1}, \dots, x_{m}), d x = d x_{1} \dots d x_{m}, and i / n = (i_{1} / n, \dots, i_{m} / n)$ تعریف کنید $\int_{R} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{m}} \sum_{\frac{i}{n} \in R} f (\frac{i}{n}) .$ یک ناحیه اکنون مجموعه‌ای است $R = {x \in ℝ^{m} ∣ g_{1} (x) \leq c_{1}, \dots, g_{k} (x) \leq c_{k}}$ که در آن $g_{k}$ توابع هموار هستند. به آن کراندار گفته می‌شود اگر $ρ > 0$ وجود داشته باشد به طوری که $R \subset {| x | \leq ρ}$ .

**شکل 3.** انتگرال‌گیری روی یک ناحیه از طریق انتگرال ریمان. یک انتگرال دوگانه یک حجم علامت‌دار است. قسمت‌هایی که $f < 0$ است حجم منفی است. فوبینی می‌تواند شکست بخورد، حتی اگر هر دو انتگرال شرطی وجود داشته باشند.

22.3 مثال‌ها

مثال 1. اگر $f (x, y) = 1$ ، آنگاه $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ مساحت $R$ است. برای مثال، اگر

مثال 2. ما از حسابان تک متغیره می‌دانیم که $\int_{a}^{b} f (x) d x$ مساحت علامت‌دار زیر منحنی $f$ است. برای $f (x) \geq 0$ ، که در آن مساحت است، می‌توانیم این را به صورت $\int_{a}^{b} \int_{0}^{f (x)} 1 d y d x$ بنویسیم. توجه داشته باشید که همانطور که انتگرال‌ها را تعریف کرده‌ایم، اگر $f (x)$ در جایی منفی باشد، هم‌ارزی نادرست خواهد بود. این انتگرال دوگانه است که مفهوم صحیح مساحت است. برای مثال، مساحت ناحیه محدود شده توسط منحنی $y = 1 / (1 + x^{2})$ ، منحنی $y = 0$ ، منحنی $x = - 1$ ، و $x = 1$ برابر است با $\int_{- 1}^{1} \int_{0}^{1 / (1 + x^{2})} d y d x = \arctan (x) |_{- 1}^{1} = π / 2.$

مثال 3. مسئله: انتگرال $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ را می‌توان به عنوان حجم علامت‌دار زیر نمودار $f$ بالای ناحیه $R$ تفسیر کرد. حجم ناحیه محدود شده توسط $z = 4 - 2 x^{4} - 2 y^{4}$ و $z = 4 - 2 x^{2} - 2 y^{2}$ و $- 1 \leq x \leq 1$ و $- 1 \leq y \leq 1$ را پیدا کنید.
راه حل: $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ((4 - 2 x^{4} - 2 y^{4}) - (4 - 2 x^{2} - 2 y^{2})) d x d y = (4 / 15)^{2} .$

مثال 4. مسئله: مساحت یک دیسک به شعاع $a$ را پیدا کنید.
راه حل: $\int_{- a}^{a} \int_{- \sqrt{a^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} 1 d y d x = \int_{- a}^{a} 2 \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x .$ از جانشینی مثلثاتی $x = a \sin (u)$ ، $d x = a \cos (u)$ استفاده کنید تا به دست آورید $\int_{- π / 2}^{π / 2} 2 \sqrt{a^{2} - a^{2} \sin^{2} (u)} a \cos (u) d u = \int_{- π / 2}^{π / 2} 2 a^{2} \cos^{2} (u) d u$ با استفاده از فرمول زاویه مضاعف، این به دست می‌دهد $a^{2} \int_{- π / 2}^{π / 2} 2 \frac{1 + \cos (2 u)}{2} d u = a^{2} π$ . دفعه بعد این را بسیار مؤثرتر محاسبه خواهیم کرد.

