آزمون نهایی

فهرست مطالب

39.1 کلمات کلیدی برای امتحان نهایی (همچنین به واحدهای 14+28 مراجعه کنید)
39.2 امتحان نهایی (تمرین A)
39.3 امتحان نهایی (تمرین B)
39.4 امتحان نهایی

39.1 کلمات کلیدی برای امتحان نهایی (همچنین به واحدهای 14+28 مراجعه کنید)

39.1.1 حساب دیفرانسیل و انتگرال گسسته

$G = (V, E)$ گراف با مجموعه رئوس $V$ و مجموعه یال‌های $E$
$0$ -فرم: تابع روی $V$ . تابع اسکالر گسسته
$1$ -فرم: تابع روی $E$ جهت‌دار. میدان برداری گسسته
$2$ -فرم: تابع روی مثلث‌های جهت‌دار $T$
$d (f) = grad (f)$ تابعی روی یال‌های $a \to b$ است که با $f (b) - f (a)$ تعریف می‌شود
$H = d F = curl (F)$ تابعی روی مثلث‌ها است که با جمع $F$ در امتداد مثلث به دست می‌آید
برای یک $1$ -فرم $F$ ، $d^{*} F$ تابعی روی رئوس است. مقادیر یال‌های متصل را جمع کنید
برای یک $2$ -فرم $H$ ، $d^{*} H$ تابعی روی یال‌ها است. مقادیر مثلث‌های متصل را جمع کنید

39.1.2 افراد جدید

ذکر شده: کارتان، ماکسول، استوکس، گرین، گاوس، نیوتن، اینشتین، کیرشهف، منگر، کخ، اشر، پیرس

39.1.3 مشتقات جزئی

$L (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})$ تقریب خطی
$Q (x, y) = L (x_{0}, y_{0}) + f_{x x} (x - x_{0})^{2} / 2 + f_{y y} (y - y_{0})^{2} / 2 + f_{x y} (x - x_{0}) (y - y_{0})$
از $L (x, y)$ برای تخمین $f (x, y)$ در نزدیکی $f (x_{0}, y_{0})$ استفاده کنید. نتیجه $f (x_{0}, y_{0}) + a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})$ است
صفحه مماس: $a x + b y + c z = d$ با $a = f_{x}$ ، $b = f_{y}$ ، $c = f_{z}$ ، $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$
$f (x, y)$ را با $L (x, y)$ یا $Q (x, y)$ در نزدیکی $(x_{0}, y_{0})$ تخمین بزنید
$f_{x y} = f_{y x}$ قضیه کلرو برای توابعی که در $C^{2}$ هستند
$r_{u} (u, v)$ ، $r_{v} (u, v)$ مماس بر سطح پارامتری شده توسط $r (u, v)$

39.1.4 پارامتری‌سازی

$r : G \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ ، $d r$ ژاکوبین
$g = d r^{T} d r$ فرم بنیادی اول، $| d r | = \sqrt{g}$ ضریب اعوجاج
$curl (F) (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) = F_{u} \cdot r_{v} - F_{v} \cdot r_{u}$ فرمول مهم

39.1.5 معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

$f_{x y} = f_{y x}$ ، کلرو
$f_{t} = f_{x x}$ ، معادله گرما
$f_{t t} - f_{x x} = 0$ ، معادله موج
$f_{x} - f_{t} = 0$ ، معادله انتقال
$f_{x x} + f_{y y} = 0$ ، معادله لاپلاس
$f_{t} + f f_{x} = f_{x x}$ ، معادله برگرز
$d F^{*} = j$ ، $d F = 0$ ، معادلات ماکسول
$div (F) = 4 π σ$ ، معادله گرانش

39.1.6 گرادیان

$\nabla f (x, y) = [f_{x}, f_{y}]^{T}$ ، $\nabla f (x, y, z) = [f_{x}, f_{y}, f_{z}]^{T}$ ، گرادیان
$D_{v} f = \nabla f \cdot v$ مشتق جهتی
قاعده زنجیره‌ای
$\nabla f (x_{0}, y_{0})$ بر منحنی تراز $f (x, y) = c$ حاوی $(x_{0}, y_{0})$ عمود است
$\nabla f (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ بر سطح تراز $f (x, y, z) = c$ حاوی $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ عمود است
$\frac{d}{d t} f (x + t v) = D_{v} f$ با قاعده زنجیره‌ای
$(x - x_{0}) f_{x} (x_{0}, y_{0}) + (y - y_{0}) f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0$ خط مماس
$(x - x_{0}) f_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (y - y_{0}) f_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (z - z_{0}) f_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0$ صفحه مماس
$D_{v} f (x_{0}, y_{0})$ در جهت $v = \nabla f (x_{0}, y_{0}) / | \nabla f (x_{0}, y_{0}) |$ بیشینه است
$f (x, y)$ در جهت $\nabla f / | \nabla f |$ در نقاطی که نقاط بحرانی نیستند افزایش می‌یابد
اگر $D_{v} f (x) = 0$ برای همه $v$ ، آنگاه $\nabla f (x) = 0$
$f (x, y, z) = c$ تعریف می‌کند $y = g (x, y)$ را، و $g_{x} (x, y) = - f_{x} (x, y, z) / f_{z} (x, y, z)$ مشتق ضمنی

39.1.7 نقاط بحرانی

$\nabla f (x, y) = [0, 0]^{T}$ ، نقطه بحرانی
$D = \det (d^{2} f) = f_{x x} f_{y y} - f_{x y}^{2}$ ممیز
مورس: نقطه بحرانی و $D \neq 0$ ، در $2$ بعدی شبیه $x^{2} + y^{2}$ ، $x^{2} - y^{2}$ ، $- x^{2} - y^{2}$ است
$f (x_{0}, y_{0}) \geq f (x, y)$ در همسایگی $(x_{0}, y_{0})$ بیشینه محلی
$f (x_{0}, y_{0}) \leq f (x, y)$ در همسایگی $(x_{0}, y_{0})$ کمینه محلی
$\nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y)$ ، $g (x, y) = c$ ، $λ$ معادلات لاگرانژ
$\nabla f (x, y, z) = λ \nabla g (x, y, z)$ ، $g (x, y, z) = c$ ، $λ$ معادلات لاگرانژ
آزمون مشتق دوم: $\nabla f = (0, 0)$ ، $D > 0$ ، $f_{x x} < 0$ بیشینه محلی، $\nabla f = (0, 0)$ ، $D > 0$ ، $f_{x x} > 0$ کمینه محلی، $\nabla f = (0, 0)$ ، $D < 0$ نقطه زینی
$f (x_{0}, y_{0}) \geq f (x, y)$ در همه جا، بیشینه سراسری
$f (x_{0}, y_{0}) \leq f (x, y)$ در همه جا، کمینه سراسری

