اثبات‌های تصویری

فهرست مطالب

6.1 مقدمه
- 6.1.1 قدرت اثبات‌های بصری
6.2 سمینار
تمرین‌ها

6.1 مقدمه

**شکل 1.** این یک اثبات بصری مشهور است که $65 / 2 = 63 / 2$ . یک مثلث با مساحت $65 / 2$ به قطعات کوچک‌تر بریده می‌شود. پس از بازآرایی قطعات و فقط انتقال آن‌ها، همان مثلث با یک مربع کمتر بدست می‌آید.

6.1.1 قدرت اثبات‌های بصری

تصاویر بصری کمک بزرگی برای «دیدن» دلیل درستی یک موضوع هستند. برخی از زیباترین اثبات‌های ریاضیات را می‌توان به همین صورت درست دید. استدلال‌های بصری همچنین می‌توانند نادرست باشند و این فقط به تصاویر هندسی محدود نمی‌شود. به‌ویژه هنگام اثبات نتایج در ابعاد بالاتر، جایی که شهود از ابعاد پایین‌تر وارد می‌شود، ممکن است دچار مشکل شویم.

**شکل 2.** نیمساز زاویه در $C$ را با عمودمنصف $A B$ قطع کنید.

**شکل 3.** مثلث‌های $M Q C$ ، $M R C$ هم‌نهشت هستند. مثلث‌های $M P B$ ، $M P A$ نیز.

**شکل 4.** بنابراین $M B A$ و $A M R$ نیز. چون $A R = B Q$ و $C Q = R C$ داریم $A C = B C$ .

اثباتی که همه مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند. هیچ اشتباهی در استدلال وجود ندارد. همه مراحل ارائه شده درست هستند. با این حال، چیزی نادرست است.

6.2 سمینار

6.2.1 مربع‌ها و مساحت‌ها

شهود هندسی و تصاویر امکان اثبات بصری نتایج را فراهم می‌کنند. یک مثال:

مسئله الف: شکل بالا چه فرمولی را اثبات می‌کند؟

6.2.2 جابه‌جایی‌پذیری در هندسه

با رسم یک مستطیل به طول ضلع $a$ و $b$ ، می‌توانیم ببینیم که مساحت $a * b$ همان مساحت $b * a$ است. برای ضرب خارجی یا ماتریس‌ها، این نادرست است.

**شکل 6.** یک اثبات کویزِنِر که $4 * 5 = 5 * 4$ . چهار چوب زرد به طول $5$ مساحت یکسانی با $5$ چوب بنفش به طول $4$ دارند.

6.2.3 اثبات بصری قضیه فیثاغورس

تصاویر به کسب شهود درباره یک نتیجه ریاضی کمک می‌کنند. قضیه فیثاغورس ابتدا به صورت هندسی اثبات شد. اثبات بصری که در اینجا بررسی می‌کنیم به خوبی می‌تواند اولین اثباتی باشد که کشف شده است.

**شکل 7.** یک اثبات بصری از قضیه فیثاغورس. این احتمالاً یکی از اولین اثبات‌ها است.

مسئله ب: از شکل (6.5) برای اثبات قضیه فیثاغورس استفاده کنید. می‌توانید یا با کلمات توصیف کنید، یا برخی از قسمت‌های تصویر را برچسب‌گذاری کنید. به خاطر داشته باشید که می‌خواهیم $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ را نشان دهیم.

6.2.4 نابرابری از طریق هندسه

نابرابری هندسی-جبری تضمین می‌کند که میانگین هندسی کوچک‌تر یا مساوی میانگین جبری است. برای درک آن اثبات، ابتدا باید یک اتحاد مربوط به طول‌های $a, b$ بریده شده توسط خط ارتفاع و ارتفاع $h$ را تأیید کنیم.

**شکل 8.** یک اثبات بصری از $\sqrt{a b} \leq (a + b) / 2$ .

مسئله پ: ابتدا بررسی کنید که چرا مثلث در شکل (6.6) یک زاویه قائمه دارد. سپس سه بار از فیثاغورس استفاده کنید تا $a b = h^{2}$ را اثبات کنید. در نهایت نابرابری هندسی-جبری را بررسی کنید.

6.2.5 شعاع دایره محاطی مثلث قائم‌الزاویه

قضیه 1. شعاع دایره محاطی در مثلث $3 : 4 : 5$ برابر $1$ است.

مسئله ت: از شکل (6.7) از «9 فصل» برای اثبات قضیه استفاده کنید.

**شکل 9.** مثلث $3$ - $4$ - $5$ . آیا می‌توانید از تصویر برای اثبات اینکه $a = 1$ است استفاده کنید؟

6.2.6 حجم چهاروجهی

فرمول حجم یک چهاروجهی داده شده با 4 نقطه $A, B, C, D$ را پیدا کنید.³

مسئله ث: از شکل (6.8) استفاده کنید تا اثبات کنید که حجم یک ششم حجم متوازی‌السطوح متناظر است.

**شکل 10.** حجم چهاروجهی $1 / 6$ حجم یک متوازی‌السطوح است. نه تنها مصریان آن را می‌دانستند، این شکل را می‌توان در «نه فصل» نیز یافت. ما مجسمه‌ای می‌سازیم که قابل چاپ سه‌بعدی است.

تمرین‌ها

تمرین 1. قضیه فیثاغورس سه‌بعدی بیان می‌کند که مربع مساحت $A B C$ مجموع مربعات مساحت‌های مثلث‌های $O A B$ ، $O B C$ و $O C A$ (که هر یک نصف یک مستطیل هستند) است. از شکل (6.9) با $A = (a, 0, 0)$ ، $B = (0, b, 0)$ ، $C = (0, 0, c)$ برای تأیید این قضیه استفاده کنید. برای بدست آوردن مساحت‌ها از ضرب خارجی استفاده کنید.

تمرین 2.

یک تصویر با یک شکل مسطح رسم کنید که $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ را توضیح دهد.
یک تصویر با یک شکل سه‌بعدی رسم کنید که $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ را توضیح دهد.

تمرین 3. فرمول‌های فاصله‌ای پیدا کنید که از هیچ تابع مثلثاتی استفاده نکنند:

برای فاصله نقطه $P$ تا خطی که از دو نقطه $A, B$ می‌گذرد.
برای فاصله نقطه $P$ تا صفحه‌ای که از سه نقطه $A, B, C$ می‌گذرد.
برای فاصله بین خط گذرنده از $A, B$ و خط گذرنده از $C, D$ .

تمرین 4. یک اثبات بصری برای فرمول فاولهابر $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^{2}$ که قضیه نیکوماخوس نیز نامیده می‌شود، طراحی کنید.

تمرین 5. قوانین ضرب کواترنیون‌ها $(u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}) ⋆ (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$ را جستجو کنید و تأیید کنید که $(0, v_{1}, v_{2}, v_{3}) * (0, w_{1}, w_{2}, w_{3}) =$ $(- v \cdot w, v \times w)$ . از نظر تاریخی، این یک اتحاد مهم است زیرا ضرب نقطه‌ای و ضرب خارجی با هم در قالب کواترنیون‌ها معرفی شده‌اند.

جلد کتاب «اثبات‌های بدون کلام»↩︎
C. Gallant, Mathematics Magazine, 50(2), 1977, صفحه 98↩︎
"Illustrating Mathematics using 3D printers", توسط O. Knill و E. Slavkovsky.↩︎