انتگرال دوگانه

فهرست مطالب

۲۲.۱ مقدمه
۲۲.۲ درس‌نامه
۲۲.۳ مثال‌ها
تمرین‌ها
پیوست: نمایش داده‌ها: مونت‌کارلو

۲۲.۱ مقدمه

۲۲.۱.۱ فراتر از یک‌بعدی: مساحت و انتگرال‌ها

هنگام انتگرال‌گیری از یک تابع پیوسته $f (x, y)$ روی یک دامنه دوبعدی $R \subset ℝ^{2}$ ، می‌توانیم دوباره مانند حالت یک‌بعدی از مجموع‌های ریمان استفاده کنیم و به انتگرال دوگانه $\iint_{R} f (x, y) d A$ برسیم. یک حالت خاص از تابع پیوسته، تابع $f (x, y) = 1$ است. اگر از $\iint_{R} 1 d A$ انتگرال بگیریم، مساحت به دست می‌آید. برعکس حالت یک‌بعدی که در آن دامنه صرفاً یک بازه است، در فضای دوبعدی می‌توانیم با نواحی بسیار جالب‌تری سروکار داشته باشیم.

**Figure 1** شکل ۱. مساحت مجموعه مندلبرت چقدر است؟ انتگرال $\iint_{R} f (x, y) d A$ را می‌توان به عنوان حجم زیر نمودار $f$ تفسیر کرد. اگر ارتفاع ثابت و برابر با $1$ باشد، حجم همان مساحت ناحیه $R$ یعنی $\iint_{R} 1 d A = | R |$ خواهد بود. برای مجموعه مندلبرت، مساحتی کمی بیشتر از $1.5$ اندازه‌گیری می‌کنیم.

۲۲.۱.۲ ابعاد بالاتر، انتگرال‌های بیشتر

انتگرال‌گیری در دو بعد الگوی مناسبی است. شناخت این وضعیت چندبعدی به ما کمک می‌کند تا نحوه انتگرال‌گیری در فضای ۳ بعدی یا بالاتر را نیز درک کنیم. هفته آینده یاد خواهیم گرفت که چگونه مساحت یک سطح را محاسبه کنیم. اما انتگرال‌های ابعادی در ابعاد بالاتر نیز اهمیت دارند: برای مثال، اگر از یک فرم-۲ (که به آن $2$ -form می‌گویند) مانند $F$ روی یک سطح دوبعدی انتگرال بگیریم، به انتگرال‌های دوگانه می‌رسیم. نمونه‌ای از یک فرم-۲، میدان الکترومغناطیسی یا همان «نور» است. نظریه‌پردازان ریسمان در فضاهایی با ابعاد بالاتر کار می‌کنند. سطحی که توسط یک ریسمان متحرک ترسیم می‌شود، یک سطح دوبعدی است که به آن «ورق جهان» (world-sheet) می‌گویند. مساحت این سطح، کنش نامبو-گوتو (Nambu-Goto action) نام دارد که نقشی مشابه طول را در مکانیک کلاسیک ایفا می‌کند. این یک انتگرال دوگانه است.

۲۲.۱.۳ حساب دیفرانسیل، انتگرال‌گیری و مجهولات

همان‌طور که ذرات در کوتاه‌ترین مسیرها (که ژئودزیک نامیده می‌شوند) حرکت می‌کنند، ریسمان‌ها نیز در مسیرهایی حرکت می‌کنند که مساحت سطح در آن‌ها کمینه شود. با این حال، همه دانشمندان به نظریه ریسمان روی نیاورده‌اند و این نظریه تا حدودی به بن‌بست رسیده است. ما هنوز پاسخ قطعی را نمی‌دانیم. به هر ترتیب، تلاش برای درک اجزای سازنده اصلی فضا، زمان و ماده همچنان هیجان‌انگیز است. ما در دوران جالبی زندگی می‌کنیم؛ دورانی که در آن نظریه‌های بسیار موفقی مانند مدل استاندارد (SM)، مکانیک کوانتومی (QM) یا نسبیت عام (GR)، با دقت فوق‌العاده‌ای با اندازه‌گیری‌های تجربی همخوانی دارند. نظریه‌های جالب دیگری نیز وجود دارند که هنوز ارزیابی‌های تجربی در مورد آن‌ها انجام نشده است. با این حال، بدون شک حساب دیفرانسیل و انتگرال و به‌ویژه نظریه انتگرال‌گیری، در آینده و در مسیر پیش رو، نقشی اساسی ایفا خواهند کرد.