39.1.8 انتگرال‌های دوگانه

$\iint_{R} f (x, y) d y d x$ انتگرال دوگانه
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x$ انتگرال روی مستطیل
$\int_{a}^{b} \int_{c (x)}^{d (x)} f (x, y) d y d x$ ناحیه از پایین به بالا
$\int_{c}^{d} \int_{a (y)}^{b (y)} f (x, y) d x d y$ ناحیه از چپ به راست
$\iint_{R} f (r, θ) r d r d θ$ مختصات قطبی
$\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ مساحت سطح
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y$ فوبینی
$\iint_{R} 1 d x d y$ مساحت ناحیه $R$
$\iint_{R} f (x, y) d x d y$ حجم علامت‌دار جسم محدود شده توسط نمودار $f$ و صفحه $x y$

39.1.9 انتگرال‌های سه‌گانه

$∭_{R} f (x, y, z) d z d y d x$ انتگرال سه‌گانه
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{u}^{v} f (x, y, z) d z d y d x$ انتگرال روی جعبه مستطیلی
$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \int_{h_{1} (x, y)}^{h_{2} (x, y)} f (x, y) d z d y d x$ ناحیه نوع I
$∭_{R} f (r, θ, z) r d z d r d θ$ انتگرال در مختصات استوانه‌ای
$∭_{R} f (ρ, θ, ϕ) ρ^{2} \sin (ϕ) d ρ d ϕ d θ$ انتگرال در مختصات کروی
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{u}^{v} f (x, y, z) d z d y d x = \int_{u}^{v} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y, z) d x d y d z$ فوبینی
$V = ∭_{E} 1 d z d y d x$ حجم جسم $E$
$M = ∭_{E} σ (x, y, z) d z d y d x$ جرم جسم $E$ با چگالی $σ$

39.1.10 انتگرال‌های خطی

$F (x, y) = [P (x, y), Q (x, y)]^{T}$ میدان برداری در صفحه
$F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)]^{T}$ میدان برداری در فضا
انتگرال خطی
$F (x, y) = \nabla f (x, y)$ میدان گرادیان $=$ میدان پتانسیل $=$ میدان پایستار

39.1.11 قضیه اساسی انتگرال‌های خطی

FTLI: $F (x, y) = \nabla f (x, y)$ ،
خاصیت حلقه بسته $\int_{C} F d r = 0$ ، برای همه منحنی‌های بسته $C$
همیشه معادل: خاصیت حلقه بسته، استقلال از مسیر و میدان گرادیان
آزمون مشتقات مخلوط $curl (F) \neq 0$ تضمین می‌کند که $F$ یک میدان گرادیان نیست
در نواحی همبند ساده: $curl (F) = 0$ دلالت بر این دارد که میدان $F$ پایستار است
میدان پایستار: نمی‌توان از آن برای حرکت دائمی استفاده کرد.

39.1.12 قضیه گرین

$F (x, y) = [P, Q]^{T}$ ، کرل در دو بعد: $curl (F) = Q_{x} - P_{y}$
قضیه گرین: $C$ مرز $R$ ، آنگاه $\int_{C} F \cdot d r = \iint_{R} curl (F) d x d y$
محاسبه مساحت: $F$ را با $curl (F) = Q_{x} - P_{y} = 1$ مانند $F = [- y, 0]^{T}$ یا $F = [0, x]^{T}$ در نظر بگیرید
قضیه گرین برای محاسبه انتگرال‌های خطی دشوار یا انتگرال‌های $2$ بعدی دشوار مفید است

39.1.13 انتگرال‌های شار

$F (x, y, z)$ میدان برداری، $S = r (R)$ سطح پارامتری شده
$r_{u} \times r_{v} d u d v = d S$ یک $2$ -فرم
$\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{S} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v$ انتگرال شار

39.1.14 قضیه استوکس

$F (x, y, z) = [P, Q, R]^{T}$ , $curl ([P, Q, R]^{T}) = [R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}]^{T} = \nabla \times F$
قضیه استوکس: $C$ مرز سطح $S$ ، آنگاه $\int_{C} F \cdot d r = \iint_{S} curl (F) \cdot d S$
قضیه استوکس امکان محاسبه انتگرال‌های شار دشوار یا انتگرال‌های خطی دشوار را فراهم می‌کند

39.1.15 گرادیان کرل دیورژانس

$\nabla = [\partial_{x}, \partial_{y}, \partial_{z}]^{T}$ , $F = \nabla f$ , $curl (F) = \nabla \times F$ , $div (F) = \nabla \cdot F$
$div (curl (F)) = 0$ و $curl (grad (f)) = 0$
$div (grad (f)) = Δ f$ لاپلاسین
میدان تراکم‌ناپذیر $=$ میدان بدون واگرایی: $div (F) = 0$ در همه جا. نتیجه می‌دهد $F = curl (H)$
میدان غیرچرخشی $= curl (F) = 0$ در همه جا. نتیجه می‌دهد $F = grad (f)$

39.1.16 قضیه دیورژانس

$div ([P, Q, R]^{T}) = P_{x} + Q_{y} + R_{z} = \nabla \cdot F$
قضیه دیورژانس: جسم $E$ ، مرز $S$ آنگاه $\iint_{S} F \cdot d S = ∭_{E} div (F) d V$
قضیه دیورژانس امکان محاسبه انتگرال‌های شار دشوار یا انتگرال‌های سه‌بعدی دشوار را فراهم می‌کند

39.1.17 برخی مفاهیم توپولوژی

ناحیه همبند ساده $D$ : می‌توان هر منحنی بسته درون $D$ را به یک نقطه تغییر شکل داد
داخل یک ناحیه $D$ : نقاطی در $D$ که همسایگی کوچک آن‌ها همچنان در $D$ است
مرز منحنی $C$ : نقاط انتهایی منحنی
مرز $S$ نقاطی روی سطح که در داخل دامنه پارامتری نیستند
مرز جسم $G$ : نقاطی در $G$ که در داخل $D$ نیستند
سطح بسته: سطحی بدون مرز مانند یک کره
منحنی بسته: منحنی بدون مرز مانند یک گره