مثال ۵. مسئله: فرض کنید $R$ مثلث ${1 \geq x \geq 0, 0 \leq y \leq x}$ باشد. مقدار $\iint_{R} e^{- x^{2}} d x d y$ را محاسبه کنید.
حل: نمی‌توانیم انتگرال را مستقیماً محاسبه کنیم زیرا $e^{- x^{2}}$ پادمشتقی بر حسب توابع مقدماتی ندارد. اما می‌توانیم انتگرال را به صورت $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{x} e^{- x^{2}} d y] d x$ بنویسیم:

تمرین‌ها

تمرین ۱. انتگرال تکراری $\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 - x} (x^{3} - y) d y d x$ را به دو روش محاسبه کنید، یک بار به صورت انتگرال «چپ به راست» و یک بار به صورت انتگرال «پایین به بالا».

تمرین ۲. انتگرال $\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{y^{2}} \frac{3 x^{7}}{\sqrt{x} - x^{2}} d x d y$ را بیابید.

تمرین ۳.

مساحت ناحیه بیضوی محدود شده به بیضی $x^{2} / 4^{2} + y^{2} / 9^{2} = 1$ را با استفاده از جانشینی مثلثاتی محاسبه کنید.
حال این کار را به صورت کلی برای یک بیضی $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ انجام دهید.
(طبق فیلم کمدی-درام «راشمور» محصول ۱۹۹۸، این «سخت‌ترین مسئله در هندسه» است).

تمرین ۴. انتگرال $\int_{0}^{π^{2}} \int_{\sqrt{y}}^{π} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x d y$ را بیابید.

تمرین ۵. حجم جامد سُمی $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ، $0 \leq z \leq x$ را بیابید. جامد سُمی قبلاً توسط ارشمیدس مورد بررسی قرار گرفته بود.

پیوست: تصویرسازی داده‌ها: مونت کارلو

۲۲.۳.۱ انتگرال‌های لبگ: ابزاری برای انتگرال‌گیری در دنیای واقعی

اغلب، هنگامی که با داده‌های واقعی سروکار داریم، عبارات تحلیلی برای ناحیه یا تابعی که می‌خواهیم انتگرال بگیریم نداریم. انتگرال ریمان محدودیت‌های خود را دارد. در شاخه‌های دیگر ریاضیات مانند نظریه احتمال، به انتگرال بهتری نیاز است. تعریف آن نزدیک به انتگرال ریمان است که به صورت حد $\int_{(x_{k}, y_{l}) \in R} f (x_{k}, y_{l}) \frac{1}{n^{2}}$ ارائه کردیم، که در آن $x_{k} = k / n$ ، $y_{l} = l / n$ . انتگرال لبگ، شبکه‌ای با فواصل منظم $(x_{k}, y_{l})$ را با نقاط تصادفی $(x_{k}, y_{l})$ جایگزین می‌کند و از همان فرمول استفاده می‌کند.

۲۲.۳.۲ مساحت یک فرکتال

چگونه مساحت مجموعهٔ ماندلبرو $M = {c = a + i b \in ℂ ∣ T_{c} (0)^{n} محدود می‌ماند},$ را پیدا کنیم، که در آن $T_{c} (z) = z^{+} c$ ؟ در مختصات حقیقی، این نگاشت $T_{c} (x, y) = (x^{2} - y^{2} + a, 2 x y + b)$ است.

۲۲.۳.۳ یک رویکرد محاسباتی برای مساحت مجموعهٔ ماندلبرو

مساحت مجموعهٔ ماندلبرو چقدر است؟ می‌دانیم که در مستطیل $x \in [- 2, 1]$ و $y \in [- 3 / 2, 3 / 2]$ قرار دارد. اکنون به طور تصادفی به این مستطیل شلیک می‌کنیم و می‌بینیم که آیا پس از $1000$ تکرار در مجموعهٔ ماندلبرو هستیم یا خیر. در اینجا کد Mathematica ای وجود دارد که به شما امکان محاسبه را می‌دهد. وقتی آن را اجرا کردیم، مقداری حدود $1.515 \dots$ به دست داد. اندازه‌گیری‌های دقیق‌تر به مقدار کمی کوچک‌تر مانند $1.506 \dots$ اشاره دارند. دیگران کران‌های $[1.50311, 1.5613027]$ را ارائه کرده‌اند.