۲۲.۲ درس‌نامه

۲۲.۲.۱ انتگرال دوگانه و وجود آن

با داشتن یک ناحیه کران‌دار $R$ در $ℝ^{2}$ و تابع پیوسته $f (x, y) : R \to ℝ$ ، انتگرال ریمان $I = \iint_{R} f (x, y) d A$ را به عنوان حد $n \to \infty$ از رابطه زیر تعریف می‌کنیم: $I_{n} = \sum_{(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \in R} f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \frac{1}{n^{2}} .$ ناحیه کران‌دار $R$ به عنوان یک زیرمجموعه بسته از $ℝ^{2}$ تعریف می‌شود که توسط تعداد متناهی منحنی مشتق‌پذیر محصور شده است: $R = {g_{1} \leq c_{1}, \dots, g_{k} \leq c_{k}}$ . همانند حالت یک‌بعدی، این تعریف به گونه‌ای طراحی شده است که مستقل از جهت‌گیری انتخاب‌شده روی $R$ باشد. انتگرال‌گیری ما در اینجا شبیه به جمع کردن مقادیر یک صفحه گسترده است؛ کافی است تمام ورودی‌ها را با هم جمع کنیم. برای اثبات وجود این حد، باز هم می‌توانیم از قضیه هاینه-کانتور استفاده کنیم که بیان می‌کند تابع $f$ روی $R$ پیوسته است اگر و تنها اگر به طور یکنواخت پیوسته باشد. این بدان معناست که اعدادی مانند $M_{n} \to 0$ وجود دارند به طوری که اگر $| (x_{1}, y_{1}) - (x_{2}, y_{2}) | \leq 1 / n$ باشد، آنگاه $| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq M_{n}$ خواهد بود.

Theorem 1

قضیه ۱. برای تابع پیوسته $f$ روی یک ناحیه کران‌دار $R$ ، انتگرال $\iint_{R} f d x d y$ وجود دارد.

Proof.

در هر مکعب $Q_{i j} = {i / n \leq x \leq (i + 1) / n, j / n \leq y \leq (j + 1) / n} \cap R$ مقادیر $a_{i j} = min_{(x, y) \in Q_{i j}} f (x, y)$ و $b_{i j} = max_{(x, y) \in Q_{i j}} f (x, y)$ را تعریف می‌کنیم. از آنجا که فرض شد مرز توسط مجموعه‌ای از منحنی‌ها با طول قوس کل متناهی $L$ مشخص شده است، تعداد مکعب‌های $Q_{i j}$ که با مرز $C$ تلاقی دارند، به $4 L n$ محدود می‌شود (یک منحنی به طول ۱ حداکثر می‌تواند با ۴ مربع تماس داشته باشد). همچنین قرار می‌دهیم $F = max_{(x, y) \in R} | f (x, y) |$ . با فرض $K_{n} = 4 L F / n$ ، رابطه زیر را داریم: $A_{n} - K_{n} \leq I_{n} \leq B_{n} + K_{n}$ که در آن $A_{n} = \sum_{i, j} a_{i j} / n^{2}$ و $B_{n} = \sum_{i, j} b_{i j} / n^{2}$ است و $K_{n}$ اثر مکعب‌های $Q_{i j}$ را که با مرز $R$ تلاقی دارند و در نتیجه فقط به طور جزئی سهم دارند، برطرف می‌کند. فرض کنید $I$ برابر با حد بالای (limsup) دنباله $I_{n}$ باشد. در این صورت داریم: $B_{n} - A_{n} \leq M_{n} n^{2} / n^{2} = M_{n} \to 0$ و همچنین $K_{n} \to 0$ ، به طوری که $| I_{n} - I | \leq M_{n} + K_{n} \to 0$ برقرار خواهد بود. ◻