39.1.18 برخی پارامتری‌سازی‌های سطح

کره به شعاع $ρ$ : $r (u, v) = [ρ \cos (u) \sin (v), ρ \sin (u) \sin (v), ρ \cos (v)]^{T}$
نمودار تابع $f (x, y)$ : $r (u, v) = [u, v, f (u, v)]^{T}$
مثال: پارابولوئید $r (u, v) = [u, v, u^{2} + v^{2}]^{T}$
صفحه شامل $P$ و بردارهای $u$ , $v$ : $r (s, t) = P + s u + t v$
سطح دورانی: فاصله $g (z)$ از محور $z$ : $r (u, v) = [g (v) \cos (u), g (v) \sin (u), v]^{T}$
مثال: استوانه $r (u, v) = [\cos (u), \sin (u), v]^{T}$
مثال: مخروط $r (u, v) = [v \cos (u), v \sin (u), v]^{T}$
مثال: پارابولوئید $r (u, v) = [\sqrt{v} \cos (u), \sqrt{v} \sin (u), v]^{T}$

39.1.19 انتگرال‌گیری برای قضایای انتگرالی

انتگرال دوگانه و سه‌گانه: $\iint_{G} f (x, y) d A$ , $∭_{G} f (x, y, z) d V$
انتگرال خطی:
انتگرال شار: $\iint_{S} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v$

39.1.20 فرم‌های دیفرانسیلی

یک تانسور از نوع $(p, q)$ یک نگاشت چندخطی $(E^{*})^{p} \times E^{q} \to ℝ$ است.
یک $𝒌$ -فرم یک میدان است که در هر نقطه یک نگاشت چندخطی پادمتقارن از $k$ متغیر را متصل می‌کند.
$F = 5 x^{3} d y d z + 7 \sin (y) x d x d z + 3 \cos (x y) d x d y$ نمونه‌ای از یک $2$ -فرم است. در حسابان این با یک میدان برداری $F = [5 x^{3}, 7 \sin (y) x, 3 \cos (x y)]$ شناسایی می‌شود.
مشتق خارجی یک عبارت مانند $F = P d x d y$ برابر است با
قضیه عمومی استوکس می‌گوید $\int_{G} d F = \int_{d G} F$ ، که در آن $d G$ مرز $G$ است.

39.2 آزمون نهایی (تمرین A)

مسئله 39A.1 (10 امتیاز):

روی گراف $G$ در شکل (39.1) یک $1$ -فرم $F$ روی یک گراف $G = (V, E)$ داده شده است.

(3 امتیاز) مقادیر کرل $d F$ را بنویسید. به عنوان یک $2$ -فرم، این یک تابع روی مجموعه $T$ از مثلث‌ها است.
(3 امتیاز) "واگرایی گسسته" $d^{*} F$ را محاسبه کنید، که یک $0$ -فرم، یعنی یک تابع روی رئوس است.
(4 امتیاز) مقدار لاپلاسین $d^{*} d F + d d^{*} F$ را پیدا کنید و مقادیر را نزدیک یال‌ها در شکل (39.2) وارد کنید.

**شکل 1.** یک گراف با یک $1$ -فرم $F$ . نتیجه را برای بخش‌های a) و b) در اینجا وارد کنید.

**شکل 2.** نتیجه را برای بخش c) در اینجا وارد کنید.

مسئله 39A.2 (10 امتیاز، هر سوال یک امتیاز):

چه کسی قانون گرانش را به شکل معادله دیفرانسیل جزئی $div (F) = 4 π σ$ فرموله کرد؟
عبارت $5 x d x d z d x + 77 d y d z d y + 3 d x d y + 6 d y d x$ به $\dots \dots$ ساده می‌شود.
مقدار $\iint_{S} [x, y, z] \cdot d S$ چقدر است اگر $S$ کره واحد با جهت‌گیری به سمت بیرون باشد؟
فاصله بین نقطه $(0, 0, 3)$ و صفحه $x y$ چقدر است؟
آیا درست است که اگر در همه جا باشد، آنگاه بر سرعت عمود است؟
ضریب اعوجاج $| d r |$ برای تغییر مختصات $r (u, v) = [- 2 v, 3 u]$ چقدر است؟
اگر $r (u, v)$ یک سطح در $ℝ^{3}$ را پارامتری کند، آیا درست است که $r_{u} \times (r_{u} \times r_{v})$ مماس بر سطح است؟
بله یا خیر: اگر $(0, 0, 0)$ یک بیشینه برای $f (x, y, z)$ باشد، آنگاه $f_{x x} (0, 0, 0) < 0$ .
تقریب درجه دوم $1 + x + y + \sin (x^{2} - y^{2})$ را بنویسید؟
اگر $S : f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ به سمت بیرون جهت‌گیری شده باشد، آنگاه شار $\nabla f$ از $S$ منفی، صفر یا مثبت است. کدام یک از سه حالت است؟

مسئله 39A.3 (10 امتیاز، هر مسئله یک امتیاز):

کدام یک از مثلث‌های شکل (39.3) در $\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} f (x, y) d x d y$ انتگرال‌گیری می‌شود؟
ما یک مثال نقض برای قضیه کلرو دیده‌ایم. این تابع $f (x, y)$ در $C^{k}$ بود اما در $C^{k + 1}$ نبود. عدد صحیح $k$ نشان می‌داد که چند بار می‌توانیم $f$ را به طور پیوسته مشتق بگیریم. $k$ چه بود؟
$div (E) =$ $4 π j + E_{t}$ به کدام گروه از معادلات دیفرانسیل جزئی تعلق دارد؟
نابرابری کوشی-شوارتز را بنویسید.
فرض کنید $G$ مرحله اول اسفنج منگر باشد (با $20$ مکعب از $27$ مکعب موجود). آیا همبند ساده است؟
یک مشتق خارجی از فرم دیفرانسیلی $F = \sin (x z) d x d y$ بگیرید.
سطح $x = z^{2} - y^{3}$ را پارامتری کنید.
منحنی حاصل از تقاطع بیضی‌گون $x^{2} / 4 + y^{2} + z^{2} / 9 = 1$ با صفحه $y = 0$ را پارامتری کنید.
چه سطحی در مختصات کروی به صورت $\sin (ϕ) \cos (θ) = \cos (ϕ)$ داده می‌شود؟
فرمول کلی برای مساحت یک مثلث با رئوس $(0, 0, 0)$ , $(a, b, c)$ , $(u, v, w)$ را بنویسید.

