نیروهای توزیع شده

بیشتر نیروهایی که تاکنون با آن‌ها سروکار داشته‌ایم، فرض شده‌اند که در یک نقطه متمرکز هستند. تنها استثنای ما تاکنون، حالت نیروهای گرانشی توزیع شده یکنواخت بوده است. تعدادی موقعیت‌های متداول دیگر نیز وجود دارد که در آن‌ها نیروها در سرتاسر یک حجم یا روی یک سطح توزیع شده‌اند. برای مثال، می‌دانیم که در طبیعت دستیابی به باری که دقیقاً در یک نقطه متمرکز شده باشد، غیرممکن است. تغییر شکل اجتناب‌ناپذیر سطوح بارگذاری شده در تماس، تضمین می‌کند که بار در واقعیت روی یک ناحیه کوچک توزیع شود، نه اینکه در یک نقطه متمرکز گردد. این توزیع بار روی یک سطح به طور کلی امری مطلوب است، زیرا برای مواد مهندسی یک حد بالایی برای بار بر واحد سطح وجود دارد که می‌تواند با اطمینان تحمل شود، قبل از آنکه گسیختگی یا شکست ماده رخ دهد. اگر یک بار معین قرار است توسط یک سطح تحمل شود، گاهی لازم است دقت ویژه‌ای به خرج داد تا بار روی یک ناحیه قابل توجه توزیع شود، تا از بارگذاری‌های واحدی بیش از حد جلوگیری گردد.

یک مثال از چنین بارگذاری، تیر نشان داده شده در شکل ۱ است.

در شکل ۱a این حقیقت که تیر در دو انتها تکیه‌گاه دارد و توسط یک بار متمرکز بین تکیه‌گاه‌ها بارگذاری شده است، نشان داده شده است. در (ب) نمودار جسم آزاد تیر نشان داده شده است، و بارها و واکنش‌ها، همانند فصل‌های پیشین، به صورت بارهای متمرکز نشان داده شده‌اند. در (ج) تصویر دقیق‌تری از وضعیت واقعی امر نشان داده شده است. هر دو بار اعمالی خارجی $F$ و واکنش‌های $R_{1}$ و $R_{2}$ در تکیه‌گاه‌ها در واقع سامانه‌های توزیع شده از نیروهای موازی هستند. نیروی بین تیر و سطح تکیه‌گاهی نشان داده شده است که روی یک طول $A B$ از تیر توزیع شده است، به جای یک نقطه. به دلیل نحوه‌ای که تیر تغییر شکل داده است، همچنین محتمل است که این نیرو به صورت غیر یکنواخت روی فاصله $A B$ توزیع شده باشد، و اینکه در $B$ بزرگتر از $A$ باشد. بر این اساس، به عنوان یک تقریب اول، یک تغییر خطی نیرو در طول $A B$ نشان داده‌ایم. این نمودار، که نحوه تغییر نیرو در طول تیر را نشان می‌دهد، نمودار نیرو نامیده می‌شود، و یک عرض از این نمودار، نیروی بر واحد طول، شدت نیرو نامیده می‌شود. دیده می‌شود که مساحت نمودار نیرو برابر است با نیروی برآیند سامانه نیروهای موازی، و این برآیند از مرکز سطح نمودار نیرو می‌گذرد. بدین ترتیب می‌توانیم سامانه نیروهای توزیع شده را، برای اهداف استاتیکی، به یک نیروی یگانه که در یک نقطه معین عمل می‌کند، کاهش دهیم.

در مثال بالا تنها آن تغییرات در شدت نیرو در طول تیر را در نظر گرفته‌ایم. در برخی مسائل، تغییرات این شدت نیرو در عرض تیر نیز باید در نظر گرفته شود. چنین توزیع سه‌بعدی نیرو در شکل ۲ نشان داده شده است.

در این حالت بار $P$ خارج از خط مرکزی تیر قرار دارد، به طوری که شدت‌های نیروی واکنش در امتداد بخش پشتی تیر بیشتر از امتداد لبه جلویی تیر هستند.

بدین ترتیب نیروهای واکنش، همانند شکل ۲، یک سامانه از نیروهای موازی در فضا تشکیل می‌دهند. به جای شدت نیرو، اکنون از نیرو بر واحد سطح صحبت می‌کنیم که فشار یا تنش نامیده می‌شود. این سامانه نیروهای توزیع شده غیر یکنواخت در فضا را می‌توان، برای اهداف استاتیکی، با یک نیروی برآیند یگانه که بزرگی آن برابر با حجم نمودار فشار است و از مرکز حجم آن می‌گذرد، جایگزین کرد.

مثال. یک انتهای یک تیر همانگونه که در شکل ۳الف نشان داده شده است، در یک دیوار گیردار شده است، در حالی که انتهای دیگر توسط یک نیروی متمرکز $P$ بارگذاری شده است. با فرض اینکه تغییرات شدت نیروی واکنش‌های روی تیر مطابق (ب) باشد، شدت‌های حداکثر نیروی $p_{1}$ و $p_{2}$ را بیابید.

حل. می‌توانیم بارهای توزیع شده نشان داده شده را با نیروهای برآیندی که از مراکز سطوح نمودارهای شدت نیرو می‌گذرند، جایگزین کنیم، همانگونه که در (ج) نشان داده شده است.

با گرفتن گشتاور حول نقطه $A$ ، برای تعادل داریم: همچنین به عنوان یک معادله کنترل، می‌توانیم معادله مجموع نیروها را بنویسیم:

4.9.1 مسائل

۱. یک تیر یک بار متمرکز $100 lb$ را تحمل می‌کند و همانگونه که در شکل نشان داده شده است، تکیه‌گاه دارد. با فرض اینکه نیروهای واکنش در تکیه‌گاه به صورت یکنواخت روی عرض تکیه‌گاه توزیع شده‌اند، شدت نیرو را در دو تکیه‌گاه بیابید.

پاسخ

۲۷.۸ پوند بر اینچ، ۴۴.۵ پوند بر اینچ

۲. بار روی یک تیر به صورت خطی از صفر در یک انتها تا یک بار $p$ بر واحد طول تیر در انتهای دیگر تغییر می‌کند. اگر واکنش $R$ در انتهای با بار سنگین تیر نباید از $1500 lb$ تجاوز کند، حداکثر بار کل که می‌تواند توسط تیر حمل شود چقدر است؟

پاسخ

۲۲۵۰ پوند

۳. یک تیر همانگونه که در نمودار نشان داده شده است، بارگذاری و تکیه‌گاه‌گذاری شده است. با فرض اینکه نمودار نیروی واکنش به شکل ذوزنقه‌ای باشد، شدت‌های نیروی واکنش را بیابید.

پاسخ

حداکثر شدت $= 200 lb$ بر فوت