∎

۲۲.۲.۲ قضیه فوبینی

ما به ندرت انتگرال‌ها را با استفاده از مجموع‌های ریمان محاسبه می‌کنیم. خوشبختانه این امکان وجود دارد که یک انتگرال دوگانه را به انتگرال‌های یگانه تبدیل کنیم. این کار برای نواحی پایه که شامل دو نوع ناحیه هستند قابل انجام است؛ نواحی «پایین به بالا» به صورت: $R = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, c (x) \leq y \leq d (x)}$ یا نواحی «چپ به راست» به صورت: $R = {(x, y) ∣ a (y) \leq x \leq b (y), c \leq y \leq d} .$ با تقسیم یک ناحیه کلی به بخش‌های کوچک‌تر (مانند تلاقی با مکعب‌های به اندازه کافی کوچک $Q_{i, j}$ که در بالا تعریف شد)، می‌توانیم هر ناحیه‌ای را به صورت اجتماع چنین نواحی پایه‌ای بنویسیم: برای $n$ به اندازه کافی بزرگ، هر $Q_{i j} \cap R$ یک ناحیه پایه است. اکنون می‌توانیم انتگرال را در حالت اول به صورت $\int_{a}^{b} [\int_{c (x)}^{d (x)} f (x, y) d y] d x$ و در حالت دوم به صورت $\int_{c}^{d} [\int_{a (y)}^{b (y)} f (x, y) d x] d y$ تعریف کنیم. آیا این دو یکسان هستند؟ پاسخ این سوال را قضیه فوبینی می‌دهد که پیش از این نیز از آن استفاده کرده‌ایم. فرض کنید $R$ یک مستطیل به صورت زیر باشد: $R = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, c \leq y \leq d} .$ قضیه فوبینی به شرح زیر است:

**Figure 2.** شکل ۲. نواحی «پایین به بالا» و «چپ به راست».

Theorem 2

قضیه ۲. $\iint_{R} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} [\int_{c}^{d} f (x, y) d y] d x = \int_{c}^{d} [\int_{a}^{b} f (x, y) d x] d y .$

Proof.

ابتدا یک تغییر متغیر اعمال می‌کنیم تا به مستطیل $R = [0, 1] \times [0, 1]$ برسیم، سپس $R$ را با $n^{2}$ مکعب $Q_{i j}$ به طول ضلع $1 / n$ می‌پوشانیم. برای هر $y$ ثابت، یک تابع به طور یکنواخت پیوسته به صورت $x \to f (x, y)$ و برای هر $x$ ثابت، یک تابع به طور یکنواخت پیوسته به صورت $y \to f (x, y)$ داریم و ثابت‌های $M_{n}$ برای همه صدق می‌کنند: یعنی $M_{n} \to 0$ وجود دارد به طوری که اگر $| x_{1} - x_{2} | < 1 / n$ و $| y_{1} - y_{2} | < 1 / n$ باشد، آنگاه $| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq M_{n}$ است. اکنون از نمادگذاری $A \sim_{c} B$ در صورتی که $| A - B | \leq c$ باشد استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت: به طور مشابه، می‌توانیم نشان دهیم که $\iint_{R} f (x, y) d A \sim_{3 M_{n}} \int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} f (x, y) d x] d y$ است. ◻

∎

۲۲.۲.۳ زمانی که قضیه فوبینی برقرار نیست

بدون فرض پیوستگی، قضیه فوبینی لزوماً برقرار نیست؛ مثال استاندارد این وضعیت در شکل (۳) به تصویر کشیده شده است:

Proof.

در نتیجه خواهیم داشت: و ◻

∎

۲۲.۲.۴ نمادگذاری چندشاخصه و انتگرال‌های چندبعدی

انتگرال‌ها در ابعاد بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف می‌شوند. ما بعداً به طور ویژه به حالت سه‌بعدی خواهیم پرداخت. در حال حاضر صرفاً تعریف آن را اضافه می‌کنیم. با داشتن یک ناحیه $m$ -بعدی $R$ در $ℝ^{m}$ و یک تابع پیوسته $f : ℝ^{m} \to ℝ$ ، با استفاده از نمادگذاری چندشاخصه: $x = (x_{1}, \dots, x_{m}), d x = d x_{1} \dots d x_{m}, و i / n = (i_{1} / n, \dots, i_{m} / n)$ انتگرال را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: $\int_{R} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{m}} \sum_{\frac{i}{n} \in R} f (\frac{i}{n}) .$ یک ناحیه در اینجا مجموعه‌ای به صورت زیر است: $R = {x \in ℝ^{m} ∣ g_{1} (x) \leq c_{1}, \dots, g_{k} (x) \leq c_{k}}$ که در آن $g_{k}$ ها توابعی هموار هستند. این ناحیه کران‌دار نامیده می‌شود اگر مقداری مانند $ρ > 0$ وجود داشته باشد به طوری که $R \subset {| x | \leq ρ}$ برقرار باشد.