مسئله 39A.4 (10 امتیاز):

(6 امتیاز) معادله صفحه‌ای را پیدا کنید که شامل خط $r (t) = [1 + t, 2 + t, 3 - t]$ است و بر صفحه $Σ : x + 2 y - z = 4$ عمود است.
(4 امتیاز) زاویه بین بردارهای نرمال $Σ$ و صفحه‌ای که تازه پیدا کردید چقدر است؟

مسئله 39A.5 (10 امتیاز):

(8 امتیاز) نقاط بحرانی تابع $f (x, y) = \cos (x) + y^{5} - 5 y$ را پیدا کنید و با استفاده از آزمون مشتق دوم آن‌ها را طبقه‌بندی کنید. می‌توانید فرض کنید که $0 \leq x < 2 π$ .
(2 امتیاز) آیا تابع $f$ یک بیشینه مطلق یا یک کمینه مطلق دارد؟

مسئله 39A.6 (10 امتیاز):

(5 امتیاز) از روش لاگرانژ برای یافتن بیشینه $f (x, y) =$ $y^{2} - x$ تحت قید $g (x, y) = x + x^{3} - y^{2} = 2$ استفاده کنید.
(5 امتیاز) معادلات لاگرانژ در یافتن بیشینه $f (x, y) =$ $y^{2} - x$ تحت قید $g (x, y) = x^{3} - y^{2} = 0$ ناموفق هستند. با این حال، قضیه لاگرانژ همچنان به شما امکان یافتن بیشینه را می‌دهد. چگونه؟

مسئله 39A.7 (10 امتیاز):

(6 امتیاز) صفحه مماس در نقطه $P = (4, 2, 1, 1)$ بر سطح $x^{2} - 2 y^{2} + z^{3} + w^{2} = 2$ را پیدا کنید.
(4 امتیاز) خط $r (t)$ را که از $P$ می‌گذرد و بر ابرسطح در آن نقطه عمود است، پارامتری کنید. سپس $(r (1) + r (- 1)) / 2$ را پیدا کنید.

مسئله 39A.8 (10 امتیاز):

$f (0.012, 0.023)$ را برای $f (x, y) = \log (1 + x + 3 x y)$ با استفاده از تقریب خطی تخمین بزنید.
$f (0.012, 0.023)$ را برای $f (x, y) = \log (1 + x + 3 x y)$ با استفاده از تقریب درجه دوم تخمین بزنید.

مسئله 39A.9 (10 امتیاز):

بیایید به منحنی نگاه کنیم که شتاب را برآورده می‌کند، موقعیت اولیه $[2, 0, 2, 0]$ و سرعت اولیه $[0, 2, 0, 2]$ دارد. $r (t)$ را پیدا کنید.
انحنای منحنی $r (t)$ در $t = 0$ چقدر است؟

مسئله 39A.10 (10 امتیاز):

تابع $f (x, y) = x + x^{2} - y^{2}$ را روی ناحیه $1 < x^{2} + y^{2} < 4$ , $x y > 0$ انتگرال بگیرید.
مساحت سطح $r (t, s) = [\cos (t) \sin (s), \sin (t) \sin (s), \cos (s)]$ را پیدا کنید که در آن $0 \leq t \leq 2 π$ و $0 \leq s \leq t / 2$ .

مسئله 39A.11 (10 امتیاز):

فرض کنید $E$ جسم $x^{2} + y^{2} \geq z^{2}, x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9, y \geq | x | .$ باشد.

(7 امتیاز) انتگرال $∭_{E} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z .$ را محاسبه کنید.
(3 امتیاز) فرض کنید $F$ یک میدان برداری $F = [x^{3}, y^{3}, z^{3}]$ باشد. شار $F$ را از سطح مرزی $E$ ، با جهت‌گیری به سمت بیرون، پیدا کنید.

مسئله 39A.12 (10 امتیاز):

انتگرال خطی میدان نیروی $F (x, y, z, w) = [1, 5 y^{4} + z, 6 z^{5} + y, 7 w^{6}]^{T} + [y - w, 0, 0, 0]^{T}$ در امتداد مسیر $r (t) = [t^{3}, \sin (6 t), \cos (8 t), \sin (6 t)]$ از $t = 0$ تا $t = 2 π$ چقدر است؟
راهنما: ما میدان را عمداً به صورت مجموع دو میدان برداری نوشته‌ایم.

مسئله 39A.13 (10 امتیاز):

مساحت ناحیه $| x |^{2 / 5} + | y |^{2 / 5} \leq 1$ را پیدا کنید. از یک قضیه انتگرالی استفاده کنید.

مسئله 39A.14 (10 امتیاز):

شار میدان برداری $F (x, y, z, w) = [x + \cos (y), y + z^{2}, 2 z, 3 w]$ از مرز جسم $E : 1 \leq x \leq 3, 3 \leq y \leq 5, 0 \leq z \leq 1, 4 \leq w \leq 8$ با جهت‌گیری به سمت بیرون چقدر است؟

مسئله 39A.15 (10 امتیاز):

شار کرل میدان برداری $F (x, y, z) = [- z, z + \sin (x y z), x - 3]^{T}$ را از سطح تاب‌خورده نشان داده شده در شکل (39.5) که به سمت داخل جهت‌گیری شده و توسط $r (t, s) = [(3 + 2 \cos (t)) \cos (s), (3 + 2 \cos (t)) \sin (s), s + 2 \sin (t)]$ پارامتری شده است، پیدا کنید که در آن $0 \leq s \leq 7 π / 2$ و $0 \leq t \leq 2 π$ .

**شکل ۵.** مرز سطح از دو دایره $r (t, 0)$ و $r (t, 7 π / 2)$ تشکیل شده است. تصویر جهت بردارهای سرعت این منحنی‌ها را نشان می‌دهد (که در هر مورد ممکن است با جهت‌گیری سطح سازگار باشد یا نباشد).

۳۹.۳ آزمون نهایی (تمرین ب)

مسئله ۳۹ب.۱ (۱۰ امتیاز):

گراف $G = (V, E)$ در شکل (۳۹.۶) یک سطح گسسته را نشان می‌دهد که در آن همه مثلث‌ها در خلاف جهت عقربه‌های ساعت جهت‌گیری شده‌اند. مقادیر یک $1$ -فرم $=$ میدان برداری $F$ داده شده است.

(۲ امتیاز) انتگرال خطی $F$ را در امتداد منحنی مرزی که در خلاف جهت عقربه‌های ساعت جهت‌گیری شده است، بیابید.
(۲ امتیاز) تاو $H = d F$ را محاسبه کرده و مقادیر آن را درون مثلث‌ها بنویسید.
(۲ امتیاز) مجموع تمام مقادیر تاو چقدر است؟ چرا با نتیجه قسمت (الف) مطابقت دارد؟
(۲ امتیاز) همچنین $g = d^{*} F$ را بیابید و آن را نزدیک رئوس وارد کنید.
(۱ امتیاز) درست یا نادرست: $\sum_{x \in V} g (x) = 0$ .
(۱ امتیاز) درست یا نادرست: ما $L = d d^{*}$ را لاپلاسین $G$ نامیدیم.

