گشتاور قطبی لختی یک سطح

همچنین تعریف ممان اینرسی یک سطح حول خطی عمود بر صفحه آن سطح نیز راحت است. در شکل ۱ محورهای $x y$ در صفحه سطح قرار دارند؛ $r$ فاصله از محور $z$ تا یک المان سطح $d A$ است. ممان اینرسی قطبی سطح به این صورت تعریف می‌شود:

همچنین می‌توانیم بنویسیم $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ، به طوری که: بنابراین ممان اینرسی قطبی یک سطح حول محوری که از نقطه‌ای می‌گذرد برابر است با مجموع ممان‌های اینرسی آن سطح حول دو محور عمود بر هم که در همان نقطه در سطح می‌گذرند.

مثال ۱. مکان مرکز حجم یک نیمکره به شعاع $r$ را بیابید (شکل ۲).

راه حل. می‌دانیم که مرکز حجم در جایی روی محور تقارن نیمکره قرار دارد. با در نظر گرفتن محور تقارن به عنوان محور $y$ ، می‌توان مرکز حجم را به طور کامل با یافتن $y_{c}$ مشخص کرد. با انتخاب برش‌های ابتدایی از نیمکره موازی با صفحه $x z$ ، داریم:

مثال ۲. ممان اینرسی سطح یک مثلث را حول خطی موازی با قاعده که از مرکز سطح مثلث می‌گذرد، بیابید (شکل ۳).

راه حل. ابتدا ممان اینرسی سطح مثلث را حول قاعده به کمک انتگرال‌گیری مستقیم می‌یابیم. اکنون با استفاده از قضیه انتقال برای محورهای موازی، داریم:

مثال ۳. مرکز سطح نشان‌داده‌شده در شکل ۴ را بیابید.

راه حل. ابتدا شکل را به چند بخش ساده‌تر تقسیم می‌کنیم که هر یک فاصله مشخص مرکز سطح داشته باشند. در اینجا به اندازه کافی قطعه داریم که مطلوب است محاسبات را با قرار دادن آن‌ها در یک شکل جدولی نظام‌مند کنیم. چنین فرم‌های جدولی مزایای متعددی دارند. بررسی آن‌ها بسیار آسان است زیرا با یک نگاه می‌توان فهمید که معنای هر عدد روی برگه چیست، و سازمان‌دهی محاسبات پیچیده در قالب جدول امکان به‌کارگیری افراد نسبتاً کم‌تجربه‌تر را برای محاسبات روزمره فراهم می‌کند.

بخش	مساحت $A$ $({in}^{2})$	فاصله مرکز سطح $x (in)$	فاصله مرکز سطح $y (in)$	$(A) (x)$ ( ${in}^{3}$ )	$(A) (y)$ ( ${in}^{3}$ )
I	$27$	$\frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$	$\frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5$	$40.5$	$121.5$
II	$3$	$3 + \frac{1}{3} \cdot 2 = 3.67$	$6 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 7$	$11.0$	$21.0$
III	$4$	$3 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 4$	$4 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 5$	$16.0$	$20.0$
IV	$3$	$\frac{1}{2} (- 1) = - 0.5$	$\frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$	$- 1.5$	$4.5$
V	$\frac{π}{4} = 0.79$	$- \frac{4 \times 1}{3 π} = - 0.42$	$3 + \frac{4 \times 1}{3 π} = 3.42$	$- 0.3$	$2.7$
$\sum$	$37.8$			$65.7$	$169.7$

$x_{c} = \frac{65.7}{37.8} = 1.74; y_{c} = \frac{169.7}{37.8} = 4.49$

مثال ۴. ممان اینرسی سطح نشان‌داده‌شده در مثال ۳ را حول محور $x$ بیابید.

راه حل. سطح به همان بخش‌هایی تقسیم می‌شود که در مسئله قبلی به کار رفتند. برای هر یک از این بخش‌ها، ممان اینرسی حول محوری که از مرکز سطح آن بخش می‌گذرد و موازی محور $x$ است، می‌تواند با جستجوی فرمول ممان اینرسی آن بخش در ضمیمه محاسبه شود. سپس می‌توان از قضیه انتقال برای یافتن ممان اینرسی هر بخش حول محور $x$ استفاده کرد و مجموع این مقادیر ممان اینرسی کل سطح خواهد بود. این محاسبات به‌راحتی به صورت جدولی قابل تنظیم است:

بخش	$I_{c}$ $(in)$	$y_{c}$ $(in)$	$y_{c}^{2}$ $({in}^{2})$	$A$ $({in}^{2})$	$A y_{c}^{2}$ $({in}^{4})$	$I_{x} = I_{c} + A y_{c}^{2}$ $({in}^{4})$
I	182.2	4.5	20.3	27	548	730
II	1.5	7	49	3	147	149
III	1.33	5	25	4	100	101
IV	2.25	1.5	2.25	3	6.75	9
V	0.055	3.42	11.7	0.79	9.24	9
$\sum$					998

4.6.1 مسائل

۱. (الف) نشان دهید که مساحت سطح تولیدشده از دوران هر منحنی صفحه‌ای حول محوری غیرمتقاطع در صفحه منحنی برابر است با طول منحنی ضربدر مسافت طی‌شده توسط مرکز سطح منحنی.*

نشان دهید که حجم جسم تولیدشده از دوران هر شکل صفحه‌ای حول محوری غیرمتقاطع در صفحه شکل برابر است با مساحت شکل ضربدر مسافت طی‌شده توسط مرکز سطح شکل.¹

۲. مرکز ثقل یک سیم نازک که به شکل یک ربع دایره خم شده است را بیابید. با استفاده از این نتیجه، مساحت سطح یک کره را به دست آورید.

۳. مرکز سطح زیر نیم‌سیکل یک موج سینوسی را بیابید.

۴. مرکز سطح یک قطعه از دایره به شعاع $r$ که زاویه $α$ در برابر آن قرار دارد را بیابید.

۵. نشان دهید که مرکز حجم هر مخروط یا هرم در فاصله سه‌چهارم ارتفاع از رأس واقع شده است.

۶. نشان دهید که برای مثلث نشان‌داده‌شده در شکل: $x_{c} = \frac{l + c}{3}$

۷. یک لیوان به طور جزئی از آب پر شده است. نشان دهید که مرکز ثقل لیوان و آب در پایین‌ترین حد خود است هنگامی که این مرکز ثقل در سطح آب قرار گیرد.

۸. ممان اینرسی سطح یک دایره را نسبت به یک قطر دایره بیابید.

۹. ممان اینرسی قطبی سطح یک مستطیل را نسبت به محوری عمود بر سطح که از مرکز سطح مستطیل می‌گذرد بیابید.

۱۰. نشان دهید که ممان اینرسی قطبی یک سطح حول هر محور برابر است با مجموع ممان اینرسی قطبی سطح حول محور مرکز سطح و حاصل‌ضرب مساحت در مربع فاصله بین محورها.

۱۱. ممان اینرسی سطح هاشورخورده نشان‌داده‌شده در نمودار را حول محور $x x$ بیابید.

پاسخ

53.4 in $^{4}$

۱۲. مرکز حجم نشان‌داده‌شده در شکل را بیابید.

پاسخ

$x_{c} = 4.00, y_{c} = 2.84, z_{c} = 2.86$

۱۳. سطح مقطع یک قرقره تسمه V-شکل ابعاد نشان‌داده‌شده در شکل را دارد. اگر قرقره از فولادی با وزن $0.283 lb$ در اینچ مکعب ساخته شده باشد، وزن قرقره را بیابید.

پاسخ

154 lb

۱۴. مرکز ثقل یک جسم همگن به شکل نشان‌داده‌شده در شکل را بیابید.

پاسخ

$x_{c} = 2.25, y_{c} = 1.35, z_{c} = 1.80$

۱۵. یک سوراخ به قطر ۳ اینچ در یک مخروط همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، حفر می‌شود. اگر قرار باشد مرکز حجم باقی‌مانده در فاصله $h$ از قاعده مخروط قرار گیرد، عمق $h$ سوراخ چقدر باشد؟

پاسخ

$h = 2.8$ in.

۱۶. یک اندازه استاندارد از مقطع سازه‌ای معروف به نبشی پیازی ابعاد نشان‌داده‌شده در شکل را دارد:

راهنمای آلومینیم سازه‌ای موقعیت زیر را برای مرکز سطح ارائه می‌دهد: $x_{c} = 2.22 in$ ؛ و $y_{c} = 0.93 in$ . با صرف‌نظر از سطوح کوچک مربوط به پخ‌ها و گوشه‌های گرد، این مقادیر را بررسی کنید.
راهنمای آلومینیم سازه‌ای ممان اینرسی سطح حول محور $x_{c}$ را به صورت $3.02 {in}^{4}$ ارائه می‌دهد. این مقدار را بررسی کنید.

این «قضایا» به پاپوس (حدود ۳۰۰ میلادی) نسبت داده می‌شوند و بعدها به‌طور مستقل توسط گلدینوس (۱۶۳۵-۱۶۴۲) نیز ذکر شدند.↩︎