**Figure 3.** شکل ۳. انتگرال‌گیری روی یک ناحیه با استفاده از انتگرال ریمان. انتگرال دوگانه نشان‌دهنده یک حجم علامت‌دار است؛ بخش‌هایی که در آن‌ها $f < 0$ است حجم منفی را نشان می‌دهند. قضیه فوبینی ممکن است برقرار نباشد، حتی اگر هر دو انتگرال مکرر وجود داشته باشند.

۲۲.۳ مثال‌ها

Example 1.

مثال ۱. اگر $f (x, y) = 1$ باشد، آنگاه $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ برابر با مساحت ناحیه $R$ است. برای مثال:

Example 2.

مثال ۲. از حساب دیفرانسیل و انتگرال تک‌متغیره می‌دانیم که $\int_{a}^{b} f (x) d x$ برابر با مساحت علامت‌دار زیر نمودار تابع $f$ است. برای حالت $f (x) \geq 0$ که انتگرال همان مساحت واقعی است، می‌توانیم آن را به صورت $\int_{a}^{b} \int_{0}^{f (x)} 1 d y d x$ بنویسیم. توجه داشته باشید با توجه به تعریفی که از انتگرال ارائه دادیم، در صورتی که $f (x)$ در جایی منفی باشد، این هم‌ارزی نادرست خواهد بود. این انتگرال دوگانه است که مفهوم درستی از مساحت را ارائه می‌دهد. برای نمونه، مساحت ناحیه محصور بین نمودار $y = 1 / (1 + x^{2})$ ، محور $y = 0$ ، خط $x = - 1$ و خط $x = 1$ برابر است با: $\int_{- 1}^{1} \int_{0}^{1 / (1 + x^{2})} d y d x = \arctan (x) |_{- 1}^{1} = π / 2.$

Example 3.

مثال ۳. مسئله: انتگرال $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ را می‌توان به عنوان حجم علامت‌دار زیر نمودار $f$ و بالای ناحیه $R$ تفسیر کرد. حجم ناحیه محصور بین سطوح $z = 4 - 2 x^{4} - 2 y^{4}$ و $z = 4 - 2 x^{2} - 2 y^{2}$ را به ازای $- 1 \leq x \leq 1$ و $- 1 \leq y \leq 1$ بیابید.
حل: $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ((4 - 2 x^{4} - 2 y^{4}) - (4 - 2 x^{2} - 2 y^{2})) d x d y = (4 / 15)^{2} .$

Example 4.

مثال ۴. مسئله: مساحت یک دیسک به شعاع $a$ را بیابید.
حل: $\int_{- a}^{a} \int_{- \sqrt{a^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} 1 d y d x = \int_{- a}^{a} 2 \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x .$ از تغییر متغیر مثلثاتی $x = a \sin (u)$ و $d x = a \cos (u)$ استفاده می‌کنیم تا به رابطه زیر برسیم: $\int_{- π / 2}^{π / 2} 2 \sqrt{a^{2} - a^{2} \sin^{2} (u)} a \cos (u) d u = \int_{- π / 2}^{π / 2} 2 a^{2} \cos^{2} (u) d u$ با استفاده از فرمول کمان مضاعف، این عبارت به صورت زیر به دست می‌آید: $a^{2} \int_{- π / 2}^{π / 2} 2 \frac{1 + \cos (2 u)}{2} d u = a^{2} π$ . دفعه بعد این مقدار را با روشی بسیار کارآمدتر محاسبه خواهیم کرد.

Example 5.

مثال ۵. مسئله: فرض کنید $R$ مثلث ${1 \geq x \geq 0, 0 \leq y \leq x}$ باشد. مقدار انتگرال $\iint_{R} e^{- x^{2}} d x d y$ را محاسبه کنید.
حل: ما نمی‌توانیم این انتگرال را به طور مستقیم محاسبه کنیم زیرا تابع $e^{- x^{2}}$ فاقد پادمشتق برحسب توابع مقدماتی است. اما می‌توانیم انتگرال را به صورت مکرر بنویسیم:

تمرین‌ها

Exercise 1.