**شکل ۶.** یک ناحیه $2$ -بعدی گسسته که در آن یک $1$ -فرم $F$ یک میدان برداری را مدل می‌کند. شما تاو $d F$ و واگرایی $d^{*} F$ $F$ را محاسبه می‌کنید.

مسئله ۳۹ب.۲ (۱۰ امتیاز، هر سؤال یک امتیاز):

آنالوگ سه‌بعدی مجموعه ماندلبرو را نام ببرید.
اگر $A$ یک ماتریس $5 \times 4$ باشد، آنگاه $A^{T}$ یک ماتریس $m \times n$ است. $m$ و $n$ چیستند؟
فرمول کلی طول کمان یک منحنی $r (t) = [x (t), y (t), z (t)]^{T}$ با $a \leq t \leq b$ را بنویسید.
یک فرمول ممکن برای انحنای یک منحنی $r (t) = [x (t), y (t), z (t)]^{T}$ را بنویسید.
ما یک پارامتری‌سازی از کره $3$ -بعدی را دیده‌ایم که از سه زاویه $ϕ$ ، $θ_{1}$ ، $θ_{2}$ استفاده می‌کند. یا پارامتری‌سازی را بنویسید یا نام ریاضیدانی را که این پارامتری‌سازی به نام او نامگذاری شده است، به خاطر بیاورید.
فرمول کلی تغییر متغیر برای $Φ : R \to G$ به صورت $∭_{R} f (u, v, w) \dots \dots \dots d u d v d w = ∭_{G} f (x, y, z) d x d y d z$ است. قسمت خالی فرمول را پر کنید.
مقدار عددی $\log (- i)$ چقدر است؟
ما از قضیه فوبینی برای اثبات این استفاده کردیم که توابع $C^{2}$ مانند $f (x, y)$ در یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی صدق می‌کنند. لطفاً این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مهم و همچنین نام آن را بنویسید. (بسیار بعدتر در دوره از آن استفاده شد.)
عامل انتگرال‌گیری $| d r |$ برای پارامتری‌سازی $r (u, v) = [a \cos (u) \sin (v), b \sin (u) \sin (v), c \cos (v)]^{T}$ چیست؟
در اولین سخنرانی، ما $\sqrt{tr (A^{T} A)}$ را به عنوان طول یک ماتریس تعریف کردیم. طول ماتریس $3 \times 3$ که در همه جا $1$ دارد چقدر است؟

مسئله ۳۹ب.۳ (۱۰ امتیاز، هر مسئله یک امتیاز):

فرض کنید برای یک تابع مورس $f (x, y)$ ، ممیز $D$ در یک نقطه بحرانی $(x_{0}, y_{0})$ مثبت است و $f_{y y} (x_{0}, y_{0}) < 0$ . در مورد $f_{x x} (x_{0}, y_{0})$ چه می‌توان گفت؟
ما هویت $| d r | = | r_{u} \times r_{v} |$ را اثبات کردیم، که در آن $r$ یک نگاشت از $ℝ^{m}$ به $ℝ^{n}$ بود. این هویت برای کدام $m$ و $n$ تعریف شده بود؟
کدام یک از موارد زیر عامل انتگرال‌گیری صحیح هنگام استفاده از مختصات کروی در $4$ بعد است؟

$| d Φ | = r$
$| d Φ | = 3 + \cos (ϕ)$
$| d Φ | = ρ^{2} \sin (ϕ)$
$| d Φ | = ρ^{3} \sin (2 ϕ) / 2$

کدام یک از میدان‌های برداری زیر میدان‌های گرادیان هستند؟ (می‌تواند هیچ‌کدام، یکی، دو، سه یا همه باشد.)

$F = [x, 0]^{T}$
$F = [0, x]^{T}$
$F = [x, y]^{T}$
$F = [y, x]^{T}$

کدام یک از چهار سطح زیر یک هذل‌گونای یک‌پارچه است؟ (می‌تواند هیچ‌کدام، یکی، دو، سه یا همه باشد.)

$x^{2} + y^{2} = z^{2} - 1$
$x^{2} - y^{2} = 1 - z^{2}$
$x^{2} + y^{2} = 1 - z^{2}$
$x^{2} - y^{2} = z^{2} + 1$

سطح $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ را به صورت $r (θ, z) = [\dots \dots \dots, \dots \dots \dots, \dots \dots \dots]^{T}$ پارامتری کنید.
شخص خلاقی که ماده تاریک را کشف کرد و مکانیسم عدسی‌سازی گرانشی را پیشنهاد داد، چه کسی بود؟
کسینوس زاویه بین ماتریس‌های $A, B \in M (2, 2)$ چقدر است، که در آن $A$ ماتریس همانی و $B$ ماتریسی است که در همه جا ۱ دارد؟ باید یک عدد مشخص به دست آورید.
ما هویت $| v |^{2} + | w |^{2} = | v - w |^{2}$ را دیده‌ایم، که در آن $v$ و $w$ بردارهایی در $ℝ^{n}$ هستند. $v$ و $w$ باید چه شرایطی داشته باشند تا هویت برقرار باشد؟
مشتق خارجی $d F$ فرم دیفرانسیلی $F = e^{x} \sin (y) d x d y + \cos (x y z) d y d z$ را محاسبه کنید.

مسئله ۳۹ب.۴ (۱۰ امتیاز):

(۴ امتیاز) صفحه $Σ$ را بیابید که شامل سه نقطه $A = (3, 2, 1), B = (3, 3, 2), C = (4, 3, 1)$ است.
(۳ امتیاز) مساحت مثلث $A B C$ چقدر است؟
(۳ امتیاز) فاصله مبدأ $O = (0, 0, 0)$ تا صفحه $Σ$ را بیابید.

مسئله ۳۹ب.۵ (۱۰ امتیاز):

(۸ امتیاز) تمام نقاط بحرانی تابع $f (x, y) = x^{5} - 5 x + y^{3} - 3 y$ را بیابید و این نقاط را با استفاده از آزمون مشتق دوم طبقه‌بندی کنید.
(۲ امتیاز) آیا هیچ‌یک از این نقاط یک بیشینه مطلق یا کمینه مطلق $f$ هستند؟

مسئله ۳۹ب.۶ (۱۰ امتیاز):

(۸ امتیاز) از روش لاگرانژ برای یافتن تمام بیشینه‌ها و تمام کمینه‌های $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ تحت قید $g (x, y) = x^{4} + y^{4} = 16$ استفاده کنید.
(۲ امتیاز) در فرمول‌بندی ما از قضیه لاگرانژ، به حالتی نیز اشاره کردیم که $\nabla g (x, y) = [0, 0]^{T}$ . چرا این حالت در اینجا به یک نقطه بحرانی منجر نمی‌شود؟

مسئله ۳۹ب.۷ (۱۰ امتیاز):

(۵ امتیاز) ابرسطح $S = {f (x, y, z, w) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - w = 5}$ یک خمینه سه‌بعدی در $ℝ^{4}$ تعریف می‌کند. این سطح به طور شاعرانه ابر-سهمی‌گون نامیده می‌شود. صفحه مماس بر $S$ را در نقطه $(1, 2, 1, 1)$ بیابید.
(۵ امتیاز) تقریب خطی $L (x, y, z, w)$ $f (x, y, z, w)$ در این نقطه $(1, 2, 1, 1)$ چیست؟

مسئله ۳۹ب.۸ (۱۰ امتیاز):

مقدار $f (0.1, - 0.02)$ را برای $f (x, y) = 3 + x^{2} + y + \cos (x + y) + \sin (x y)$ با استفاده از تقریب درجه دوم تخمین بزنید.

مسئله ۳۹ب.۹ (۱۰ امتیاز):

(۸ امتیاز) ما در هتل $5$ -ستاره به نام متل $22$ در فضای $5$ -بعدی تعطیلات را می‌گذرانیم و در آنجا پینگ‌پنگ بازی می‌کنیم. توپ توسط گرانش شتاب می‌گیرد ما توپ را در $r (0) = [4, 3, 2, 1, 2]^{T}$ می‌زنیم و به آن سرعت اولیه می‌دهیم. مسیر $r (t)$ را بیابید.
(۲ امتیاز) در کدام زمان مثبت $t > 0$ توپ پینگ‌پنگ به میز پینگ‌پنگ ابری $w = 0$ برخورد می‌کند؟ (نقاط در این فضا با $[x, y, z, v, w]$ برچسب‌گذاری شده‌اند.)

مسئله ۳۹ب.۱۰ (۱۰ امتیاز):

(۵ امتیاز) تابع $f (x, y) = (x^{2} + y^{2})^{22}$ را روی ناحیه $G = {1 < x^{2} + y^{2} < 4, y > 0}$ انتگرال بگیرید.
(۵ امتیاز) مساحت ناحیه محصور شده توسط منحنی $r (t) = [\cos (t), \sin (t) + \cos (2 t)]^{T}$ با $0 \leq t \leq 2 π$ را بیابید.

مسئله ۳۹ب.۱۱ (۱۰ امتیاز):

(۷ امتیاز) $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ را روی جامد $G = {x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4, z^{2} < 1}$ انتگرال بگیرید.
(۳ امتیاز) حجم همان جامد $G$ چقدر است؟

مسئله ۳۹ب.۱۲ (۱۰ امتیاز):

(۸ امتیاز) انتگرال خطی میدان برداری $F = [y z w + x^{6}, x z w + y^{9}, x y w - z^{3}, x y z + w^{4}]^{T}$ را در امتداد مسیر $r (t) = [t + \sin (t), \cos (2 t), \sin (4 t), \cos (7 t)]^{T}$ از $t = 0$ تا $t = 2 π$ محاسبه کنید.
(۲ امتیاز) چیست؟

مسئله ۳۹ب.۱۳ (۱۰ امتیاز):

(۸ امتیاز) انتگرال خطی میدان برداری $F (x, y) = [3 x - y, 7 y + \sin (y^{4})]^{T}$ را در امتداد چندضلعی $A B C D E$ با $A = (0, 0), B = (2, 0), C = (2, 4), D = (2, 6), E = (0, 4)$ بیابید. مسیر بسته است. از $A$ شروع می‌شود، سپس به $B$ ، $C$ ، $D$ ، $E$ می‌رسد تا دوباره به $A$ بازگردد.
(۲ امتیاز) اگر منحنی در جهت مخالف پیموده شود، انتگرال خطی چقدر است؟

مسئله ۳۹ب.۱۴ (۱۰ امتیاز):

(۸ امتیاز) شار میدان برداری $F (x, y, z) = [y + x^{3}, z + y^{3}, x + z^{3}]^{T}$ از طریق کره $S = {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9}$ که به سمت بیرون جهت‌گیری شده است، چقدر است؟
(۲ امتیاز) شار همان میدان برداری $F$ از طریق همان کره $S$ اما زمانی که $S$ به سمت داخل جهت‌گیری شده است، چقدر است؟

مسئله ۳۹ب.۱۵ (۱۰ امتیاز):

(۷ امتیاز) شار تاو میدان برداری $F (x, y, z) = [- y, x + z (x^{2} + y^{5}), z]^{T}$ از طریق سطح $S = {x^{2} + y^{2} + z^{2} + z (x^{4} + y^{4} + 2 \sin (x - y^{2} z)) = 1, z > 0}$ که به سمت بالا جهت‌گیری شده است، چقدر است؟
(۳ امتیاز) سطح در قسمت (الف) بسته نبود، و قسمت پایینی $D = {z = 0, x^{2} + y^{2} \leq 1}$ را شامل نمی‌شد. حال فرض کنید که پایین را می‌بندیم و دیسک پایینی $D$ را به سمت پایین جهت‌گیری می‌کنیم. شار تاو همان میدان برداری $F$ از طریق این سطح بسته که از اتحاد $S$ و $D$ به دست آمده است، چقدر است؟

۳۹.۴ آزمون نهایی

به آزمون نهایی خوش آمدید. لطفاً هنوز شروع نکنید. همه با هم در ساعت ۹:۰۰ صبح پس از یادآوری برخی تشریفات شروع می‌کنیم. می‌توانید از همین حالا برگه حضور و غیاب را پر کنید. همچنین، می‌توانید از همین حالا نام خود را در کادر بزرگتر بالا وارد کنید.

شما فقط به این جزوه و چیزی برای نوشتن نیاز دارید. لطفاً هر ماده دیگری و هر وسیله الکترونیکی را کنار بگذارید. کد افتخار را به خاطر داشته باشید.
لطفاً خوانا بنویسید و جزئیات را ارائه دهید. به جز مسائل ۲ و ۳، ما می‌خواهیم جزئیات را ببینیم، حتی اگر پاسخ برای شما واضح باشد.
سعی کنید به سؤال در همان صفحه پاسخ دهید. فضای اضافی در پشت هر صفحه وجود دارد. اگر مجبور شدید، از کاغذ خراش اضافی در انتها استفاده کنید. اما نتیجه نهایی خود را نزدیک سؤال قرار دهید و نتیجه نهایی را کادر بکشید.
اگر مسئله‌ای را در جای دیگری تمام کردید، لطفاً در صفحه مسئله مشخص کنید که کجا می‌توانیم آن را پیدا کنیم.
شما ۱۸۰ دقیقه برای این آزمون نهایی فرصت دارید.