تمرین ۱. انتگرال مکرر $\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 - x} (x^{3} - y) d y d x$ را به دو روش محاسبه کنید؛ یک‌بار به عنوان انتگرال «چپ به راست» و بار دیگر به عنوان انتگرال «پایین به بالا».

Exercise 2.

تمرین ۲. انتگرال زیر را حل کنید: $\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{y^{2}} \frac{3 x^{7}}{\sqrt{x} - x^{2}} d x d y .$

Exercise 3.

تمرین ۳.

مساحت ناحیه بیضوی محصور توسط بیضی $x^{2} / 4^{2} + y^{2} / 9^{2} = 1$ را با استفاده از تغییر متغیر مثلثاتی محاسبه کنید.
اکنون این کار را به طور کلی برای بیضی $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ انجام دهید.
(به نقل از فیلم کمدی-درام «راشمور» محصول سال ۱۹۹۸، این مسئله «سخت‌ترین مسئله در هندسه» است).

Exercise 4.

تمرین ۴. انتگرال زیر را حل کنید: $\int_{0}^{π^{2}} \int_{\sqrt{y}}^{π} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x d y .$

Exercise 5.

تمرین ۵. حجم جسم سم‌شکل (hoof solid) محصور بین سطوح $x^{2} + y^{2} \leq 1$ و $0 \leq z \leq x$ را به دست آورید. این شکل در گذشته توسط ارشمیدس نیز مورد بررسی قرار گرفته بود.

پیوست: نمایش داده‌ها: مونت‌کارلو

۲۲.۳.۱ انتگرال‌های لبگ: ابزاری برای انتگرال‌گیری در دنیای واقعی

اغلب اوقات هنگامی که با داده‌های واقعی سر‌و‌کار داریم، فرمول‌های تحلیلی برای ناحیه یا تابعی که می‌خواهیم از آن انتگرال بگیریم در اختیار نداریم. انتگرال ریمان محدودیت‌های خاص خود را دارد. در سایر شاخه‌های ریاضیات مانند نظریه احتمال، به انتگرال کارآمدتری نیاز است. تعریف این انتگرال به انتگرال ریمان که آن را به صورت حد تفکیک داده‌ایم، نزدیک است: $\int_{(x_{k}, y_{l}) \in R} f (x_{k}, y_{l}) \frac{1}{n^{2}}$ ، که در آن $x_{k} = k / n$ و $y_{l} = l / n$ است. انتگرال لبگ، شبکه منظم نقاط را با نقاط تصادفی $(x_{k}, y_{l})$ جایگزین کرده و از همان فرمول استفاده می‌کند.

۲۲.۳.۲ مساحت یک فراکتال

چگونه مساحت مجموعه مندلبرت زیر را بیابیم؟ $M = {c = a + i b \in ℂ ∣ T_{c} (0)^{n} کران‌دار بماند},$ که در آن $T_{c} (z) = z^{2} + c$ است. در مختصات حقیقی، این همان نگاشت $T_{c} (x, y) = (x^{2} - y^{2} + a, 2 x y + b)$ است.

۲۲.۳.۳ رویکرد محاسباتی برای مساحت مجموعه مندلبرت

مساحت مجموعه مندلبرت چقدر است؟ می‌دانیم که این مجموعه درون مستطیل $x \in [- 2, 1]$ و $y \in [- 3 / 2, 3 / 2]$ قرار دارد. اکنون کافی است به صورت تصادفی به نقاط درون این مستطیل شلیک کنیم و بررسی کنیم که آیا پس از $1000$ تکرار، درون مجموعه مندلبرت قرار داریم یا خیر. در زیر کدی در نرم‌افزار Mathematica آورده شده است که به شما امکان این محاسبات را می‌دهد. هنگامی که ما آن را اجرا کردیم، مقداری در حدود $1.515 \dots$ به دست آمد. اندازه‌گیری‌های دقیق‌تر گزارش‌شده، مقداری کمی کوچک‌تر مانند $1.506 \dots$ را نشان می‌دهند. برخی دیگر نیز بازه $[1.50311, 1.5613027]$ را ارائه داده‌اند.