مسئله ۳۹.۱ (۱۰ امتیاز):

در شکل (۳۹.۸) یک ناحیه دو بعدی گسسته $G$ را می‌بینید که در آن همه مثلث‌ها در خلاف جهت عقربه‌های ساعت جهت‌گیری شده‌اند. $1$ -فرم $F$ به عنوان تابعی روی یال‌های جهت‌دار در تصویر داده شده است. به سؤالات زیر پاسخ دهید و دلایل بیاورید:

(۲ امتیاز) تاو $d F$ $F$ تابعی روی مثلث‌های جهت‌دار است. در مورد مجموع تمام مقادیر تاو $d F$ در گراف $G$ شکل (۳۹.۸) چه می‌توان گفت؟
(۲ امتیاز) آیا $F$ یک میدان گرادیان $F = d f$ برای تابعی $f$ روی رئوس است؟
(۲ امتیاز) مجموع مقادیر واگرایی طبیعی $d^{*} F$ روی رئوس چقدر است؟
(۲ امتیاز) نام ماتریس $K = d^{*} d$ که روی $0$ -فرم‌ها عمل می‌کند، چه بود؟ بیش از $150$ سال پیش تعریف شده است.
(۲ امتیاز) در شکل (۳۹.۷)، یک کره گسسته دو بعدی $S$ را دیدید که نقش یک سطح بسته $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ در $ℝ^{3}$ را بازی می‌کند. با توجه به یک $1$ -فرم $F$ ، تابعی روی یال‌های جهت‌دار $S$ ، مجموع تمام تاوها روی $S$ چقدر است؟ پاسخ یک عدد است اما باید پاسخ را توجیه کنید.

مسئله ۳۹.۲ (۱۰ امتیاز، هر سؤال یک امتیاز):

آلبرت اینشتین از نماد $v_{k} w^{k}$ برای دو بردار $v$ ، $w$ استفاده کرد. امروزه "نمادگذاری اینشتین" نامیده می‌شود. اینشتین وقتی $v_{k} w^{k}$ را نوشت، چه معنایی داشت؟
اگر $S = r (R)$ یک سطح دو بعدی باشد که توسط $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]^{T}$ پارامتری شده است، رابطه بین $| r_{u} \times r_{v} |$ و $\sqrt{\det (d r^{T} d r)}$ چیست؟
روش نیوتن برای چه کاری استفاده می‌شود؟ ما این ابزار عددی را در یک سمینار اثبات دیده‌ایم.
انحنای یک دایره با شعاع $20$ چقدر است؟
ماتریس $1 \times 5$ به نام $A = [1, 1, 1, 1, 1]$ را تعریف کنید. کدام یک از دو ماتریس $A$ و $B = A^{T}$ به صورت سطری کاهش یافته است؟
ضریب اعوجاج تغییر مختصات $Φ (x, y) = (3 x + y, x + y)$ چقدر است؟
مقدار عددی $i^{22}$ چقدر است، اگر $i = \sqrt{- 1}$ واحد موهومی باشد؟
نام معادله دیفرانسیل $i ℏ \frac{d}{d t} ψ = K ψ$ چیست، که در آن $K$ یک ماتریس است؟ این معادله در نظریه‌ای ظاهر می‌شود که «مکانیک ماتریسی» نیز نامیده می‌شود.
چرا فاصله بین دو خط $r_{1} (t) = Q + t v$ و $r_{2} (t) = P + t w$ با فرمول $| (v \times w) \cdot P Q | / | v \times w | ?$ داده می‌شود؟
یک تابع مورس $f$ روی یک $2$ -چنبره به شما داده شده است و شما شمارش می‌کنید که $f$ دارای $11$ بیشینه و $11$ کمینه است. چند نقطه زینی وجود دارد؟

**شکل 9.** هر انیشتین برای شما آرزوی موفقیت می‌کند!

مسئله 39.3 (10 نمره، هر سؤال یک نمره):

در این مسئله، در ابرفضای $ℝ^{4}$ کار می‌کنیم، جایی که نقاط مختصات $(x, y, z, w)$ دارند.

مشتق خارجی $d F$ از $2$ -فرم $F = x^{2} y^{2} z^{2} w^{2} d y d z .$ را بنویسید.
مشتق خارجی $3$ -فرم $F = x^{2} y^{2} z^{2} w^{2} d x d z d w$ را بنویسید.
فرض کنید $G$ چنبره دو بعدی $x^{2} + y^{2} = 1$ ، $z^{2} + w^{2} = 1$ است که در $ℝ^{4}$ جاسازی شده است. قضیه عمومی استوکس درباره $\iint_{G} F d S$ چه می‌گوید، که در آن $F$ همان $2$ -فرم از بخش a) است؟
$d^{2} F = d d F$ چیست، که در آن $F$ همان $2$ -فرم داده شده در a) است؟
$d^{2} F = d d F$ چیست، که در آن $F$ همان $3$ -فرم داده شده در b) است؟

(1, 1)

ℝ^{4}

4 \times 4

\dots \dots \dots

یک تانسور $(0, 1)$ روی $ℝ^{4}$ می‌تواند همچنین به عنوان یک $\dots \dots \dots$ تفسیر شود.
آیا $grad (grad (f))$ تعریف شده است اگر $f$ یک تابع باشد؟
آیا $div (div (F))$ برای هر میدان $F$ معنا دارد؟
شما $3$ نقشه کانتور از توابع $f$ ، $g$ و $h$ از دو متغیر می‌بینید. یکی از آنها مورس نیست. کدام یک؟ اولی، دومی یا سومی؟

مسئله 39.4 (10 نمره):

(3 نمره) خط $L$ را که شامل نقاط $A = (3, 2, 1), B = (3, 3, 2) .$ است، پارامتری کنید.
(3 نمره) با توجه به نقطه اضافی $P = (3, 3, 3)$ ، فاصله بین $P$ و $L$ را پیدا کنید.
(4 نمره) معادله $a x + b y + c z = d$ صفحه شامل $L$ و $P$ را بنویسید.

مسئله 39.5 (10 نمره):

(6 نمره) تمام نقاط بحرانی تابع $f (x, y) = x^{7} - 7 x + x y - y$ را پیدا کنید و با استفاده از آزمون مشتق دوم آنها را طبقه‌بندی کنید.
(2 نمره) قضیه جزیره به ما گفت که تعداد بیشینه‌ها به اضافه تعداد کمینه‌ها منهای تعداد نقاط زینی $f$ در یک جزیره برابر $1$ است. در حالت فعلی این امر شکست می‌خورد. چرا این با قضیه جزیره تناقض ندارد؟
(2 نمره) آیا تابع $f$ دارای بیشینه مطلق یا کمینه مطلق است؟

مسئله 39.6 (10 نمره):

(7 نمره) از روش لاگرانژ برای یافتن کمینه تابع $f (x, y, z, w) = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} + w^{2}$ تحت قید $g (x, y, z, w) = x + y + z + w = 17.$ استفاده کنید.
(3 نمره) در a) دیدید که در این حالت، معادلات لاگرانژ یک دستگاه معادلات خطی برای چند مجهول هستند. این را می‌توان به صورت ماتریسی به صورت $A X = b$ نوشت، که در آن بردار $X$ کمیت‌های مجهول را رمزگذاری می‌کند و $b$ یک بردار ثابت است. اندازه ماتریس $A$ چقدر است؟

مسئله 39.7 (10 نمره):

(5 نمره) صفحه مماس در نقطه $P = (3, 1, 3, - 1)$ از ابرمخروط $S = {f (x, y, z, w) = x^{2} + y^{2} - z^{2} - w^{2} = 0}$ در $ℝ^{4}$ را پیدا کنید.
(5 نمره) خطی‌سازی $L (x, y, z, w)$ از $f (x, y, z, w)$ در $(3, 1, 3, - 1)$ را بنویسید.

مسئله 39.8 (10 نمره):

مقدار $f (0.1, - 0.02)$ را برای $f (x, y) = e^{x + y}$ با استفاده از تقریب درجه دوم $Q (x, y)$ در $(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$ تخمین بزنید.

مسئله 39.9 (10 نمره):

(6 نمره) منحنی $r (t)$ را پیدا کنید که در شرایط $و و$ صدق کند.
(4 نمره) انحنای منحنی در نقطه $r (0)$ چقدر است؟

مسئله 39.10 (10 نمره):

مساحت ناحیه محصور شده توسط منحنی $r (t) = [\begin{matrix} 3 \cos (t) \\ 2 \sin (t) + \cos (7 t) \end{matrix}],$ را پیدا کنید، که در آن $0 \leq t \leq 2 π$ .

مسئله 39.11 (10 نمره):

انتگرال $f (x, y, z) = \frac{e^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}$ را روی نیمه آووکادو $E = {4 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 16, z \leq 0} .$ محاسبه کنید. به عبارت دیگر، $∭_{E} f d V$ را محاسبه کنید.

مسئله 39.12 (10 نمره):

انتگرال خطی از میدان برداری $F = [\begin{array}{l} P \\ Q \\ R \end{array}] = [\begin{matrix} 3 x^{2} + y z \\ 3 y^{2} + x z \\ 3 z^{2} + x y \end{matrix}]$ را در طول مسیر $C$ که با $r (t) = [\begin{matrix} \cos (7 π t) e^{t (1 - t)} \\ \sin (11 π t) \\ e^{t (1 - t)} \end{matrix}]$ از $t = 0$ تا $t = 1$ پارامتری شده است، محاسبه کنید.

مسئله 39.13 (10 نمره):

انتگرال خطی $\int_{C} F \cdot d r$ از میدان برداری $F (x, y) = [\begin{matrix} y + x^{4} \\ y^{3} + y^{4} \end{matrix}]$ را در طول مرز $C$ ناحیه شش‌ضلعی نشان داده شده در تصویر پیدا کنید. منحنی $C$ یک چندضلعی بسته است که در خلاف جهت عقربه‌های ساعت از $(2, 0)$ به ترتیب از روی $(1, 2)$ ، $(- 1, 2)$ ، $(- 2, 0)$ ، $(- 1, - 2)$ ، $(1, - 2)$ به $(2, 0)$ برمی‌گردد.

مسئله 39.14 (10 نمره):

شار $\iint_{S} curl (F) \cdot d S$ از تاو میدان برداری $F = [\begin{matrix} x^{7} \\ - x \\ \sin (z^{2}) + z^{3} x \end{matrix}]$ را از طریق سطح $S$ که با $r (s, t) = [\begin{matrix} (6 + 2 \cos^{2} (s / 2) \cos (t)) \cos (2 s) \\ 2 \cos^{2} (s / 2) \sin (t) + 2 s \\ (6 + 2 \cos^{2} (s / 2) \cos (t)) \sin (2 s) \end{matrix}]$ با $0 \leq s \leq 7 π / 2$ و $0 \leq t < 2 π$ پارامتری شده است، پیدا کنید.
راهنما: سطح دارای دو منحنی مرزی است که با نگاه کردن به $s = 0$ یا $s = 7 π / 2$ به دست می‌آیند. ما جهت‌گیری منحنی بزرگتر $r_{1} (t) = r (0, t) = [6 + 2 \cos (t), 2 \sin (t), 0]^{T}$ را به شما نمی‌گوییم اما باید بدانید که منحنی کوچکتر $r_{2} (t) = r (7 π / 2, t) = [- 6 - \cos (t), \sin (t) + 7 π, 0]^{T}$ به درستی جهت‌گیری شده است.

**شکل 13.** سطح $S$ با دو دایره مرزی در مسئله 39.14.

مسئله 39.15 (10 نمره):

شار $\iint_{S} F \cdot d S$ میدان برداری $F = [\begin{matrix} \sin (z) + y^{3} + x \\ \sin (x) + z^{3} + y \\ \sin (y) + x^{3} + z \end{matrix}]$ را از طریق سطح مرزی $S$ جامد $E$ داده شده در تصویر پیدا کنید. جامد با مجسمه‌سازی یک مکعب $- 1 \leq x \leq 1, - 1 \leq y \leq 1, - 1 \leq z \leq 1$ به طول ضلع $2$ ، با بریدن نقاطی در فاصله کمتر از $1$ از هر گوشه به دست می‌آید. به عبارت دیگر، ما به نقاطی در مکعب نگاه می‌کنیم که فاصله آنها از هر یک از $8$ گوشه بیشتر از $1$ است. سطح $S$ که جامد $E$ را محدود می‌کند، به سمت بیرون جهت‌گیری شده است.

**شکل 14.** جامد داده شده در مسئله 39.15.